Бесконечномерная голоморфия

В математике . бесконечномерная голоморфия раздел функционального анализа — Он связан с обобщением понятия голоморфной функции на функции, определенные и принимающие значения в комплексных банаховых пространствах (или в пространствах Фреше в более общем смысле), обычно имеющих бесконечную размерность. Это один из аспектов нелинейного функционального анализа .

Векторнозначные голоморфные функции, определенные в комплексной плоскости

Первым шагом в расширении теории голоморфных функций за пределы одного комплексного измерения является рассмотрение так называемых векторнозначных голоморфных функций , которые все еще определены в комплексной плоскости C , но принимают значения в банаховом пространстве. Такие функции важны, например, при построении голоморфного функционального исчисления для ограниченных линейных операторов .

Определение. Функция f : U → X , где U ⊂ C — открытое подмножество , а X — комплексное банахово пространство, называется голоморфной , если она комплексно-дифференцируема; то есть для каждой точки z ∈ U следующий предел существует :

$f'(z)=\lim _{\zeta \to z}{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}.$

можно определить Линейный интеграл векторнозначной голоморфной функции f : U → X вдоль спрямляемой кривой γ : [ a , b ] → U так же, как и для комплекснозначных голоморфных функций, как предел сумм форма

$\sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}))$

где a = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b — подразделение интервала [ a , b ], поскольку длины интервалов подразделения приближаются к нулю.

Можно быстро проверить, что интегральная теорема Коши справедлива и для векторнозначных голоморфных функций. Действительно, если f : U → X — такая функция, а T : X → C — ограниченный линейный функционал, можно показать, что

$T\left(\int _{\gamma }f(z)\,dz\right)=\int _{\gamma }(T\circ f)(z)\,dz.$

Более того, композиция T of → : U . C является комплекснозначной голоморфной функцией Следовательно, для γ, простой замкнутой кривой , внутренняя часть которой содержится в U , интеграл справа равен нулю по классической интегральной теореме Коши. Тогда, поскольку T произвольно, из теоремы Хана–Банаха следует , что

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=0$

что доказывает интегральную теорему Коши в векторном случае.

Используя этот мощный инструмент, можно затем доказать интегральную формулу Коши и, как и в классическом случае, доказать, что любая векторнозначная голоморфная функция является аналитической .

функции f : U → X Полезным критерием голоморфности является то, что T f непрерывного линейного : U → C является голоморфной комплекснозначной функцией для каждого функционала T : X → C . Такое f голоморфно слабо . Можно показать, что функция, определенная на открытом подмножестве комплексной плоскости со значениями в пространстве Фреше, голоморфна тогда и только тогда, когда она слабо голоморфна.

Голоморфные функции между банаховыми пространствами

В более общем смысле, учитывая два комплексных банаховых пространства X и Y и открытое множество U ⊂ X , f : U → Y называется голоморфным, если производная Фреше от f существует в каждой точке U . Можно показать, что в этом более общем контексте по-прежнему верно, что голоморфная функция является аналитической, то есть ее можно локально разложить в степенной ряд . Однако уже не верно, что если функция определена и голоморфна в шаре, ее степенной ряд вокруг центра шара сходится во всем шаре; например, существуют голоморфные функции, определенные на всем пространстве и имеющие конечный радиус сходимости. ^[1]

Голоморфные функции между топологическими векторными пространствами

В общем, учитывая два комплексных векторных пространства X и Y и открытое множество U ⊂ X , существуют различные способы определения голоморфности функции f : U → Y. топологических В отличие от конечномерной ситуации, когда X и Y бесконечномерны, свойства голоморфных функций могут зависеть от того, какое определение выбрано. Чтобы ограничить число возможностей, которые мы должны рассмотреть, мы будем обсуждать голоморфность только в случае, когда X и Y выпуклы локально .

В этом разделе представлен список определений, начиная от самого слабого понятия к самому сильному. Он завершается обсуждением некоторых теорем, касающихся этих определений, когда пространства X и Y удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям.

Голоморфность Гато

Голоморфность Гато — это прямое обобщение слабой голоморфности на полностью бесконечномерную ситуацию.

Пусть X и Y — локально выпуклые топологические векторные пространства, а U ⊂ X — открытое множество. Функция f : U → Y называется голоморфной по Гато , если для любых a ∈ U и b ∈ X и любого непрерывного линейного функционала φ : Y → C функция

$f_{\varphi }(z)=\varphi \circ f(a+zb)$

является голоморфной функцией z в окрестности начала координат. Совокупность голоморфных функций Гато обозначается H _G ( U , Y ).

При анализе голоморфных функций Гато любые свойства конечномерных голоморфных функций выполняются на конечномерных подпространствах X . Однако, как это обычно бывает в функциональном анализе, эти свойства не могут быть объединены единым образом, чтобы получить какие-либо соответствующие свойства этих функций на полных открытых множествах.

Примеры

• Если f ∈ U , то f имеет производные Гато всех порядков, так как для x ∈ U и h ₁ , ..., h _k ∈ X k -го производная Гато порядка D ^к f ( x ) { h ₁ , ..., h _k } включает в себя только повторяющиеся производные по направлению в диапазоне h _i , который является конечномерным пространством. В этом случае итерированные производные Гато являются полилинейными по , _hi как правило, не могут быть непрерывными, если рассматривать их во всем пространстве X. но ,
• Более того, верна версия теоремы Тейлора:

$f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)$

Здесь, ${\widehat {D}}^{n}f(x)(y)$ — однородный полином степени n по y, ассоциированный с полилинейным оператором D ^н е ( х ). Сходимость этого ряда неравномерна. Точнее, если V ⊂ X — фиксированное конечномерное подпространство, то ряд сходится равномерно на достаточно малых компактных окрестностях точки 0 ∈ Y . Однако если подпространству V разрешено изменяться, то сходимость не удастся: оно, вообще говоря, не будет равномерным относительно этого изменения. Обратите внимание, что это резко контрастирует с конечномерным случаем.

• Теорема Хартога справедлива для голоморфных функций Гато в следующем смысле:

Если f : ( U ⊂ X ₁ ) × ( V ⊂ X ₂ ) → Y — функция, которая отдельно голоморфна по Гато по каждому из своих аргументов, то f голоморфна по Гато в пространстве произведений.

Гипоаналитичность

Функция f : ( U ⊂ X → Y гипоаналитическая ) , если f ∈ H _G ( U , Y ) и, кроме того, f непрерывна на относительно компактных подмножествах U .

Голоморфия

Функция f ∈ H _G (U, Y ) голоморфна , если для каждого x ∈ U Тейлора в ряд разложение

$f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)$

(существование которого уже гарантировано голоморфностью Гато) сходится и непрерывно для y в окрестности 0 ∈ X . Таким образом, голоморфность сочетает в себе понятие слабой голоморфности со сходимостью разложения в степенной ряд. Совокупность голоморфных функций обозначается H( U , Y ).

Локально ограниченная голоморфность

Функция f : ( U ⊂ X ) → Y называется локально ограниченной если каждая точка U имеет окрестность, образ которой при f ограничен в Y. , Если, кроме того, f голоморфен по Гато на U , то f локально ограниченно голоморфен . В этом случае мы пишем f ∈ H _LB ( U , Y ).

Ссылки

• Ричард В. Кэдисон , Джон Р. Рингроуз, Основы теории операторных алгебр , Vol. 1: Элементарная теория. Американское математическое общество, 1997. ISBN   0-8218-0819-2 . (См. раздел 3.3.)
• Су Бонг Че, Голоморфность и исчисление в нормированных пространствах , Марсель Деккер, 1985. ISBN   0-8247-7231-8 .
• ^ Лоуренс А. Харрис, Теоремы о неподвижной точке для бесконечномерных голоморфных функций (без даты).