Теорема полярной факторизации

В оптимальном транспорте , разделе математики, полярная факторизация векторных полей является основным результатом Бренье (1987): с предшественниками Нотт-Смита (1984) и Рачев (1985), это обобщает многие существующие результаты, среди которых полярное разложение действительных матриц и перестановка вещественных функций.

Теорема

Обозначения. Обозначим $\xi _{\#}\mu$ мера изображения ​ $\mu$ через карту $\xi$.

Определение: Измерьте сохранение карты. Позволять $(X,\mu )$ и $(Y,\nu )$ быть некоторыми вероятностными пространствами и $\sigma :X\rightarrow Y$ измеримая карта. Затем, $\sigma$ называется сохраняющим меру тогда и только тогда, когда $\sigma _{\#}\mu =\nu$, где $\#$ это мера продвижения вперед . Прописано: за каждый $\nu$-измеримое подмножество $\Omega$ из $Y$, $\sigma ^{-1}(\Omega )$ является $\mu$-измеримый, -и $\mu (\sigma ^{-1}(\Omega ))=\nu (\Omega )$. Последнее эквивалентно:

$\int _{X}(f\circ \sigma )(x)\mu (dx)=\int _{X}(\sigma ^{*}f)(x)\mu (dx)=\int _{Y}f(y)(\sigma _{\#}\mu )(dy)=\int _{Y}f(y)\nu (dy)$

где $f$ является $\nu$-интегрируемый и $f\circ \sigma$ является $\mu$-интегрируемый.

Теорема. Рассмотрим карту $\xi :\Omega \rightarrow R^{d}$ где $\Omega$ является выпуклым подмножеством $R^{d}$, и $\mu$ мера по $\Omega$ что абсолютно непрерывно. Предположим, что $\xi _{\#}\mu$ абсолютно непрерывен. Тогда существует выпуклая функция $\varphi :\Omega \rightarrow R$ и карта $\sigma :\Omega \rightarrow \Omega$ сохранение $\mu$ такой, что

$\xi =\left(\nabla \varphi \right)\circ \sigma$

Кроме того, $\nabla \varphi$ и $\sigma$ почти всюду определены однозначно.

Приложения и подключения

Размер 1

В измерении 1 и когда $\mu$ является мерой Лебега на единичном интервале, результат специализируется на теореме Риффа. Когда $d=1$ и $\mu$ является равномерным распределением по $\left[0,1\right]$, полярное разложение сводится к

$\xi \left(t\right)=F_{X}^{-1}\left(\sigma \left(t\right)\right)$

где $F_{X}$ — кумулятивная функция распределения случайной величины $\xi \left(U\right)$ и $U$ имеет равномерное распределение по $\left[0,1\right]$. $F_{X}$ предполагается непрерывным, а $\sigma \left(t\right)=F_{X}\left(\xi \left(t\right)\right)$ сохраняет меру Лебега на $\left[0,1\right]$.

Полярное разложение матриц

Когда $\xi$ является линейной картой и $\mu$ Гаусса – нормальное распределение , результат совпадает с полярным разложением матриц . Предполагая $\xi \left(x\right)=Mx$ где $M$ является обратимым $d\times d$ матрица и учитывая $\mu$ тот ${\mathcal {N}}\left(0,I_{d}\right)$ вероятностной мерой, полярное разложение сводится к

$M=SO$

где $S$ является симметричной положительно определенной матрицей, и $O$ матрица ортогональная . Связь с полярной факторизацией такова: $\varphi \left(x\right)=x^{\top }Sx/2$ который является выпуклым, и $\sigma \left(x\right)=Ox$ который сохраняет ${\mathcal {N}}\left(0,I_{d}\right)$ мера.

Разложение Гельмгольца

Результаты также позволяют восстановить разложение Гельмгольца . Сдача в аренду $x\rightarrow V\left(x\right)$ быть гладким векторным полем, тогда его можно записать уникальным образом как

$V=w+\nabla p$

где $p$ — гладкая действительная функция, определенная на $\Omega$, уникальный с точностью до аддитивной константы, и $w$ — гладкое векторное поле без дивергенций, параллельное границе $\Omega$.

Эту связь можно увидеть, если предположить, что $\mu$ — мера Лебега на компакте $\Omega \subset R^{n}$ и написав $\xi$ как возмущение карты идентичности

$\xi _{\epsilon }(x)=x+\epsilon V(x)$

где $\epsilon$ мал. Полярное разложение $\xi _{\epsilon }$ дается $\xi _{\epsilon }=(\nabla \varphi _{\epsilon })\circ \sigma _{\epsilon }$. Тогда для любой тестовой функции $f:R^{n}\rightarrow R$ имеет место следующее:

$\int _{\Omega }f(x+\epsilon V(x))dx=\int _{\Omega }f((\nabla \varphi _{\epsilon })\circ \sigma _{\epsilon }\left(x\right))dx=\int _{\Omega }f(\nabla \varphi _{\epsilon }\left(x\right))dx$

где тот факт, что $\sigma _{\epsilon }$ во втором равенстве использовалась мера Лебега.

Фактически, как $\textstyle \varphi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\Vert x\Vert ^{2}$, можно расширить $\textstyle \varphi _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2}}\Vert x\Vert ^{2}+\epsilon p(x)+O(\epsilon ^{2})$, и поэтому $\textstyle \nabla \varphi _{\epsilon }\left(x\right)=x+\epsilon \nabla p(x)+O(\epsilon ^{2})$. Как результат, $\textstyle \int _{\Omega }\left(V(x)-\nabla p(x)\right)\nabla f(x))dx$ для любой гладкой функции $f$, что означает, что $w\left(x\right)=V(x)-\nabla p(x)$ является бездивергентным.

См. также

• полярное разложение - представление обратимых матриц в виде унитарного оператора, умножающего эрмитов оператор.