Оператор Стокса

Оператор Стокса , названный в честь Джорджа Габриэля Стокса , представляет собой неограниченный линейный оператор, используемый в теории уравнений в частных производных , особенно в области гидродинамики и электромагнетизма .

Определение

Если мы определим $P_{\sigma }$ как проекция Лере на бездивергентные , то векторные поля оператор Стокса $A$ определяется

$A:=-P_{\sigma }\Delta ,$

где $\Delta \equiv \nabla ^{2}$ является лапласианом . С $A$ неограниченно, мы также должны указать область его определения, которая определяется как ${\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V$, где $V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}$. Здесь, $\Omega$ является ограниченным открытым множеством в $\mathbb {R} ^{n}$ (обычно n = 2 или 3), $H^{2}(\Omega )$ и $H_{0}^{1}(\Omega )$ — стандартные пространства Соболева , а дивергенция ${\vec {u}}$ понимается в смысле распределения .

Характеристики

Для данного домена $\Omega$ который открыт, ограничен и имеет $C^{2}$ граница, оператор Стокса $A$ является самосопряженным положительно определенным оператором относительно $L^{2}$ внутренний продукт. Он имеет ортонормированный базис собственных функций $\{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ соответствующие собственным значениям $\{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }$ которые удовлетворяют

$0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots$

и $\lambda _{k}\rightarrow \infty$ как $k\rightarrow \infty$. Обратите внимание, что наименьшее собственное значение уникально и не равно нулю. Эти свойства позволяют определить степени оператора Стокса. Позволять $\alpha >0$ быть действительным числом. Мы определяем $A^{\alpha }$ своим действием на ${\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)$:

$A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}$

где $u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})$ и $(\cdot ,\cdot )$ это $L^{2}(\Omega )$ внутренний продукт.

Обратное $A^{-1}$ оператора Стокса является ограниченным компактным самосопряженным оператором в пространстве $H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ and }}\gamma ({\vec {u}})=0\}$, где $\gamma$ является оператором трассировки . Более того, $A^{-1}:H\rightarrow V$ является инъективным.

Ссылки

• Темам, Роджер (2001), Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ , AMS Chelsea Publishing , ISBN  0-8218-2737-5
• Константин Петр и Фойас Киприан. Уравнения Навье-Стокса , Издательство Чикагского университета, (1988)