Проекция Лере

Проекция Лере , названная в честь Жана Лере , представляет собой линейный оператор, используемый в теории уравнений в частных производных , особенно в области гидродинамики . Неформально его можно рассматривать как проекцию на бездивергентные векторные поля. Он используется, в частности, для устранения как члена давления, так и бездивергентного члена в уравнениях Стокса и уравнениях Навье – Стокса .

Определение

Псевдодифференциальный подход

Для векторных полей $\mathbf {u}$ (в любом измерении $n\geq 2$), проекция Лере $\mathbb {P}$ определяется

$\mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} -\nabla \Delta ^{-1}(\nabla \cdot \mathbf {u} ).$

Это определение следует понимать в смысле псевдодифференциальных операторов : его матричного множителя Фурье. $m(\xi )$ дается

$m(\xi )_{kj}=\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}},\quad 1\leq k,j\leq n.$

Здесь, $\delta$ это дельта Кронекера . Формально это означает, что для всех $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$, у одного есть

$\mathbb {P} (\mathbf {u} )_{k}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}}\right){\widehat {\mathbf {u} }}_{j}(\xi )\,e^{i\xi \cdot x}\,\mathrm {d} \xi ,\quad 1\leq k\leq n$

где ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ есть пространство Шварца . мы используем здесь обозначения Эйнштейна Для суммирования .

По разложению Гельмгольца – Лере

Можно показать, что данное векторное поле $\mathbf {u}$ можно разложить как

$\mathbf {u} =\nabla q+\mathbf {v} ,\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {v} =0.$

В отличие от обычного разложения Гельмгольца ,Разложение Гельмгольца – Лере $\mathbf {u}$ уникален (с точностью доаддитивная константа для $q$ ). Тогда мы можем определить $\mathbb {P} (\mathbf {u} )$ как

$\mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {v} .$

Проектор Лере определяется аналогичным образом в функциональных пространствах, отличных от пространства Шварца, и в разных областях с разными граничными условиями. Четыре свойства, перечисленные ниже, будут продолжать действовать в этих случаях.

Свойства

Проекция Лере обладает следующими свойствами:

1. Проекция Лере – это проекция : $\mathbb {P} [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=\mathbb {P} (\mathbf {u} )$ для всех $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$.
2. Проекция Лере является бездивергентным оператором: $\nabla \cdot [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=0$ для всех $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$.
3. Проекция Лере — это просто тождество для бездивергентных векторных полей: $\mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u}$ для всех $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$ такой, что $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$.
4. Проекция Лере исчезает для векторных полей, исходящих из потенциала : $\mathbb {P} (\nabla \phi )=0$ для всех $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$.

к уравнениям Навье

Уравнения несжимаемой жидкости Навье – Стокса представляют собой уравнения в частных производных, задаваемые формулой

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\nu \,\Delta \mathbf {u} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f}$

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

где $\mathbf {u}$ - скорость жидкости, $p$ давление, $\nu >0$ вязкость и $\mathbf {f}$ внешняя объемная сила.

Применяя проекцию Лере к первому уравнению, мы можем переписать уравнения Навье-Стокса как абстрактное дифференциальное уравнение в бесконечномерном фазовом пространстве , например: $C^{0}\left(0,T;L^{2}(\Omega )\right)$, пространство непрерывных функций из $[0,T]$ к $L^{2}(\Omega )$ где $T>0$ и $L^{2}(\Omega )$ - пространство интегрируемых с квадратом функций в физической области $\Omega$:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}+\nu \,A\mathbf {u} +B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=\mathbb {P} (\mathbf {f} )$

где мы определили оператор Стокса $A$ и билинейная форма $B$ к

$A\mathbf {u} =-\mathbb {P} (\Delta \mathbf {u} )\qquad B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} ].$

Давление и состояние отсутствия дивергенций «проецируются». В общем, для простоты будем считать, что $\mathbf {f}$ бездивергентен, так что ${\mathbb {P} }({\mathbf {f} })={\mathbf {f} }$; это всегда можно сделать, добавив термин $\mathbf {f} -\mathbb {P} (\mathbf {f} )$ к давлению.