Представительство Клебша

В физике и математике произвольного представление Клебша трёхмерного векторного поля ${\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}})$ является:

$${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi ,$$

где скалярные поля $\varphi ({\boldsymbol {x}})$$,\psi ({\boldsymbol {x}})$ и $\chi ({\boldsymbol {x}})$ известны как потенциалы Клебша или потенциалы Монжа , назван в честь Альфреда Клебша (1833–1872) и Гаспара Монжа (1746–1818) и ${\boldsymbol {\nabla }}$ — оператор градиента .

Фон

В гидродинамике и физике плазмы представление Клебша обеспечивает средство преодоления трудностей, связанных с описанием невязкого потока с ненулевой завихренностью – в эйлеровой системе отсчета – с использованием лагранжевой механики и гамильтоновой механики . В критической точке таких функционалов результатом являются уравнения Эйлера — набор уравнений, описывающих поток жидкости. Заметим, что указанные трудности не возникают при описании течения посредством вариационного принципа в лагранжевой системе отсчета . В случае поверхностных гравитационных волн представление Клебша приводит к форме вращательного потока вариационного принципа Люка .

Чтобы представление Клебша было возможным, векторное поле ${\boldsymbol {v}}$ имеет (локально) ограниченное , непрерывное и достаточно гладкое . Для глобальной применимости ${\boldsymbol {v}}$ должен достаточно быстро затухать по направлению к бесконечности . Разложение Клебша не уникально, и (два) дополнительных ограничения . для однозначного определения потенциалов Клебша необходимы С $\psi {\boldsymbol {\nabla }}\chi$ вообще не соленоидально , представление Клебша, вообще говоря, не удовлетворяет разложению Гельмгольца .

завихренность

завихренность ${\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {x}})$ равно

$${\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi \right)={\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {\nabla }}\chi ,$$

с последним шагом в силу тождества векторного исчисления ${\boldsymbol {\nabla }}\times (\psi {\boldsymbol {A}})=\psi ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {A}}.$ Итак, завихренность ${\boldsymbol {\omega }}$ перпендикулярен обоим ${\boldsymbol {\nabla }}\psi$ и ${\boldsymbol {\nabla }}\chi ,$ а далее завихренность не зависит от $\varphi .$

Ссылки

• Арис, Р. (1962), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Прентис-Холл, OCLC   299650765
• Бейтман, Х. (1929), «Заметки о дифференциальном уравнении, которое возникает при двумерном движении сжимаемой жидкости, и связанных с ним вариационных проблемах», Proceedings of the Royal Society of London A , 125 (799): 598–618. , Bibcode : 1929RSPSA.125..598B , doi : 10.1098/rspa.1929.0189
• Бенджамин, Т. Брук (1984), «Импульс, сила потока и вариационные принципы», IMA Journal of Applied Mathematics , 32 (1–3): 3–68, Bibcode : 1984JApMa..32....3B , doi : 10.1093/имамат/32.1-3.3
• Клебш, А. (1859), «Об интегрировании гидродинамических уравнений» , Журнал чистой и прикладной математики , 1859 (56): 1–10, doi : 10.1515/crll.1859.56.1 , S2CID   122730522
• Лэмб, Х. (1993), Гидродинамика (6-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-60256-1
• Люк, Дж. К. (1967), «Вариационный принцип для жидкости со свободной поверхностью», Journal of Fluid Mechanics , 27 (2): 395–397, Бибкод : 1967JFM....27..395L , doi : 10.1017/ S0022112067000412 , S2CID   123409273
• Моррисон, Пи Джей (2006). «Гамильтонова гидродинамика» (PDF) . Гамильтонова механика жидкости . Энциклопедия математической физики . Том. 2. Эльзевир. стр. 593–600. дои : 10.1016/B0-12-512666-2/00246-7 . ISBN  9780125126663 .
• Рунд, Х. (1976), «Обобщенные представления Клебша на многообразиях», Темы дифференциальной геометрии , Academic Press, стр. 111–133, ISBN  978-0-12-602850-8
• Салмон, Р. (1988), «Гамильтонова механика жидкости» , Annual Review of Fluid Mechanics , 20 : 225–256, Bibcode : 1988AnRFM..20..225S , doi : 10.1146/annurev.fl.20.010188.001301
• Селигер, РЛ; Уизем, Великобритания (1968), «Вариационные принципы в механике сплошной среды», Proceedings of the Royal Society of London A , 305 (1440): 1–25, Бибкод : 1968RSPSA.305....1S , doi : 10.1098/rspa. 1968.0103 , S2CID   119565234
• Серрин, Дж. (1959), «Математические принципы классической механики жидкости», в Флюгге, С .; Трусделл, К. (ред.), Strömungsmechanik I [ Гидравлическая динамика I ], Энциклопедия физики / Handbuch der Physik, vol. VIII/1, стр. 125–263, Бибкод : 1959HDP.....8..125S , номер doi : 10.1007/978-3-642-45914-6_2 , ISBN  978-3-642-45916-0 , МР   0108116 , Збл   0102.40503
• Весселинг, П. (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer, ISBN  978-3-540-67853-3
• Ву, Ж.-З.; Ма, Х.-Ю.; Чжоу, доктор медицинских наук (2007), Завихренность и вихревая динамика , Springer, ISBN  978-3-540-29027-8