Связанное состояние в континууме

Схематическое изображение энергетических уровней и примеры различных состояний. Состояния дискретного спектра (зеленый), резонансные состояния (синий пунктир) и связанные состояния в континууме (красный). Частично воспроизведено из и

Связанное состояние в континууме (BIC) — это собственное состояние некоторой конкретной квантовой системы, обладающее следующими свойствами:

1. Энергия лежит в непрерывном спектре распространяющихся мод окружающего пространства;
2. Состояние не взаимодействует ни с одним из состояний континуума (оно не может излучать и не может быть возбуждено никакой волной, пришедшей из бесконечности);
3. Энергия реальна, а добротность бесконечна, если в системе нет поглощения.

BIC наблюдаются в электронных, фотонных , акустических системах и представляют собой общее явление, наблюдаемое в системах, в которых применяется волновая физика.

Широко известны связанные состояния в запрещенной зоне, где нет конечных решений на бесконечности ( атомы , квантовые точки , дефекты в полупроводниках ). Для решений в континууме, связанных с этим континуумом, резонансные состояния известны, которые со временем распадаются (теряют энергию). Их можно возбудить, например, падающей волной той же энергии. Связанные состояния в континууме имеют реальные собственные значения энергии и поэтому не взаимодействуют с состояниями непрерывного спектра и не могут распадаться.

Классификация БИК по механизму возникновения

Источник:

БИК, возникающие при решении обратной задачи

BIC Вигнера-фон Неймана (Потенциальная инженерия)

Волновую функцию одного из состояний континуума модифицируют так, чтобы она была нормируемой, и для нее подбирают соответствующий потенциал.

показывать Примеры

In the work of von Neumann and Wigner two types of spherically symmetric potentials are considered, with the potential of$V(r)={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}$ localization occurs due to the "reflection" from infinity (since the material point goes to infinity for a finite time, rolling down from this potential, and the probability of being there tends to zero). A similar example in 1D considers the exponential dependence of the potential. The second type of potential has a complex shape, but is periodically modulated with period $\pi$. A wave function with period $2\pi$ is reflected from such a potential to the center in analogy to the reflection from a Bragg mirror. In the one-dimensional case, such potentials can be realized using superlattices.

Проектирование скорости скачка

В приближении сильной связи скорости скачков изменяются так, что состояние становится локализованным.

показывать Примеры

BICs of this type have been realized in an array of coupled optical waveguides, with the hopping rate modulated by the spacing between the waveguides. Experimentally, a state with following rates $\kappa _{n}=\left\{{\begin{array}{ll}\kappa &n\neq 2l\\\left({\frac {l+1}{l}}\right)\kappa &n=2l,(l=1,2,3,\ldots )\end{array}}\right.$ was realized in the system which consist of 40 waveguides. There are also examples of BICs in PT-symmetric systems.

Проектирование формы границ

Источники БИК разных типов, например типа Фабри-Перо, заменяются рассеивателями, чтобы создать БИК того же типа.

показывать Примеры
BICs of this type are observed for water waves.

BIC, возникающие из-за настройки параметров

БИК Фабри-Перо

Для резонансных структур коэффициент отражения вблизи резонанса может достигать единицы. Две такие структуры можно расположить таким образом, чтобы они излучали в противофазе и компенсировали друг друга.

показывать Примеры
In addition to the waves on water mentioned above, states of this type are found in many systems, such as those of pairs of quantum dots coupled to a waveguide, double chains of copper atoms, waveguide pairs of Z- and П- shapes In photonics, states are realized, for example, in pairs of two-dimensional photonic crystal slabs, double arrays of dielectric cylinders etc.

БИК Фридрих-Винтген

Две моды одинаковой симметрии одной и той же структуры сближаются при изменении параметров структуры, и в какой-то момент происходит антипересечение. В этом случае БИК формируется на одной из ветвей, поскольку моды как бы компенсируют друг друга, находясь в противофазе и излучая в один и тот же канал излучения.

показывать Примеры

Friedrich-Wintgen BICs (FW BICs) were considered for a hydrogen atom in a magnetic field and experimentally manifested in inhibition of autoionization of barium atom, topological insulators with a defect and many other quantum systems.Also, this type of BIC is found in two-dimensional and three-dimensional cylindrical open acoustic resonators. In photonics, accidental BICs in periodic structures can sometimes appear as FW BICs, also modes of this type appeared in Bragg waveguide at interaction of TE and TM waves through anisotropic medium. A notable example is the theoretical realization of BIC on a layered spherical nanoparticle of specifically selected materials, in this case BICs appear due to the interaction of different dipole modes of the same particle. By the same mechanism high-Q states can be realized in nonspherical dielectric resonators as well, but in this case each mode consist of an infinite number of multipoles, and the Q-factor doesn't go to infinity.

Однорезонансные параметрические БИК

Возникают, когда одну моду можно представить как сумму вкладов, каждый из которых варьируется в зависимости от параметров структуры. В какой-то момент происходит деструктивное взаимодействие всех вкладов.

показывать Примеры

BICs of this type are usually considered in photonic crystals and are also accidental BICs. They can appear in planar structures in $xy$-plane, which possess ${C_{2}}^{z}$ and $\sigma _{z}$ symmetries, but their existence is not guaranteed by symmetry, they appear for particular values of structure parameters. In addition to photonic periodic structures, BICs of this type can appear for water waves, quantum waveguides, mechanical resonators, as a surface waves etc.

BIC с симметричной защитой

Возникают, когда симметрия собственного состояния отличается от любой из возможных симметрий распространяющихся мод в континууме.

показывать Примеры
In the simple case, states of this type are observed in the Г-point of planar photonic crystals possessing symmetry ${C_{n}}^{z}$. Often, other types of BICs exist in the same structures. Also symmetry-protected BICs have been observed in coupled waveguide systems.

Отделимые BIC

Возникают, когда проблема собственных значений решается методом разделения переменных , а волновая функция представляется, например, в виде $\psi =\psi _{1}(x)\psi _{2}(y)$, где оба множителя соответствуют локализованным состояниям с полной энергией, лежащей в континууме.

показывать Примеры
The Hamiltonian for obtaining this type of BIC was first proposed by Robnik and then studied in various quantum systems and 2D photonic structures.

БИК Вигнера-фон Неймана

Связанные состояния в континууме были впервые предсказаны в 1929 году Юджином Вигнером и Джоном фон Нейманом . Описаны два потенциала, при которых БИК появляются по двум разным причинам.

В этой работе сферически-симметричная волновая функция сначала выбирается так, чтобы она была квадратично интегрируемой по всему пространству. Затем потенциал выбирается такой, чтобы эта волновая функция соответствовала нулевой энергии.

Потенциал сферически симметричен, тогда волновое уравнение запишется следующим образом:

$-{\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\Delta \psi +(V(r)-E)\psi =0,$

производные по углу исчезают, поскольку мы ограничиваемся рассмотрением только сферически-симметричных волновых функций:

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}},$

Для $E=0$ быть собственным значением сферически симметричной волновой функции $\psi =\psi (r)$, потенциал должен быть

$V={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\left({\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}+{\frac {2\psi ^{\prime }}{r\psi }}\right)$.

Получаем конкретные значения $\psi$ и $V$ для которых будет наблюдаться BIC.

Первый случай

Потенциал и волновая функция, соответствующие нулевой энергии, для первого случая БИК Вигнера-фон Неймана.

Рассмотрим функцию $\psi =r^{\alpha }{\sin r^{\beta }}$. В то время как интеграл $\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2\alpha +2}{\sin ^{2}r^{\beta }}{\text{d}}r$ должно быть конечным, а затем рассмотреть поведение, когда $r=0$, мы поняли это $2\alpha +\beta +2>-1$, а затем рассмотрим поведение, когда $r=\infty$, мы получаем $2\alpha +2<-1$. регулярность $V(r)$ в $r\neq 0$ требует $2\alpha +\beta +1=0$. Наконец, мы получаем $\alpha =-2,\ \beta =3$.

Предполагая $\psi (r)={\frac {\sin r^{3}}{r^{2}}}$, то потенциал будет равен (отбрасывая нерелевантный множитель ${h^{2}}/{8\pi ^{2}m}$):

$V(r)={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}$

Собственная функция и потенциальная кривая показаны на рисунке. Кажется, что электрон просто скатится с потенциала и энергия будет принадлежать твердотельному спектру, но существует стационарная орбита с $E=0$.

В работе даётся следующая интерпретация: такое поведение можно понять из аналогии с классической механикой (рассуждения принадлежат Лео Силарду ). Движение материальной точки в потенциале $V={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}$ описывается следующим уравнением:

${{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V(r)=\mathrm {Const} }$

${{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}\mathrm {Const} -{\frac {4}{m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {18}{m}}r^{4}}}}$

Это легко увидеть, когда $r\rightarrow \infty$, ${\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\rightarrow \infty$, поэтому асимптотика

${\frac {dr}{dt}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}r^{2};\ \ \ \ \ \ \ {\frac {1}{r}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}\left(t_{0}-t\right),\ \$ $r={\frac {\sqrt {m}}{3{\sqrt {2}}\left(t_{0}-t\right)}}$

то есть за конечное время $t=t_{0}$ точка уходит в бесконечность. Стационарное решение $\psi (r)$ означает, что точка снова возвращается из бесконечности, что она как бы отражается оттуда и начинает колебаться. Тот факт, что $\psi (r)$ в $r=\infty$ стремится к нулю, следует из того, что он скатывается по большому потенциальному слайду и имеет огромную скорость и, следовательно, малое время жизни. А поскольку весь колебательный процесс (от $r_{min}$ на бесконечность и обратно) является периодической, то логично, что эта квантовомеханическая задача имеет стационарное решение.

Второй случай

(а) Потенциал и волновая функция (в произвольном масштабе вдоль вертикальной оси), соответствующие нулевой энергии, для второго случая ССК Вигнера фон Неймана: $A=1.5$ (б) $A=15$.

Перейдем ко второму примеру, который уже нельзя интерпретировать из подобных соображений.

Прежде всего, возьмем функцию $\psi ={\frac {\sin r}{r}}$, затем $V=-1$. Это расходящиеся сферические волны, поскольку энергия $E=0$ больше, чем потенциал $V=-1$, классическая кинетическая энергия остается положительной. Волновая функция принадлежит непрерывному спектру, интеграл $\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=4\pi \int _{0}^{\infty }\sin ^{2}r{\text{d}}r$ расходится. Попробуем изменить волновую функцию так, чтобы квадратичный интеграл сходился, а потенциал изменялся вблизи -1.

Рассмотрим следующий подход:

$\psi ={\frac {\sin r}{r}}f(r)$

Если функция $f(r)$ является непрерывным, и при $r\rightarrow \infty$ асимптотика $r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2$ то интеграл конечен. Тогда потенциал будет равен (с исправленной арифметической ошибкой в ​​исходной статье):

$V=-1+2\operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}+{\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}.$

Для того, чтобы потенциал оставался около -1 и на уровне $r\rightarrow \infty$ стремятся к -1, мы должны сделать функции $\operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}},\ {\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}$ маленький и в $r\rightarrow \infty$ стремятся к нулю.

В первом случае также ${\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}$ должен исчезнуть для $\operatorname {ctg} r=\infty$, а именно для $r=0,\pi ,\ 2\pi ,\ 2\pi ,\dots$, это для $\sin r=0$. Это тот случай, когда $f(r)=\int _{0}^{r}\sin ^{2}r{\text{d}}r={\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r$ или любая другая функция этого выражения.

Предположим $f(r)=[A^{2}+({\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r)^{2}]^{-1}$, где $A$ произвольно (здесь $f(r)$ имеет тенденцию $r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2$ когда $r\rightarrow \infty$). Затем

$\psi ={\frac {\sin r}{r(A^{2}+(2r-\sin 2r)^{2})}}.$

Выражение для потенциала громоздкое, но из графиков видно, что для $r\rightarrow \infty$ потенциал стремится к -1.Более того, оказывается, что для любого $\varepsilon >0$ можно выбрать такой A , что потенциал находится между $-1-\varepsilon$ и $-1+\varepsilon$.Мы видим, что потенциал колеблется с периодом $\pi$ и волновая функция колеблется с периодом $2\pi$. Оказывается, что все отраженные волны от «горбов» такого потенциала находятся в фазе, а функция локализована в центре, отражаясь от потенциала по механизму, аналогичному отражению от брэгговского зеркала .

Литература

• Сюй, Цзя Вэй; Чжэнь, Бо; Стоун, А. Дуглас; Джоаннопулос, Джон Д.; Солячич, Марин (2016). «Связанные состояния в континууме». Материалы обзоров природы . 1 (9). Бибкод : 2016NatRM...116048H . дои : 10.1038/natrevmats.2016.48 . hdl : 1721.1/108400 . S2CID   123778221 .
• Кошелев Кирилл; Богданов Андрей; Кившарь, Юрий (2020). «Инжиниринг со связанными состояниями в континууме». Новости оптики и фотоники . 31 (1): 38. Бибкод : 2020OptPN..31a..38K . дои : 10.1364/ОПН.31.1.000038 . S2CID   213414202 .
• Аззам, Шаймаа И.; Кильдышев, Александр В. (2021). «Фотонные связанные состояния в континууме: от основ к приложениям». Передовые оптические материалы . 9 . дои : 10.1002/adom.202001469 . S2CID   228843072 .
• Садреев, Алмас Ф. (2021). «Интерференционные ловушки волн в открытой системе: связанные состояния в континууме». Отчеты о прогрессе в физике . 84 (5). arXiv : 2011.01221 . Бибкод : 2021RPPH...84e5901S . дои : 10.1088/1361-6633/abefb9 . ПМИД   33730696 .