Симметрия в квантовой механике

Симметрии в квантовой механике описывают особенности пространства-времени и частиц, которые не изменяются при некотором преобразовании, в контексте квантовой механики , релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля , а также с приложениями в математической формулировке стандартной модели и физике конденсированного состояния . В целом симметрия в физике , инвариантность и законы сохранения являются фундаментально важными ограничениями для формулирования физических теорий и моделей. На практике это мощные методы решения проблем и прогнозирования того, что может произойти. Хотя законы сохранения не всегда дают прямой ответ на проблему, они формируют правильные ограничения и первые шаги к решению множества проблем. В приложении понимание симметрии также может дать представление о собственных состояниях, которые можно ожидать. Например, о существовании вырожденных состояний можно судить по наличию некоммутирующих операторов симметрии или по тому, что невырожденные состояния также являются собственными векторами операторов симметрии.

В этой статье очерчена связь между классической формой непрерывных симметрий , а также их квантовыми операторами , а также их связь с группами Ли и релятивистскими преобразованиями в группе Лоренца и группе Пуанкаре .

Обозначения

В этой статье используются следующие соглашения об обозначениях. Жирным шрифтом выделены векторы , четыре вектора , матрицы и векторные операторы , а в квантовых состояниях используется обозначение Бра-Кет . Широкие шляпы предназначены для операторов , узкие шляпы — для единичных векторов (включая их компоненты в нотации тензорного индекса ). соглашение о суммировании повторяющихся тензорных индексов Если не указано иное, используется . Сигнатура метрики Минковского равна (+--- ) .

Преобразования симметрии волновой функции в нерелятивистской квантовой механике

Непрерывные симметрии

В общем случае соответствие между непрерывными симметриями и законами сохранения дается теоремой Нётер .

Форма фундаментальных квантовых операторов, например, энергии как частной производной по времени и импульса как пространственного градиента , становится ясной, когда кто-то рассматривает начальное состояние, а затем слегка меняет один его параметр. Это можно сделать для смещений (длин), длительности (времени) и углов (поворотов). Кроме того, инвариантность определенных величин можно увидеть, сделав такие изменения длин и углов, иллюстрирующие сохранение этих величин.

Далее преобразования только одночастичных волновых функций вида:

$${\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')$$

рассматриваются, где ${\widehat {\Omega }}$ обозначает унитарный оператор . Унитарность обычно требуется для операторов, представляющих преобразования пространства, времени и спина, поскольку норма состояния (представляющая полную вероятность найти где-то частицу с некоторым спином) должна быть инвариантной относительно этих преобразований. Обратное - это эрмитово сопряжение. ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }$. Результаты могут быть распространены на многочастичные волновые функции. Записанные в стандартной нотации Дирака , преобразования векторов квантового состояния таковы:

$${\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle$$

Теперь действие ${\widehat {\Omega }}$ меняет ψ ( r , t ) на ψ ( r ′, t ′) , поэтому обратное ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }$ меняет ψ ( r ′, t ′) обратно на ψ ( r , t ) , поэтому оператор ${\widehat {A}}$ инвариант относительно ${\widehat {\Omega }}$ удовлетворяет:

$${\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi$$

и таким образом:

$$[{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0$$

для любого состояния ψ . Квантовые операторы, представляющие наблюдаемые, также должны быть эрмитовыми, чтобы их собственные значения были действительными числами , т. е. оператор был равен своему эрмитовому сопряженному оператору , ${\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }$.

Обзор теории групп Ли

Полное изложение и подробности см. в разделе Группа Ли и Генератор (математика) .

Ниже приведены ключевые моменты теории групп, имеющие отношение к квантовой теории, примеры приводятся на протяжении всей статьи. Альтернативный подход с использованием матричных групп см. в книгах Холла.

Пусть G — группа Ли , которая локально параметризуется конечным числом N действительных непрерывно меняющихся параметров ξ ₁ , ξ ₂ , ..., ξ _N . На более математическом языке это означает, что G — гладкое многообразие , которое также является группой, для которой групповые операции гладкие.

• размерность группы N . — это количество параметров, которые она имеет
• элементы группы ​ g : в G являются функциями параметров $$g=G(\xi _{1},\xi _{2},\dots )$$ и все параметры, установленные в ноль, возвращают идентификационный элемент группы: $$I=G(0,0,\dots )$$ Элементы группы часто представляют собой матрицы, действующие на векторы, или преобразования, действующие на функции.
• Генераторы группы являются частными производными элементов группы по параметрам группы, результат которых оценивается, когда параметр установлен в ноль: $$X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}$$ На языке многообразий образующие — это элементы касательного пространства к G в единице. элементы алгебры Ли группы G. Генераторы также известны как бесконечно малые групповые элементы или (См. обсуждение коммутатора ниже.)
  Одним из аспектов генераторов в теоретической физике является то, что они могут быть сконструированы как операторы, соответствующие симметриям, которые могут быть записаны как матрицы или как дифференциальные операторы. В квантовой теории для унитарных представлений группы генераторам требуется коэффициент i : $$X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}$$ Генераторы группы образуют векторное пространство , а это значит, что линейные комбинации генераторов также образуют генератор.
• Генераторы (будь то матрицы или дифференциальные операторы) удовлетворяют коммутационным соотношениям : $$\left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}$$ где f _abc (зависящие от базиса) — структурные константы группы . Это делает, вместе со свойством векторного пространства, множество всех образующих группы алгеброй Ли . Из-за антисимметрии скобки структурные константы группы антисимметричны по первым двум индексам.
• Затем представления группы описывают способы, которыми группа G (или ее алгебра Ли) может действовать в векторном пространстве. (Векторным пространством может быть, например, пространство собственных векторов гамильтониана, имеющего в качестве группы симметрии.) Мы обозначаем представления заглавной буквой D. G Затем можно дифференцировать D , чтобы получить представление алгебры Ли, часто также обозначаемое D . Эти два представления связаны следующим образом: $$D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}$$ без суммирования по повторяющемуся индексу j . Представления — это линейные операторы, которые принимают элементы группы и сохраняют правило композиции: $$D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).$$

Представление, которое не может быть разложено в прямую сумму других представлений, называется неприводимым . принято обозначать Неприводимые представления верхним индексом n в скобках, как в D ^{( н )} , или если чисел больше одного, пишем D ^{( н , м , ...)} .

В квантовой теории возникает еще одна тонкость, где два вектора, отличающиеся умножением на скаляр, представляют одно и то же физическое состояние. Здесь подходящим понятием представления является проективное представление , которое удовлетворяет закону композиции только с точностью до скаляра. В контексте квантовомеханического спина такие представления называются спинориальными .

Импульс и энергия как генераторы перемещения, эволюции во времени и вращения.

Оператор космического перевода ${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$ воздействует на волновую функцию, сдвигая координаты пространства на бесконечно малое смещение Δ r . Явное выражение ${\widehat {T}}$ может быть быстро определено с помощью разложения Тейлора ψ , ( r + Δ r , t ) относительно r затем (сохраняя член первого порядка и пренебрегая членами второго и более высокого порядка) замените пространственные производные оператором импульса ${\widehat {\mathbf {p} }}$. Аналогично для оператора перевода времени, действующего на временной параметр, разложение Тейлора ψ ( r , t + Δ t ) составляет около t , а производная по времени заменяется оператором энергии ${\widehat {E}}$.

Имя	Оператор перевода ${\widehat {T}}$	Оператор перевода/эволюции времени ${\widehat {U}}$
Действие на волновую функцию	${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)$	${\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)$
Бесконечно малый оператор	${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}$	${\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}$
Конечный оператор	$\lim _{N\to \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{N}}\cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$	$\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t)$
Генератор	Оператор импульса ${\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$	Энергетический оператор ${\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

Показательные функции возникают по определению как пределы Эйлера и могут быть поняты физически и математически следующим образом. / N Чистый перевод может состоять из множества небольших сдвигов, поэтому, чтобы получить оператор перевода для конечного приращения, замените ∆r и ∆t на число , ∆t / N , где ∆r N на — положительное целое отличное от нуля. Затем по мере увеличения N величины Δr . и Δt становятся еще меньше, при этом направления остаются неизменными Действие бесконечно малых операторов на волновую функцию N раз и переход к пределу при стремлении N к бесконечности дают конечные операторы.

Переводы пространства и времени коммутируют, а это означает, что операторы и генераторы коммутируют.

Коммутаторы

Операторы	Генераторы
$\left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$
$\left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$

Для независимого от времени гамильтониана энергия сохраняется во времени, а квантовые состояния являются стационарными состояниями : собственными состояниями гамильтониана являются собственные значения энергии E :

$${\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)$$

и все стационарные состояния имеют вид

$$\psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})$$

где t ₀ — начальное время, обычно устанавливаемое равным нулю, поскольку при установке начального времени не происходит потери непрерывности.

Альтернативное обозначение ${\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})$.

Угловой момент как генератор вращений

Орбитальный угловой момент

Оператор вращения воздействует на волновую функцию, поворачивая пространственные координаты частицы на постоянный угол Δ θ :

$${R}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)$$

где r' — координаты, повернутые вокруг оси, определяемой единичным вектором. ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ через угловое приращение Δ θ , определяемое формулой:

$$\mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.$$

где ${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})$ — матрица вращения, зависящая от оси и угла. На языке теории групп матрицы вращения являются элементами группы, а углы и оси $\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})$ являются параметрами трехмерной специальной ортогональной группы SO(3). Матрицы вращения вокруг стандартного декартова базисного вектора ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$ на угол Δ θ и соответствующие генераторы вращений J = ( J _x , J _y , J _z ) :

${\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}\equiv J_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

В более общем смысле для вращений вокруг оси, определяемой формулой ${\hat {\mathbf {a} }}$, элементы матрицы вращения:

$$[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}$$

где δij _— — дельта Кронекера , а Леви - _εijk символ Чивита .

Не так очевидно, как определить оператор вращения по сравнению с перемещениями пространства и времени. Мы можем рассмотреть частный случай (вращение вокруг оси x , y или z ), а затем вывести общий результат или напрямую использовать общую матрицу вращения и обозначение тензорного индекса с δ _ij и ε _ijk . Чтобы получить бесконечно малый оператор вращения, который соответствует малому Δ θ , мы используем аппроксимации малых углов sin(Δ θ ) ≈ Δ θ и cos(Δ θ ) ≈ 1 , затем расширяем Тейлора относительно r или r _i , сохраняя первый порядок член и подставим компоненты оператора углового момента .

	Вращение вокруг ${\hat {\mathbf {e} }}_{z}$	Вращение вокруг ${\hat {\mathbf {a} }}$
Действие на волновую функцию	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)$	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j},t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)$
Бесконечно малый оператор	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}$	${\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end{aligned}}$
Бесконечно малые вращения	${\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}$	Такой же
Конечные вращения	$\lim _{N\to \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta }{N}}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}$	Такой же
Генератор	z -компонента оператора углового момента ${\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}$	Оператор полного углового момента ${\widehat {\mathbf {L} }}$.

-компонента Z углового момента может быть заменена компонентой вдоль оси, определяемой формулой ${\hat {\mathbf {a} }}$, используя скалярное произведение ${\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}$.

Опять же, конечное вращение можно сделать из множества небольших вращений, заменив Δ θ на Δ θ / N и приняв предел, когда N стремится к бесконечности, получим оператор вращения для конечного вращения.

Вращения вокруг одной и той же оси коммутируют, например, вращение на углы θ ₁ и θ ₂ вокруг оси i. можно записать

$$R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})]=0\,.$$

Однако вращения вокруг разных осей не коммутируют. Общие правила коммутации суммируются следующим образом:

$$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.$$

В этом смысле орбитальный угловой момент обладает здравыми свойствами вращения. Каждый из вышеупомянутых коммутаторов можно легко продемонстрировать, взяв обычный предмет и повернув его на один и тот же угол вокруг любых двух разных осей в обоих возможных порядках; окончательные конфигурации разные.

В квантовой механике существует еще одна форма вращения, которая математически похожа на орбитальный случай, но имеет другие свойства, описанные ниже.

Спиновый угловой момент

Все предыдущие величины имеют классические определения. Спин — это величина, которой обладают частицы в квантовой механике, не имеющая классического аналога и имеющая единицы углового момента. спина Оператор вектора обозначается ${\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})$. Собственные значения его компонентов — это возможные исходы (в единицах $\hbar$) измерения спина, спроецированного на одно из направлений базиса.

Вращения (обычного пространства) вокруг оси ${\hat {\mathbf {a} }}$ через угол θ относительно единичного вектора ${\hat {a}}$ в пространстве, действующая на многокомпонентную волновую функцию (спинор) в точке пространства, представляется следующим образом:

Оператор вращения спина ( конечный )

${\widehat {S}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}\right)$

Однако, в отличие от орбитального углового момента, в котором z -проекции квантовое число ℓ может принимать только положительные или отрицательные целые значения (включая ноль), z -проекции спина квантовое число s может принимать все положительные и отрицательные полуцелые значения. Для каждого спинового квантового числа существуют вращательные матрицы.

Оценка экспоненты для данного z -проекции спинового квантового числа s дает (2 s + 1)-мерную спиновую матрицу. Это можно использовать для определения спинора как вектор-столбца из 2 s + 1 компонентов, который преобразуется во повернутую систему координат в соответствии с матрицей вращения в фиксированной точке пространства.

Для простейшего нетривиального случая s = 1/2 оператор спина имеет вид

$${\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$$

где матрицы Паули в стандартном представлении имеют вид:

$$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$$

Полный угловой момент

Оператор полного углового момента представляет собой сумму орбитального и спинового

$${\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}$$

и является важной величиной для многочастичных систем, особенно в ядерной физике и квантовой химии многоэлектронных атомов и молекул.

У нас есть аналогичная матрица вращения:

$${\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)$$

Сохраняющиеся величины в квантовом гармоническом осцилляторе

Группа динамической симметрии n- мерного квантового гармонического осциллятора представляет собой специальную унитарную группу SU( n ). Например, количество бесконечно малых образующих соответствующих алгебр Ли групп SU(2) и SU(3) равно трем и восьми соответственно. Это приводит к появлению ровно трех и восьми независимых сохраняющихся величин (кроме гамильтониана) в этих системах.

Двумерный квантовый гармонический осциллятор имеет ожидаемые сохраняющиеся величины гамильтониана и углового момента, но имеет дополнительные скрытые сохраняющиеся величины разности уровней энергии и другую форму углового момента.

Группа Лоренца в релятивистской квантовой механике

Ниже приводится обзор группы Лоренца; трактовка ускорений и вращений в пространстве-времени. В этом разделе см., например, T. Ohlsson (2011). и Э. Аберс (2004).

Преобразования Лоренца можно параметризовать по быстроте φ для ускорения в направлении трехмерного единичного вектора. ${\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})$и угол поворота θ вокруг трехмерного единичного вектора ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ определяя ось, поэтому $\varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})$ и $\theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})$ вместе составляют шесть параметров группы Лоренца (три для вращений и три для бустов). Группа Лоренца шестимерна.

Чистые вращения в пространстве-времени

Рассмотренные выше матрицы вращения и генераторы вращения образуют пространственноподобную часть четырехмерной матрицы, представляющую собой преобразования Лоренца чистого вращения. Три элемента группы Лоренца. ${\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}$ и генераторы J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) для чистых вращений:

${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Матрицы вращения действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и вращают пространственноподобные компоненты согласно

$$\mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}$$

оставляя времяподобную координату неизменной. В матричных выражениях A рассматривается как вектор-столбец .

Чистые ускорения в пространстве-времени

Повышение скорости c tanh φ в направлениях x , y или z , заданных стандартным декартовым базисным вектором. ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$, — матрицы преобразования повышения. Эти матрицы ${\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}$ и соответствующие генераторы K = ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) являются оставшимися тремя элементами группы и генераторами группы Лоренца:

${\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Матрицы повышения действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и смешивают времяподобные и пространственноподобные компоненты согласно:

$$\mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}$$

Термин «ускорение» относится к относительной скорости между двумя кадрами, и его не следует путать с импульсом как генератором перемещений , как объяснено ниже .

Комбинирование бустов и ротаций

Продукты вращений дают другое вращение (частый пример подгруппы), в то время как продукты повышений и повышений или вращений и усилений не могут быть выражены как чистые повышения или чистые вращения. В общем, любое преобразование Лоренца можно выразить как произведение чистого вращения и чистого ускорения. Дополнительную информацию см. (например) BR Durney (2011). и HL Berk et al. и ссылки в нем.

Генераторы повышения и вращения имеют представления, обозначенные D ( K ) и D ( J ) соответственно, заглавная буква D в этом контексте указывает на групповое представление .

Для группы Лоренца представления D ( K ) и D ( J ) генераторов K и J удовлетворяют следующим правилам коммутации.

Коммутаторы

	Генераторы	Представительства
Чистое вращение	$\left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c}$	$\left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}$
Чистый импульс	$\left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c}$	$\left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}$
Преобразование Лоренца	$\left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c}$	$\left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c})}$

Во всех коммутаторах сущности повышения смешиваются с объектами вращения, хотя сами по себе вращения просто дают еще одно вращение. Возведение в степень генераторов дает операторы повышения и вращения, которые объединяются в общее преобразование Лоренца, при котором координаты пространства-времени преобразуются из одного кадра покоя в другой усиленный и/или вращающийся кадр. Аналогично, возведение в степень представлений генераторов дает представления операторов повышения и вращения, под действием которых преобразуется спинорное поле частицы.

Законы трансформации

	Преобразования	Представительства
Чистый импульс	${\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)$	$D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)$
Чистое вращение	${\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)$	$D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)$
Преобразование Лоренца	$\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]$	$D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} }},\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)\right]$

В литературе буст-генераторы K и генераторы вращения J иногда объединяют в один генератор преобразований Лоренца M — антисимметричную четырехмерную матрицу с элементами:

$$M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.$$

и, соответственно, параметры повышения и вращения собираются в другую антисимметричную четырехмерную матрицу ω с записями:

$$\omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\,,$$

Тогда общее преобразование Лоренца будет выглядеть так:

$$\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]$$

с суммированием по повторяющимся матричным индексам α и β . Матрицы Λ действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и смешивают времяподобные и пространственноподобные компоненты согласно:

$$\mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A}$$

Преобразования спинорных волновых функций в релятивистской квантовой механике

В релятивистской квантовой механике волновые функции больше не являются однокомпонентными скалярными полями, а теперь представляют собой 2(2 s + 1) компонентные спинорные поля, где s — спин частицы. Преобразования этих функций в пространстве-времени приведены ниже.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца ( r , t ) → Λ( r , t ) в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ _σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца :

$$\psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))$$

где D (Λ) — конечномерное представление, другими словами, (2 s + 1) × (2 s + 1) размерности квадратная матрица , а ψ рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с (2 s + 1) 1) допустимые значения σ :

$$\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}$$

Реальные неприводимые представления и спин

Неприводимые представления D ( ( K ) и D , короче «irreps», можно J ) использовать для построения спиновых представлений группы Лоренца. Определение новых операторов:

$$\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,$$

поэтому A и B являются просто комплексно-сопряженными друг с другом, следовательно, они удовлетворяют симметрично сформированным коммутаторам:

$$\left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,$$

и это, по сути, коммутаторы, которым удовлетворяют операторы орбитального и спинового углового момента. Следовательно, A и B образуют операторные алгебры, аналогичные угловому моменту; одни и те же лестничные операторы , z -проекции и т. д. независимо друг от друга, поскольку каждая из их компонент взаимно коммутирует. По аналогии со спиновым квантовым числом мы можем ввести целые положительные или полуцелые числа a, b с соответствующими наборами значений m = a , a - 1, ... - a + 1, - a и n = b , б - 1, ... - б + 1, - б . Матрицы, удовлетворяющие вышеуказанным коммутационным соотношениям, такие же, как и для спинов a и b, имеют компоненты, определяемые умножением значений дельты Кронекера на элементы матрицы углового момента:

$$\left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}$$$$\left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}$$$$\left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}$$

где в каждом случае номер строки m’n’ и номер столбца mn разделяются запятой, и по очереди:

$$\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}$$

и аналогично для J ^{( н )} . Три Дж. ^{( м )} каждая матрица представляет собой квадратную матрицу размером (2 m + 1) × (2 m + 1) , а три J ^{( н )} каждая (2 n + 1) × (2 n + 1) квадратная матрица. Целые или полуцелые числа m и n нумеруют все неприводимые представления в эквивалентных обозначениях, используемых авторами: D ^{( м , н )} ≡ ( м , п ) ≡ D ^{( м )} ⊗ Д ^{( н )} , каждая из которых представляет собой [(2 m + 1)(2 n + 1)]×[(2 m + 1)(2 n + 1)] квадратные матрицы.

Применяя это к частицам со спином s ;

• левые (2 s + 1) -компонентные спиноры преобразуются при вещественных ирреплениях D ^{( с , 0)} ,
• правые (2 s + 1) -компонентные спиноры преобразуются при вещественных ирреплениях D ^{(0, с )} ,
• взяв прямые суммы , символизируемые ⊕ (более простое матричное понятие см . в прямой сумме матриц ), можно получить представления, при которых преобразуются 2(2 s + 1) -компонентные спиноры: D ^{( м , н )} ⊕ Д ^{( н , м )} где м + п = s . Это тоже настоящие иррепы, но, как было показано выше, они расщепляются на комплексные сопряжения.

В этих случаях D относится к любому из D ( J ) , D ( K ) или полному преобразованию Лоренца D (Λ) .

Релятивистские волновые уравнения

В контексте уравнения Дирака и уравнения Вейля спиноры Вейля, удовлетворяющие уравнению Вейля, преобразуются в простейших неприводимых спиновых представлениях группы Лоренца, поскольку спиновое квантовое число в этом случае является наименьшим разрешенным ненулевым числом: 1/2 . Двухкомпонентный левый спинор Вейля преобразуется под действием D ^{(1/2, 0)} а 2-компонентный правый спинор Вейля преобразуется под действием D ^{(0, 1/2)} . Спиноры Дирака, удовлетворяющие преобразованию уравнения Дирака в представлении D ^{(1/2, 0)} ⊕ Д ^{(0, 1/2)} , прямая сумма неповторяющихся спиноров Вейля.

Группа Пуанкаре в релятивистской квантовой механике и теории поля

Пространственные перемещения , перемещения времени , вращения и повышения , вместе взятые, составляют группу Пуанкаре . Элементами группы являются три матрицы вращения и три матрицы повышения (как в группе Лоренца), одна для сдвигов во времени и три для пространственных перемещений в пространстве-времени. Для каждого есть генератор. Следовательно, группа Пуанкаре 10-мерна.

В специальной теории относительности пространство и время можно объединить в четырехпозиционный вектор X = ( ct , − r ) , и параллельно это можно сделать с помощью энергии и импульса, которые объединяются в четырехпозиционный вектор P = ( E / c , − p ) . Учитывая релятивистскую квантовую механику, длительность времени и параметры пространственного смещения (всего четыре, один для времени и три для пространства) объединяются в пространственно-временное смещение Δ X = ( c Δ t , −Δ r ) , а энергия и импульс операторы вставляются в четырехимпульсный оператор, чтобы получить четырехимпульсный оператор,

$${\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\,,$$

которые являются генераторами пространственно-временных переводов (всего четыре, один временной и три пространственных):

$${\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat {\mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.$$

Между компонентами четырехимпульса P (генераторы сдвигов пространства-времени) и углового момента M (генераторы преобразований Лоренца) существуют коммутационные соотношения, которые определяют алгебру Пуанкаре:

• $[P_{\mu },P_{\nu }]=0\,$
• ${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,$
• ${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,$

где η — метрический тензор Минковского . (Обычно снимают шляпы с операторов четырехимпульса в коммутационных соотношениях). Эти уравнения являются выражением фундаментальных свойств пространства и времени, насколько они известны сегодня. Они имеют классический аналог, в котором коммутаторы заменены скобками Пуассона .

Для описания спина в релятивистской квантовой механике используется псевдовектор Паули – Любанского.

$$W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },$$

оператор Казимира , представляет собой вклад постоянного спина в полный угловой момент, и существуют коммутационные соотношения между P и W , а также между M и W :

$$\left[P^{\mu },W^{\nu }\right]=0\,,$$$$\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\rho \mu }W^{\nu }\right)\,,$$$$\left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\,.$$

Инварианты, построенные из W , экземпляры инвариантов Казимира, могут использоваться для классификации неприводимых представлений группы Лоренца.

Симметрии в квантовой теории поля и физике элементарных частиц

Унитарные группы в квантовой теории поля

Теория групп — это абстрактный способ математического анализа симметрии. Унитарные операторы имеют первостепенное значение для квантовой теории, поэтому унитарные группы важны в физике элементарных частиц. Группа N- мерных унитарных квадратных матриц обозначается U( N ). Унитарные операторы сохраняют внутренние продукты, что означает, что вероятности также сохраняются, поэтому квантовая механика системы инвариантна относительно унитарных преобразований. Позволять ${\widehat {U}}$ — унитарный оператор, поэтому обратный является эрмитовым сопряженным ${\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dagger }$, который коммутирует с гамильтонианом:

$$\left[{\widehat {U}},{\widehat {H}}\right]=0$$

то наблюдаемая, соответствующая оператору ${\widehat {U}}$ сохраняется, а гамильтониан инвариантен относительно преобразования ${\widehat {U}}$.

Поскольку предсказания квантовой механики должны быть инвариантными относительно действия группы, физики ищут унитарные преобразования для представления группы.

Важными подгруппами каждой U( N ) являются те унитарные матрицы, которые имеют единичный определитель (или являются «унимодулярными»): они называются специальными унитарными группами и обозначаются SU( N ).

в(1)

Самая простая унитарная группа — это U(1), которая представляет собой просто комплексные числа с модулем 1. Эта одномерная матричная запись имеет вид:

$$U=e^{-i\theta }$$

в котором θ — параметр группы, а группа абелева, поскольку одномерные матрицы всегда коммутируют при умножении матриц. Лагранжианы в квантовой теории поля для комплексных скалярных полей часто инвариантны относительно преобразований U (1). Если существует квантовое число a, связанное с симметрией U (1), например барион и три лептонных числа в электромагнитных взаимодействиях, мы имеем:

$$U=e^{-ia\theta }$$

У(2) и СУ(2)

Общая форма элемента U(2) параметризуется двумя комплексными числами a и b :

$$U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix}}$$

а для SU(2) определитель ограничен 1:

$$\det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1$$

На языке теории групп матрицы Паули являются генераторами специальной унитарной группы в двух измерениях, обозначаемой SU (2). Их коммутационное соотношение такое же, как и для орбитального углового момента, за исключением коэффициента 2:

$$[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c}$$

Групповой элемент SU(2) можно записать:

$$U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}$$

где σ _j — матрица Паули, а параметры группы — углы, повернутые вокруг оси.

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор имеет группу симметрии SU(2), а алгебра симметрии рационального анизотропного осциллятора является нелинейным расширением u(2).

У(3) и СУ(3)

Восемь матриц Гелл-Мана λ _n (их и структурные константы см. в статье) важны для квантовой хромодинамики . Первоначально они возникли в теории аромата SU(3), которая до сих пор имеет практическое значение в ядерной физике. Они являются генераторами группы SU(3), поэтому элемент SU(3) можно записать аналогично элементу SU(2):

$$U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^{8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)$$

где θ _n — восемь независимых параметров. Матрицы λ _n удовлетворяют коммутатору:

$$\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c}$$

где индексы a , b , c принимают значения 1, 2, 3, ..., 8. Структурные константы f _abc полностью антисимметричны во всех индексах, аналогичных индексам SU(2). В стандартном базисе заряда цвета ( r для красного, g для зеленого, b для синего):

$$|r\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |g\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |b\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$$

цветовые состояния являются собственными состояниями матриц λ ₃ и λ ₈ , в то время как другие матрицы смешивают цветовые состояния вместе.

Восемь состояний глюонов (8-мерные векторы-столбцы) являются одновременными собственными состояниями присоединенного представления SU (3) , 8-мерного представления, действующего на свою собственную алгебру Ли su(3) , для матриц λ ₃ и λ ₈ . Формируя тензорные произведения представлений (стандартное представление и его двойственное) и принимая соответствующие факторы, протоны, нейтроны и другие адроны становятся собственными состояниями различных представлений SU (3) цвета. Представления SU(3) можно описать «теоремой высшего веса».

Материя и антиматерия

В релятивистской квантовой механике релятивистские волновые уравнения предсказывают замечательную симметрию природы: каждой частице соответствует соответствующая античастица . Математически это содержится в спинорных полях, которые являются решениями релятивистских волновых уравнений.

Зарядовое сопряжение переключает частицы и античастицы. Физические законы и взаимодействия, не измененные этой операцией, обладают C-симметрией .

Дискретные симметрии пространства-времени

• Четность отражает ориентацию пространственных координат от левой к правой. Неформально пространство «отражается» в свое зеркальное отражение. Физические законы и взаимодействия, не измененные этой операцией, обладают P-симметрией .
• Обращение времени переворачивает временную координату, что соответствует времени, бегущему из будущего в прошлое. Любопытное свойство времени, которого нет в пространстве, заключается в том, что оно однонаправлено: частицы, движущиеся вперед во времени, эквивалентны античастицам, путешествующим во времени назад. Физические законы и взаимодействия, не измененные этой операцией, обладают Т-симметрией .

C , P , T симметрии

• Паритет (физика) § Молекулы
• Теорема CPT
• нарушение CP
• PT-симметрия
• нарушение Лоренца

Калибровочная теория

Основная статья: Калибровочная теория

В квантовой электродинамике локальная группа симметрии равна U(1) и является абелевой . В квантовой хромодинамике локальная группа симметрии — SU(3) и неабелева .

Электромагнитное взаимодействие осуществляется фотонами , не имеющими электрического заряда. Электромагнитный тензор имеет электромагнитное четырехпотенциальное поле, обладающее калибровочной симметрией.

Сильное (цветовое) взаимодействие опосредовано глюонами , которые могут иметь восемь цветовых зарядов . Существует восемь тензоров напряженности глюонного поля с соответствующим полем четырех потенциалов глюона , каждый из которых обладает калибровочной симметрией.

Сильное (цветовое) взаимодействие

Цветовой заряд

Аналогично оператору спина существуют операторы цветового заряда в терминах матриц Гелл-Мана λ _j :

$${\hat {F}}_{j}={\frac {1}{2}}\lambda _{j}$$

и поскольку цветовой заряд является сохраняющимся зарядом, все операторы цветового заряда должны коммутировать с гамильтонианом:

$$\left[{\hat {F}}_{j},{\hat {H}}\right]=0$$

Изоспин

Изоспин сохраняется при сильных взаимодействиях.

Слабые и электромагнитные взаимодействия

Трансформация дуальности

Магнитные монополи теоретически могут быть реализованы, хотя текущие наблюдения и теории согласуются с их существованием или отсутствием. Электрические и магнитные заряды могут эффективно «вращаться друг в друга» посредством трансформации дуальности .

Электрослабая симметрия

• Электрослабая симметрия
• Нарушение электрослабой симметрии

Суперсимметрия

Основная статья: Суперсимметрия

Супералгебра Ли — это алгебра, в которой (подходящие) базисные элементы либо имеют коммутационное отношение, либо имеют антикоммутационное отношение. Были предложены симметрии о том, что все фермионные частицы имеют бозонные аналоги, и наоборот. Эта симметрия имеет теоретическую привлекательность, поскольку не делается никаких дополнительных предположений (таких как существование струн), исключающих симметрию. Кроме того, допустив суперсимметрию, можно решить ряд загадочных проблем. Эти симметрии, представленные супералгебрами Ли, экспериментально не подтверждены. Сейчас считается, что это нарушенные симметрии, если они существуют. Но было высказано предположение, что темная материя представляет собой гравитино , частицу со спином 3/2 и массой, а ее суперсимметричным партнером является гравитон .

Обменная симметрия

Основная статья: Неразличимые частицы

Концепция обменной симметрии вытекает из фундаментального постулата квантовой статистики , который утверждает, что ни одна наблюдаемая физическая величина не должна меняться после обмена двумя идентичными частицами . Он утверждает, что, поскольку все наблюдаемые пропорциональны $\left|\psi \right|^{2}$ для системы одинаковых частиц волновая функция $\psi$ при таком обмене должны либо остаться прежними, либо изменить знак. В более общем смысле, для системы из n одинаковых частиц волновая функция $\psi$ преобразоваться как неприводимое представление конечной симметрической группы Sn _должна . Оказывается, согласно теореме о спин-статистике фермионные состояния преобразуются как антисимметричное неприводимое представление Sn _, а бозонные состояния — как симметричное неприводимое представление.

Поскольку обмен двух одинаковых частиц математически эквивалентен повороту каждой частицы на 180 градусов (и, следовательно, повороту рамки одной частицы на 360 градусов), частицы симметричный характер волновой функции зависит от спина после оператора вращения применения к ней . Частицы с целым спином не меняют знак своей волновой функции при повороте на 360 градусов — следовательно, знак волновой функции всей системы не меняется. Частицы с полуцелым спином меняют знак своей волновой функции при повороте на 360 градусов (подробнее см. в теореме о статистике спина ).

Частицы, у которых волновая функция при обмене не меняет знак, называются бозонами , или частицами с симметричной волновой функцией. Частицы, у которых волновая функция системы меняет знак, называются фермионами , или частицами с антисимметричной волновой функцией.

Таким образом, фермионы подчиняются другой статистике (называемой статистикой Ферми-Дирака ), чем бозоны (которые подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна ). Одним из следствий статистики Ферми – Дирака является принцип исключения фермионов: никакие два идентичных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (другими словами, волновая функция двух идентичных фермионов в одном и том же состоянии равна нулю). Это, в свою очередь, приводит к давлению вырождения фермионов — сильному сопротивлению фермионов сжатию в меньший объем. Это сопротивление приводит к «жесткости» или «жесткости» обычной атомной материи (поскольку атомы содержат электроны, которые являются фермионами).

См. также

• Симметричная группа
• Теорема о спин-статистике
• Проективное представление
• Оператор Казимира
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Симметрии в общей теории относительности
• Ренормгруппа
• Представление группы Ли
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Теория представлений группы Лоренца

Дальнейшее чтение

• Барнс, К.Дж. (2010). Теория групп для стандартной модели и за ее пределами . Серия по физике высоких энергий, космологии и гравитации. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-142-007-874-9 .
• Чайчян, М.; Хагедорн, Р. (1998). Симметрия в квантовой механике: от углового момента к суперсимметрии . Серия аспирантов по физике. Институт физики (Бристоль и Филадельфия). ISBN  0-7503-0408-1 .
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 267. Спрингер. Бибкод : 2013qtm..книга.....H . дои : 10.1007/978-1-4614-7116-5 . ISBN  978-1-4614-7115-8 . S2CID   117837329 .
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-13467-3 . ISBN  978-3-319-13466-6 .
• Хейвуд, С. (2011). Симметрии и законы сохранения в физике элементарных частиц: введение в теорию групп для физиков элементарных частиц . Всемирная научная. ISBN  978-184-816-703-2 .
• Лэдд, MFC (1989). Симметрия в молекулах и кристаллах . Наука твердого тела. Серия Эллиса Хорвуда по физической химии. ISBN  0-85312-255-5 .
• Людвиг, В.; Фальтер, К. (1996). Симметрии в физике . Наука твердого тела (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-60284-4 .
• Мартин, БР; Шоу, Г. (2013). Физика элементарных частиц . Манчестерская серия по физике (3-е изд.). Уайли. п. 3. ISBN  978-0-470-03294-7 .
• МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . МакГроу Хилл. ISBN  978-0-07-154382-8 .
• Моретти, В. (2017). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки . Юнитекст. Том. 110 (2-е изд.). Спрингер. Бибкод : 2017stqm.book.....M . дои : 10.1007/978-3-319-70706-8 . ISBN  978-3-319-70705-1 . S2CID   125121522 .

Внешние ссылки

• (2010) Неприводимые тензорные операторы и теорема Вигнера-Экарта. Архивировано 20 июля 2014 г. в Wayback Machine.
• Рис, РД (2006). «Вывод квантово-механического оператора импульса в представлении позиции» .
• Сопер, Делавэр (2011). «Положение и импульс в квантовой механике» (PDF) .
• Группы лжи
• Портер, Ф. (2009). «Группы Ли и алгебры Ли» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 марта 2017 г. Проверено 5 июня 2013 г.
• Непрерывные группы, группы Ли и алгебры Ли. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
• Малдерс, Пи Джей (ноябрь 2011 г.). «Квантовая теория поля» (PDF) . Кафедра теоретической физики Университета ВУ. 6.04.
• Холл, Британская Колумбия (2000). «Элементарное введение в группы и представления». arXiv : math-ph/0005032 .