C-симметрия

В физике , зарядовое сопряжение — это преобразование , которое переключает все частицы на соответствующие античастицы , изменяя таким образом знак всех зарядов : не только электрического заряда но и зарядов, связанных с другими силами. Термин C-симметрия является аббревиатурой фразы «симметрия зарядового сопряжения» и используется при обсуждении симметрии физических законов при зарядовом сопряжении. Другими важными дискретными симметриями являются P-симметрия (четность) и T-симметрия (обращение времени).

Эти дискретные симметрии C, P и T представляют собой симметрии уравнений, описывающих известные фундаментальные силы природы: электромагнетизм , гравитацию , сильное и слабое взаимодействия . Чтобы проверить, правильно ли какое-либо математическое уравнение моделирует природу, необходимо дать физическую интерпретацию не только непрерывным симметриям , таким как движение во времени, но и его дискретным симметриям , а затем определить, придерживается ли природа этих симметрий. В отличие от непрерывных симметрий, интерпретация дискретных симметрий немного более интеллектуальна и запутанна. Ранний сюрприз появился в 1950-х годах, когда Цзянь Шиунг Ву продемонстрировал, что слабое взаимодействие нарушает P-симметрию. В течение нескольких десятилетий казалось, что комбинированная симметрия CP сохраняется, пока не были обнаружены взаимодействия , нарушающие CP . Оба открытия принесли Нобелевскую премию .

C-симметрия особенно проблематична с физической точки зрения, поскольку Вселенная в основном заполнена материей , а не антиматерией , тогда как наивная C-симметрия физических законов предполагает, что и того, и другого должно быть в равных количествах. В настоящее время считается, что CP-нарушение в ранней Вселенной могло объяснить «избыточную» материю, хотя споры еще не решены. Более ранние учебники по космологии , вышедшие до 1970-х годов, регулярно предполагали, что, возможно, далекие галактики полностью состоят из антиматерии, поддерживая таким образом нулевой чистый баланс во Вселенной.

Эта статья посвящена выявлению и формулированию C-симметрии различных важных уравнений и теоретических систем, включая уравнение Дирака и структуру квантовой теории поля . Различные фундаментальные частицы можно классифицировать по поведению при зарядовом сопряжении; это описано в статье про C-parity .

Неофициальный обзор

Зарядовое сопряжение происходит как симметрия в трех различных, но тесно связанных ситуациях: симметрия (классических, неквантованных) решений нескольких известных дифференциальных уравнений, включая уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака , симметрия соответствующих квантовых полей. и, в общем случае, симметрия в (псевдо) римановой геометрии . Во всех трех случаях симметрия в конечном итоге оказывается симметрией при комплексном сопряжении , хотя то, что именно сопряжено, иногда может быть запутано, в зависимости от обозначений, выбора координат и других факторов.

В классических полях

Симметрия зарядового сопряжения интерпретируется как симметрия электрического заряда , поскольку во всех трех случаях (классическом, квантовом и геометрическом) можно построить нетеровские токи , напоминающие токи классической электродинамики . Это возникает потому, что сама электродинамика, посредством уравнений Максвелла , может быть интерпретирована как структура на U(1) расслоении , так называемом круговом расслоении . Это дает геометрическую интерпретацию электромагнетизма: электромагнитный потенциал $A_{\mu }$ интерпретируется как калибровочная связность ( связность Эресмана ) на расслоении окружностей. Эта геометрическая интерпретация затем позволяет (буквально почти) связать с электромагнитным полем все, что имеет структуру с комплексными числами, при условии, что эта связь осуществляется калибровочно -инвариантным способом. Калибровочная симметрия в этой геометрической постановке представляет собой утверждение о том, что при движении по кругу связанный объект также должен трансформироваться «кругом», отслеживая соответствующим образом. Более формально говорят, что уравнения должны быть калибровочно-инвариантными относительно замены локальных систем координат на окружности. Для U(1) это всего лишь утверждение, что система инвариантна относительно умножения на фазовый множитель $e^{i\phi (x)}$ это зависит от координаты (пространства-времени) $x.$ В этой геометрической постановке зарядовое сопряжение можно понимать как дискретную симметрию. $z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)$ который выполняет комплексное сопряжение, меняет направление направления вокруг круга.

В квантовой теории

В квантовой теории поля зарядов можно понимать как обмен частиц античастицами сопряжение . Чтобы понять это утверждение, необходимо иметь минимальное представление о том, что такое квантовая теория поля. В (значительно) упрощенных терминах это метод выполнения вычислений для получения решений системы связанных дифференциальных уравнений с помощью теории возмущений . Ключевым компонентом этого процесса является квантовое поле , по одному для каждого из (свободных, несвязанных) дифференциальных уравнений в системе. Квантовое поле традиционно записывается как

$\psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$

где ${\vec {p}}$ это импульс, $\sigma$ это спин-метка, $n$ является вспомогательной меткой для других состояний системы. $a$ и $a^{\dagger }$ являются операторами создания и уничтожения ( лестничными операторами ) и $u,v$ являются решениями рассматриваемого (свободного, невзаимодействующего, несвязанного) дифференциального уравнения. Квантовое поле играет центральную роль, поскольку, вообще говоря, неизвестно, как получить точные решения системы связанных дифференциальных вопросов. Однако с помощью теории возмущений приближенные решения могут быть построены как комбинации решений в свободном поле. Чтобы выполнить это построение, нужно иметь возможность извлекать и работать с любым заданным решением в свободном поле по требованию, когда это необходимо. Квантовое поле обеспечивает именно это: оно перечисляет все возможные решения в свободном поле в векторном пространстве так, что любое из них можно выделить в любой момент времени с помощью операторов рождения и уничтожения.

Операторы создания и уничтожения подчиняются каноническим коммутационным соотношениям : один оператор «отменяет» то, что «создает» другой. Это означает, что любое данное решение $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ должно сочетаться с его «антирешением» $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ так что одно отменяет или отменяет другое. Спаривание должно быть выполнено так, чтобы сохранить все симметрии. Поскольку обычно интересует лоренц-инвариантность , квантовое поле содержит интеграл по всем возможным системам координат Лоренца, записанный выше как интеграл по всем возможным импульсам (это интеграл по слою расслоения кадров ). Спаривание требует, чтобы данное $u\left({\vec {p}}\right)$ связан с $v\left({\vec {p}}\right)$ противоположного импульса и энергии. Квантовое поле также представляет собой сумму всех возможных спиновых состояний; двойная пара снова соответствует противоположным спинам. Аналогично и любые другие квантовые числа, они также являются противоположностями. Существует техническая трудность в выполнении этого двойного спаривания: необходимо описать, что это означает для некоторого данного решения. $u$ быть «двойственным» к какому-то другому решению $v,$ и описать его так, чтобы он оставался последовательно двойственным при интегрировании по слою расслоения фреймов, при интегрировании (суммировании) по волокну, описывающему спин, и при интегрировании (суммировании) по любым другим слоям, встречающимся в расслоении. теория.

Когда интегрируемое волокно представляет собой электромагнетическое волокно U(1), двойное спаривание таково, что направление (ориентация) волокна меняется на противоположное. Когда интегрируемое волокно является волокном SU(3) цветового заряда , двойное спаривание снова меняет ориентацию. Это «просто работает» для SU(3), поскольку оно имеет два двойственных фундаментальных представления. $\mathbf {3}$ и ${\overline {\mathbf {3} }}$ которые могут быть естественным образом спарены. Этот рецепт квантового поля естественным образом обобщается на любую ситуацию, когда можно перечислить непрерывные симметрии системы и определить двойственные поля последовательным и непротиворечивым образом. Спаривание связывает противоположные заряды в совершенно абстрактном смысле. В физике заряду сопоставлен генератор непрерывной симметрии. Разные заряды связаны с разными собственными пространствами инвариантов Казимира универсальной обертывающей алгебры для этих симметрий. Это справедливо как для симметрии Лоренца лежащего в основе пространственно-временного многообразия , так и для симметрии любых слоев в расслоении, расположенном над пространственно-временным многообразием. Дуальность заменяет генератор симметрии минус генератором. Таким образом, зарядовое сопряжение связано с отражением вдоль линейного расслоения или детерминантного расслоения пространства симметрий.

Таким образом, вышеизложенное представляет собой набросок общей идеи квантового поля в квантовой теории поля. Физическая интерпретация заключается в том, что решения $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ соответствуют частицам, а растворы $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ соответствуют античастицам, и поэтому зарядовое сопряжение представляет собой пару этих двух. Этот эскиз также дает достаточно подсказок, чтобы показать, как может выглядеть сопряжение зарядов в общих геометрических условиях. Нет особого принудительного требования использовать теорию возмущений для построения квантовых полей, которые будут действовать как посредники в пертурбативном расширении. Зарядовому сопряжению можно дать общую постановку.

В геометрии

Для общих римановых и псевдоримановых многообразий есть касательное расслоение , кокасательное расслоение и метрика , которая связывает их вместе. В такой ситуации можно сделать несколько интересных вещей. Во-первых, гладкая структура позволяет дифференциальные уравнения ставить на многообразии; Касательное обеспечивают и котасательное пространства достаточную структуру для выполнения вычислений на многообразиях . Ключевой интерес представляет лапласиан и, с постоянным членом, то, что представляет собой оператор Клейна – Гордона. Кокасательные расслоения по своей основной конструкции всегда являются симплектическими многообразиями . Симплектические многообразия имеют канонические координаты. $x,p$ интерпретируется как положение и импульс, подчиняющиеся каноническим коммутационным соотношениям . Это обеспечивает базовую инфраструктуру для расширения двойственности и, следовательно, зарядового сопряжения до этой общей ситуации.

Вторая интересная вещь, которую можно сделать, — это построить спиновую структуру . Пожалуй, самое примечательное в этом то, что это очень узнаваемое обобщение $(p,q)$-мерное псевдориманово многообразие традиционной физической концепции спиноров, живущих в (1,3)-мерном пространстве-времени Минковского . Конструкция проходит через комплексифицированную алгебру Клиффорда для построения расслоения Клиффорда и спинового многообразия . В конце этой конструкции получается система, удивительно знакомая тем, кто уже знаком со спинорами Дирака и уравнением Дирака. В этом общем случае можно провести несколько аналогий. Во-первых, спиноры являются спинорами Вейля и входят в комплексно-сопряженные пары. Они естественно антикоммутативны (это следует из алгебры Клиффорда), что именно и хочется соприкоснуть с принципом исключения Паули . Другой — существование кирального элемента , аналогичного гамма-матрице. $\gamma _{5}$ который сортирует эти спиноры на левые и правые подпространства. Комплексификация является ключевым ингредиентом и обеспечивает «электромагнетизм» в этой обобщенной ситуации. Спинорное расслоение не «просто» трансформируется под воздействием псевдоортогональной группы. $SO(p,q)$, обобщение группы Лоренца $SO(1,3)$, но в более крупной группе, комплексной спиновой группе $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).$ Он больше тем, что имеет двойное покрытие . $SO(p,q)\times U(1).$

The $U(1)$ кусок можно отождествить с электромагнетизмом несколькими разными способами. Один из способов состоит в том, что операторы Дирака на спиновом многообразии в квадрате содержат фрагмент $F=dA$ с $A$ возникающие из той части связи, которая связана с $U(1)$ кусок. Это полностью аналогично тому, что происходит, когда возводят в квадрат обычное уравнение Дирака в обычном пространстве-времени Минковского. Второй намек на то, что это $U(1)$ кусок связан с детерминантным пучком спиновой структуры, эффективно связывая вместе левые и правые спиноры посредством комплексного сопряжения.

Осталось разобраться с дискретными симметриями приведенной выше конструкции. Есть несколько, которые, по-видимому, обобщают P-симметрию и T-симметрию . Выявление $p$ измерения со временем, и $q$ измерения с пространством, можно поменять местами касательные векторы в $p$ многомерное подпространство, чтобы развернуть время и перевернуть направление $q$ размеры соответствуют паритету. C-симметрию можно отождествить с отражением на линейном расслоении. Чтобы связать все это вместе в узел, наконец, появилась концепция транспозиции , согласно которой элементы алгебры Клиффорда можно записать в обратном (транспонированном) порядке. Конечным результатом является то, что не только традиционные физические идеи полей переходят в общую риманову ситуацию, но и идеи дискретных симметрий.

Есть два способа реагировать на это. Один из них — относиться к этому как к интересному курьезу. Другой — осознать, что в низких измерениях (в низкомерном пространстве-времени) существует множество «случайных» изоморфизмов между различными группами Ли и другими структурами. Возможность изучить их в общей обстановке распутывает эти отношения, более четко показывая, «откуда все берется».

Зарядовое сопряжение для полей Дирака

Законы электромагнетизма (как классические , так и квантовые ) инвариантны относительно обмена электрическими зарядами с их отрицательными. Для случая электронов и кварков , которые оба являются полями фундаментальных частиц фермионными , одночастичные полевые возбуждения описываются уравнением Дирака

$(i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0$

Требуется найти зарядово-сопряженное решение.

$(i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0$

Достаточно нескольких алгебраических манипуляций, чтобы получить второе из первого. Стандартные объяснения уравнения Дирака демонстрируют сопряженное поле. ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},$ интерпретируется как поле античастиц, удовлетворяющее комплексно-транспонированному уравнению Дирака

${\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0$

Обратите внимание, что некоторые, но не все знаки перевернулись. Транспонирование этого обратного значения дает почти желаемую форму, при условии, что можно найти матрицу 4×4. $C$ который транспонирует гамма-матрицы для вставки необходимой смены знака:

$C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}$

Тогда зарядово-сопряженное решение определяется инволюцией

$\psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$

Матрица 4×4 $C,$ называемая матрицей зарядового сопряжения, имеет явный вид, приведенный в статье о гамма-матрицах . Любопытно, что эта форма не является независимой от представления, а зависит от конкретного матричного представления, выбранного для гамма-группы (подгруппы алгебры Клиффорда, отражающей алгебраические свойства гамма -матриц ). Эта матрица зависит от представления из-за тонкого взаимодействия, включающего комплексификацию спиновой группы, описывающей лоренц-ковариацию заряженных частиц. Комплексное число $\eta _{c}$ — произвольный фазовый коэффициент $|\eta _{c}|=1,$ обычно принято считать $\eta _{c}=1.$

Зарядовое сопряжение, хиральность, спиральность

Взаимодействие между киральностью и сопряжением зарядов довольно тонкое и требует четкого пояснения. Часто говорят, что зарядовое сопряжение не меняет киральности частиц. Это не относится к полям , разница возникает в интерпретации частиц «теорией дырок», где античастица интерпретируется как отсутствие частицы. Это сформулировано ниже.

Обычно, $\gamma _{5}$ используется в качестве оператора киральности. При зарядовом сопряжении он преобразуется как

$C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}$

и есть или нет $\gamma _{5}^{\textsf {T}}$ равно $\gamma _{5}$ зависит от выбранного представления гамма-матриц. В дираковском и киральном базисе это действительно так. $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}$, пока $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}$ получается в майорановском базисе. Далее следует рабочий пример.

Спиноры Вейля

В случае безмассовых спинорных полей Дирака киральность равна спиральности для решений с положительной энергией (и минус спиральность для решений с отрицательной энергией). Это можно получить, записав безмассовое уравнение Дирака в виде

$i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0$

Умножение на $\gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ получается

${\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi$

где $\sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2$ — оператор углового момента и $\epsilon _{ijk}$ — вполне антисимметричный тензор . Это можно привести к более узнаваемой форме, определив оператор трехмерного вращения. $\Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},$ переход в состояние плоской волны $\psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)$, применяя ограничение оболочки, которое $k\cdot k=0$ и нормализуя импульс как трехмерный единичный вектор: ${\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}$ писать

$\left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.$

Изучая вышеизложенное, можно прийти к выводу, что собственные состояния углового момента ( собственные состояния спиральности ) соответствуют собственным состояниям кирального оператора . Это позволяет безмассовому полю Дирака четко разделить на пару спиноров Вейля. $\psi _{\text{L}}$ и $\psi _{\text{R}},$ каждый по отдельности удовлетворяет уравнению Вейля , но с противоположной энергией:

$\left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0$

и

$\left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0$

Обратите внимание на свободу приравнивать отрицательную спиральность к отрицательной энергии и, таким образом, античастицу к частице противоположной спиральности. Чтобы внести ясность, $\sigma$ вот матрицы Паули , и $p_{\mu }=i\partial _{\mu }$ является оператором импульса.

Зарядовое сопряжение в киральном базисе

Принимая вейлевское представление гамма-матриц, можно записать (теперь считающийся массивным) спинор Дирака как

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}$

Соответствующее дуальное (античастичное) поле есть

${\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}$

Зарядово-сопряженные спиноры

$\psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}$

где, как и прежде, $\eta _{c}$ является фазовым коэффициентом, который можно принять равным $\eta _{c}=1.$ Обратите внимание, что левое и правое состояния меняются местами. Это можно восстановить с помощью преобразования четности. При четности спинор Дирака преобразуется как

$\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)$

Тогда при комбинированном заряде и четности

$\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}$

Традиционно берут $\eta _{c}=1$ глобально. Однако см. примечание ниже.

Состояние Майораны

Условие Майораны накладывает ограничение между полем и его зарядовым сопряжением, а именно, что они должны быть равны: $\psi =\psi ^{c}.$ Пожалуй, лучше всего это выразить как требование, чтобы майорановский спинор был собственным состоянием инволюции зарядового сопряжения.

Это требует некоторой внимательности к обозначениям. Во многих текстах, посвященных зарядовому сопряжению, инволюция $\psi \mapsto \psi ^{c}$ не имеет явного символического имени применительно к одночастичным решениям уравнения Дирака. Это отличается от случая, когда квантованное поле , где унитарный оператор обсуждается ${\mathcal {C}}$ определяется (как это сделано в следующем разделе ниже). В данном разделе пусть инволюция будет называться как ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}$ так что ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.$ Считая это линейным оператором, можно рассмотреть его собственные состояния. Условие Майораны выделяет одно из таких: ${\mathsf {C}}\psi =\psi .$ Однако существует два таких собственных состояния: ${\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.$ Продолжая использовать базис Вейля, как указано выше, эти собственные состояния равны

$\psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}$

и

$\psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}$

Майорановский спинор обычно рассматривается как положительное собственное состояние, а именно $\psi ^{(+)}.$ Киральный оператор $\gamma _{5}$ обменивает эти два, в том, что

$\gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}$

В этом легко убедиться прямой заменой. Имейте в виду, что ${\mathsf {C}}$ не имеет ! матричного представления 4×4 Точнее, не существует комплексной матрицы 4×4, которая могла бы преобразовать комплексное число в комплексно-сопряженное число; для этой инверсии потребуется реальная матрица 8×8. Физическая интерпретация комплексного сопряжения как зарядового сопряжения становится ясной при рассмотрении комплексного сопряжения скалярных полей, описанного в следующем разделе ниже.

Проекторы на киральные собственные состояния можно записать как $P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2$ и $P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,$ и поэтому вышеизложенное переводится как

$P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.$

Это напрямую демонстрирует, что зарядовое сопряжение, примененное к одночастичным комплексным решениям уравнения Дирака, меняет киральность решения. Проекторы на собственные пространства зарядового сопряжения имеют вид $P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}$ и $P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.$

Геометрическая интерпретация

Фазовый коэффициент $\ \eta _{c}\$ можно дать геометрическую интерпретацию. Отмечено, что для массивных спиноров Дирака «произвольный» фазовый фактор $\ \eta _{c}\$ может зависеть как от импульса, так и от спиральности (но не киральности). Это можно интерпретировать так: эта фаза может меняться вдоль слоя спинорного расслоения в зависимости от локального выбора системы координат. Иными словами, спинорное поле — это локальное сечение спинорного расслоения, а лоренцевы бусты и вращения соответствуют движениям по слоям соответствующего расслоения (опять же, всего лишь выбор локальной системы координат). При таком рассмотрении эту дополнительную фазовую свободу можно интерпретировать как фазу, возникающую из-за электромагнитного поля. Для спиноров Майораны фаза будет ограничена, чтобы не меняться при ускорениях и вращениях.

Зарядовое сопряжение для квантованных полей

Выше описано зарядовое сопряжение только для одночастичных растворов. Когда поле Дирака подвергается вторичному квантованию , как в квантовой теории поля , спинорное и электромагнитное поля описываются операторами. Инволюция зарядового сопряжения тогда проявляется как унитарный оператор ${\mathcal {C}}$ (каллиграфическим шрифтом), действующий на поля частиц, выражаемый как

1. $\psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$
2. ${\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}$
3. $A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\$

где некаллиграфическое $\ C\$ — это та же матрица 4×4, что и ранее.

Перезарядка в электрослабой теории

Зарядовое сопряжение не меняет киральности частиц. Левое нейтрино путем зарядового сопряжения превратится в левое антинейтрино , которое не взаимодействует в Стандартной модели. Именно это свойство и понимают под «максимальным нарушением» C-симметрии в слабом взаимодействии.

Некоторые постулируемые расширения Стандартной модели , такие как модели «лево-право» , восстанавливают эту C-симметрию.

Скалярные поля

Поле Дирака имеет «скрытый» $U(1)$ калибровочная свобода, позволяющая ему напрямую связываться с электромагнитным полем без каких-либо дальнейших модификаций уравнения Дирака или самого поля. Это не относится к скалярным полям , которые должны быть явно «комплексифицированы», чтобы соединиться с электромагнетизмом. Это делается путем «тензорирования» дополнительного множителя комплексной плоскости. $\mathbb {C}$ в поле или построить декартово произведение с $U(1)$.

Один очень традиционный метод состоит в том, чтобы просто начать с двух действительных скалярных полей: $\phi$ и $\chi$ и создадим линейную комбинацию

$\psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}$

зарядового сопряжения Тогда инволюция представляет собой отображение ${\mathsf {C}}:i\mapsto -i$ поскольку этого достаточно, чтобы изменить знак электромагнитного потенциала (поскольку это комплексное число используется для связи с ним). Для реальных скалярных полей зарядовое сопряжение — это просто тождественная карта: ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi$ и ${\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi$ и поэтому для комплексного поля зарядовое сопряжение просто ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.$ Стрелка «мапсто» $\mapsto$ удобен для отслеживания «что куда идет»; эквивалентные старые обозначения - это просто написать ${\mathsf {C}}\phi =\phi$ и ${\mathsf {C}}\chi =\chi$ и ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.$

Вышеописанное описывает традиционную конструкцию заряженного скалярного поля. Ввести в поля дополнительную алгебраическую структуру можно и другими способами. В частности, можно определить «реальное» поле, ведущее себя как ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi$. Поскольку это действительно так, оно не может само по себе соединиться с электромагнетизмом, но, будучи усложненным, приведет к образованию заряженного поля, которое преобразуется как ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.$ Поскольку C-симметрия является дискретной симметрией , у человека есть некоторая свобода играть в такого рода алгебраические игры в поисках теории, которая правильно моделирует некоторую заданную физическую реальность.

В физической литературе такое преобразование, как ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi$ можно написать без каких-либо дополнительных пояснений. Формальная математическая интерпретация этого состоит в том, что поле $\phi$ является элементом $\mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}$ где $\mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.$ Таким образом, собственно говоря, поле следует записать как $\phi =(r,c)$ который ведет себя при зарядовом сопряжении как ${\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).$ Очень заманчиво, но не совсем формально правильно просто перемножить их, подвигаться по месту расположения этого знака минус; в основном это «просто работает», но неспособность отследить это должным образом приведет к путанице.

Комбинация изменения заряда и четности

Некоторое время считалось, что C-симметрию можно объединить с преобразованием инверсии четности (см. P-симметрию ), чтобы сохранить комбинированную CP-симметрию . Однако нарушения этой симметрии были выявлены в слабых взаимодействиях (особенно в каонах и B- мезонах ). В Стандартной модели это нарушение CP связано с одной фазой в матрице CKM . Если CP сочетается с обращением времени ( Т-симметрия ), результирующую CPT-симметрию можно показать, используя только аксиомы Вайтмана , которым необходимо соблюдать универсально.

В общих настройках

Аналог зарядового сопряжения может быть определен для многомерных гамма -матриц с явной конструкцией для спиноров Вейля, приведенной в статье о матрицах Вейля – Брауэра . Однако обратите внимание, что спиноры, абстрактно определенные в теории представлений алгебр Клиффорда, не являются полями; скорее, их следует рассматривать как существующие в нульмерном пространстве-времени.

Аналог Т-симметрии следует из $\gamma ^{1}\gamma ^{3}$ как оператор Т-сопряжения спиноров Дирака. Спинорам также присуща P-симметрия , полученная путем изменения направления всех базисных векторов алгебры Клиффорда, из которой построены спиноры. Связь с P- и T-симметриями фермионного поля на пространственно-временном многообразии немного тонкая, но ее можно грубо охарактеризовать следующим образом. Когда спинор строится с помощью алгебры Клиффорда, для построения требуется векторное пространство. По соглашению, это векторное пространство является касательным пространством пространственно-временного многообразия в данной фиксированной точке пространства-времени (один слой в касательном многообразии ). Тогда операции P и T, применяемые к пространственно-временному многообразию, также можно понимать как переворачивание координат касательного пространства; таким образом, они склеены вместе. Изменение четности или направления времени в одном также меняет его и в другом. Это соглашение. Человек может потерять связь, если не сможет распространить эту связь.

Это делается путем принятия касательного пространства в качестве векторного пространства , расширения его до тензорной алгебры , а затем использования скалярного произведения векторного пространства для определения алгебры Клиффорда . Рассматривая каждую такую ​​алгебру как слой, мы получаем расслоение, называемое расслоением Клиффорда . При изменении базиса касательного пространства элементы алгебры Клиффорда преобразуются согласно спиновой группе . Построение основного пучка волокон со спиновой группой, поскольку волокно приводит к спиновой структуре .

Все, чего не хватает в приведенных выше абзацах, — это самих спиноров . Для этого требуется «комплексификация» касательного многообразия: тензоризация его комплексной плоскостью. Как только это будет сделано, спиноры Вейля можно будет построить . Они имеют форму

$w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)$

где $e_{j}$ являются базисными векторами векторного пространства $V=T_{p}M$, касательное пространство в точке $p\in M$ в пространственно-временном многообразии $M.$ Спиноры Вейля вместе с их комплексно-сопряженными элементами охватывают касательное пространство в том смысле, что

$V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}$

Альтернирующая алгебра $\wedge W$ называется спинорным пространством , именно там живут спиноры, а также продукты спиноров (таким образом, объекты с более высокими значениями спина, включая векторы и тензоры).

См. также

• C-паритет
• G-паритет
• Античастица
• Антивещество
• Истинно нейтральная частица

Ссылки

• Соцци, М.С. (2008). Дискретные симметрии и нарушение CP . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-929666-8 .