Неопределенная ортогональная группа

В математике неопределенная группа ортогональная O( p , q ) — это группа Ли всех преобразований вещественного n - мерного векторного пространства , которые оставляют инвариантной невырожденную , симметричную билинейную форму сигнатуры линейных ( p , q ) , где n = п + д . Ее еще называют псевдоортогональной группой. ^[1] или обобщенная ортогональная группа . ^[2] Размерность группы равна n ( n − 1)/2 .

Неопределенная специальная ортогональная группа SO ( p , q ) — это подгруппа O ( p , q ), состоящая из всех элементов с определителем 1. В отличие от определенного случая, SO( p , q ) не связна — она имеет 2 компонента. – и есть две дополнительные подгруппы конечного индекса, а именно связная SO ⁺( п , q ) и О ⁺( p , q ) , который имеет 2 компонента – см. в § Топологии определение и обсуждение .

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма ; замена p на q означает замену метрики ее отрицательной, и таким образом дает ту же самую группу. Если либо p, либо q равно нулю, то группа изоморфна обычной ортогональной группе O( n ). В дальнейшем мы предполагаем, что и p , и q положительны.

Группа O( p , q ) определена для векторных пространств над действительными числами . Для комплексных пространств все группы O( p , q ; C ) изоморфны обычной ортогональной группе O( p + q ; C ) , поскольку преобразование $z_{j}\mapsto iz_{j}$ меняет подпись формы. Это не следует путать с неопределенной унитарной группой U( p , q ), которая сохраняет полуторалинейную форму сигнатуры ( p , q ) .

В четной размерности n = 2 O p ( p , p ) называется расщепляемой ортогональной группой .

Примеры

Базовым примером являются отображения сжатия , которые представляют собой группу SO ⁺(1, 1) (единичного компонента) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу . Конкретно это матрицы $\left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],$ и может быть интерпретировано как гиперболическое вращение, так же как группу SO(2) можно интерпретировать как круговое вращение.

В физике группа Лоренца O(1,3) имеет центральное значение, поскольку является основой для электромагнетизма и специальной теории относительности . (В некоторых текстах используется O(3,1) для группы Лоренца; однако O(1,3) преобладает в квантовой теории поля , поскольку геометрические свойства уравнения Дирака более естественны в O(1,3) .)

Определение матрицы

Можно определить O( p , q ) как группу матриц , так же, как и для классической ортогональной группы O( n ). Рассмотрим $(p+q)\times (p+q)$ диагональная матрица $g$ данный

g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).

Тогда мы можем определить симметричную билинейную форму $[\cdot ,\cdot ]_{p,q}$ на $\mathbb {R} ^{p+q}$ по формуле

[x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}

,

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является стандартным внутренним продуктом на $\mathbb {R} ^{p+q}$ .

Затем мы определяем $\mathrm {O} (p,q)$ быть группой $(p+q)\times (p+q)$ матрицы, сохраняющие эту билинейную форму: ^[3]

\mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}

.

Более явно, $\mathrm {O} (p,q)$ состоит из матриц $A$ такой, что ^[4]

gA^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}

,

где $A^{\mathrm {tr} }$ это транспонирование $A$ .

Изоморфную группу (действительно, сопряженную подгруппу в GL( p + q ) ) можно получить, заменив g на любую симметричную матрицу с p положительными собственными значениями и q отрицательными. Диагонализация этой матрицы дает сопряжение этой группы со стандартной группой O( p , q ) .

Подгруппы

Группа СО ⁺( p , q ) и связанные с ними подгруппы O( p , q ) могут быть описаны алгебраически. Разделите матрицу L на O( p , q ) как блочную матрицу :

L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

где A , B , C и D — блоки p × p , p × q , q × p и q × q соответственно. Можно показать, что набор матриц из O( p , q ), чей верхний левый p × p блок A имеет положительный определитель, является подгруппой. Или, говоря иначе, если

L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}

находятся в O( p , q ) , то

(\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).

Аналогичный результат для нижнего правого блока q × q также верен. Подгруппа СО ⁺( p , q ) состоит из матриц L таких, что det A и det D положительны. ^[5]^[6]

Для всех матриц L в O( p , q ) определители A и D обладают свойством, что ${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$ и это $|\det A|=|\det D|\geq 1.$ ^[7] В частности, подгруппа SO( p , q ) состоит из матриц L таких, что det A и det D имеют одинаковый знак. ^[5]

Топология

Предполагая, что и p, и q положительны, ни одна из групп O( p , q ) и SO( p , q ) не являются связными и имеют четыре и два компонента соответственно. π ₀ (O( p , q )) ≅ C ₂ × C ₂ — это четырехгруппа Клейна , где каждый фактор определяет, сохраняет ли элемент или меняет соответствующие ориентации в p и q -мерных подпространствах, на которых форма определена; обратите внимание, что изменение ориентации только в одном из этих подпространств меняет ориентацию во всем пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты π ₀ (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, каждая из которых либо сохраняет обе ориентации, либо меняет обе ориентации на противоположные, в любом случае сохраняя общая ориентация. ^{[ нужны разъяснения ]}

Единичный компонент O ( p , q ) часто обозначается SO ⁺( p , q ) и может быть отождествлен с набором элементов в SO( p , q ), которые сохраняют обе ориентации. Это обозначение связано с обозначением O ⁺(1, 3) для ортохронной группы Лоренца , где + относится к сохранению ориентации в первом (временном) измерении.

Группа O( p , q ) также не компактна , но содержит компактные подгруппы O( p ) и O( q ), действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, O( p ) × O( q ) — максимальная компактная подгруппа в O( p , q ) , а S(O( p ) × O( q )) — максимальная компактная подгруппа в SO( p , q ). .Аналогично, SO( p ) × SO( q ) является максимальной компактной подгруппой SO ⁺( п , q ) .Таким образом, пространства гомотопически эквивалентны произведениям (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебро-топологические инварианты. (См. Максимальная компактная подгруппа .)

В частности, группа SO фундаментальная ⁺( p , q ) — произведение фундаментальных групп компонентов, π ₁ (SO ⁺( п , q )) = π ₁ (SO( p )) × π ₁ (SO( q )) и определяется выражением:

π ₁ (СО ⁺( п , q ))	р = 1	р = 2	р ≥ 3
д = 1	С ₁	С	С ₂
д = 2	С	Z × Z	З × С ₂
д ≥ 3	С ₂	С ₂ × З	С ₂ × С ₂

Разделить ортогональную группу

В четных измерениях средняя группа O( n , n ) известна как расщепленная ортогональная группа как группа преобразований T-двойственности и представляет особый интерес, поскольку она встречается , например, в теории струн. Это расщепленная группа Ли, соответствующая комплексной алгебре Ли so _{2 n} (группа Ли расщепленной вещественной формы алгебры Ли); точнее, единичный компонент представляет собой расщепленную группу Ли, поскольку нетождественные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле она противоположна определенной ортогональной группе O( n ) := O( n , 0) = O(0, n ) , которая является компактной вещественной формой комплексной алгебры Ли.

Группу SO(1, 1) можно отождествить с группой единичных расщепленных комплексных чисел .

С точки зрения того, что это группа лиева типа – т. е. конструкция алгебраической группы из алгебры Ли – расщепляемые ортогональные группы являются группами Шевалле , в то время как нерасщепляемые ортогональные группы требуют немного более сложной конструкции и являются группами Стейнберга .

Расщепляемые ортогональные группы используются для построения обобщенного многообразия флагов над неалгебраически замкнутыми полями.

См. также

Ссылки

^ Попов 2001.
^ Холл 2015 , с. 8, раздел 1.2
^ Зал 2015 г., раздел 1.2.3.
↑ Холл 2015 г. Глава 1, Упражнение 1.
^ Jump up to: ^а ^б Лестер, Дж. А. (1993). «Ортохронные подгруппы O(p,q)». Линейная и полилинейная алгебра . 36 (2): 111–113. дои : 10.1080/03081089308818280 . Збл 0799.20041 .
^ Shirokov 2012 , pp. 88–96, Section 7.1
^ Shirokov 2012 , pp. 89–91, Lemmas 7.1 and 7.2

Источники

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Энтони Кнапп , Группы Ли за пределами введения , второе издание, Progress in Mathematics, vol. 140, Биркхойзер, Бостон, 2002 г. ISBN 0-8176-4259-5 - описание неопределенной ортогональной группы см. на странице 372.
Попов, В.Л. (2001) [1994], «Ортогональная группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Широков, Д.С. (2012). Лекции по алгебрам Клиффорда и спинорам Лекции по алгебрам клиффорда и спинорам (PDF) (на русском языке). дои : 10.4213/book1373 . Збл 1291.15063 .
Джозеф А. Вольф , Пространства постоянной кривизны , (1967), стр. 335.

[1] Попов 2001.

[2] Холл 2015 , с. 8, раздел 1.2

[3] Зал 2015 г., раздел 1.2.3.

[4] Холл 2015 г. Глава 1, Упражнение 1.

[lester-5] Jump up to: ^а ^б Лестер, Дж. А. (1993). «Ортохронные подгруппы O(p,q)». Линейная и полилинейная алгебра . 36 (2): 111–113. дои : 10.1080/03081089308818280 . Збл 0799.20041 .

[6] Shirokov 2012 , pp. 88–96, Section 7.1

[7] Shirokov 2012 , pp. 89–91, Lemmas 7.1 and 7.2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]