Гамма-матрицы более высокой размерности

«Гамма-группа» перенаправляется сюда. Информацию о компании, занимающейся технологиями наблюдения, см. в Gamma Group .

В математической физике многомерные гамма-матрицы до произвольного измерения четырехмерные гамма-матрицы Дирака обобщают , которые являются основой релятивистской квантовой механики. Они используются в релятивистски-инвариантных волновых уравнениях для фермионов (таких как спиноры) в произвольных измерениях пространства-времени, особенно в теории струн и супергравитации. Матрицы Вейля – Брауэра обеспечивают явную конструкцию гамма-матриц более высокой размерности для спиноров Вейля . Гамма-матрицы также появляются в общих условиях римановой геометрии , особенно когда спиновую структуру можно определить .

Введение

Рассмотрим пространство-время размерности d с плоской метрикой Минковского ,

$\eta =\|\eta _{ab}\|={\text{diag}}(+1,\dots ,+1,-1,\dots ,-1)~,$

с $p$ положительные записи, $q$ отрицательные записи, $p+q=d$ и а , б знак равно 0, 1, ..., d - 1 . Установите N = 2 ^{⌊ ⁠ 1 / 2 ⁠ d ⌋} . Стандартные матрицы Дирака соответствуют взятию d = N = 4 и p , q = 1, 3 или 3, 1 .

В высших (и низших) измерениях можно определить группу , гамма-группу , ведущую себя так же, как матрицы Дирака. Точнее, если выбрать базис $\{e_{a}\}$ для (комплексифицированной) алгебры Клиффорда $\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )\cong \mathrm {Cl} ^{\mathbb {C} }(p,q)$, то гамма-группа, порожденная $\{\Gamma _{a}\}$ изоморфна , подгруппе мультипликативной порожденной базисными элементами $e_{a}$ (игнорируя аддитивный аспект алгебры Клиффорда).

По соглашению гамма-группа реализуется как набор матриц, гамма-матриц, хотя определение группы этого не требует. В частности, многие важные свойства, включая симметрии C , P и T, не требуют конкретного матричного представления, и можно получить более четкое определение киральности . таким образом Возможны несколько матричных представлений, некоторые из которых приведены ниже, а другие — в статье о матрицах Вейля – Брауэра . В матричном представлении спиноры имеют вид $N$-мерный, с гамма-матрицами, действующими на спиноры. Подробная конструкция спиноров приведена в статье об алгебре Клиффорда . Йост предоставляет стандартный справочник по спинорам в общих рамках риммановой геометрии.

Группа Гамма

Большинство свойств гамма-матриц можно описать группой , гамма -группой . Эту группу можно определить без ссылки на действительные числа, комплексные числа или даже без прямого обращения к алгебре Клиффорда . Затем матричные представления этой группы дают конкретную реализацию, которую можно использовать для определения действия гамма -матриц на спиноры . Для $(p,q)=(1,3)$ размеров, матричные продукты ведут себя так же, как обычные матрицы Дирака . Группа Паули представляет собой гамма-группу для $(p,q)=(3,0)$ хотя группа Паули имеет больше связей ( менее свободна ); пример см. в примечании о киральном элементе ниже. Кватернионы обеспечивают представление $(p,q)=(0,3).$

Презентация » группы «Гамма $G=G_{p,q}$ заключается в следующем.

• обозначается Нейтральный элемент как $I$.
• Элемент $i$ с $i^{4}=I$ является заменой комплексного числа $i$; он коммутирует со всеми другими элементами ,
• Есть коллекция генераторов. $\Gamma _{a}$ индексируется $a=0,\ldots ,p-1$ с $\Gamma _{a}^{2}=I~,$
• Остальные генераторы $\Gamma _{a},\ a=p,\ldots ,p+q-1$ подчиняться $\Gamma _{a}^{2}=i^{2}~,$
• Антикоммутатор определяется как $\Gamma _{a}\Gamma _{b}=i^{2}\Gamma _{b}\Gamma _{a}$ для $a\neq b~.$

Эти генераторы полностью определяют гамма-группу. Можно показать, что для всех $x\in G$ что $x^{4}=I$ и так $x^{-1}=x^{3}~.$ Каждый элемент $x\in G$ можно однозначно записать как произведение конечного числа образующих, расположенных в каноническом порядке, как

$x=i^{n}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}$

с индексами в порядке возрастания

$a<b<\cdots <c$

и $0\leq n\leq 3.$ Гамма-группа конечна и имеет не более $2^{p+q+2}$ элементы в нем.

Гамма-группа является 2-группой , но не регулярной p-группой . Коммутантная подгруппа (производная подгруппа) — это $[G,G]=\left\{I,i^{2}\right\}~,$ следовательно, это не мощная p-группа . Вообще 2-группы имеют большое количество инволюций ; гамма-группа делает то же самое. Ниже выделены три конкретных, так как они имеют определенную интерпретацию в контексте алгебр Клиффорда , в контексте представлений гамма-группы (где транспонирование и эрмитово сопряжение буквально соответствуют этим действиям над матрицами) и в физике . где «основная инволюция» $\alpha$ соответствует комбинированной P-симметрии и T-симметрии .

Транспонирование

Данные элементы $\Gamma _{i}$ порождающего набора гамма-группы, транспонирование или обращение определяется выражением

$(\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\Gamma _{c}\cdots \Gamma _{b}\Gamma _{a}$

Если есть $k$ элементы $\Gamma _{i}$ все четко, тогда

$(\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\left(i^{2}\right)^{{\frac {1}{2}}k(k-1)}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}$

Эрмитово сопряжение

Другой автоморфизм гамма-группы задается сопряжением, определяемым на образующих как

$\Gamma _{a}^{\dagger }={\begin{cases}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}0\leq a<p\\i^{2}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}p\leq a<p+q\\\end{cases}}$

дополнено $i^{\dagger }=i^{3}$ и $I^{\dagger }=I.$ Для общих элементов в группе применяется транспонирование: $(ab)^{\dagger }=b^{\dagger }a^{\dagger }~.$ Из свойств транспонирования следует, что для всех элементов $x\in G$ это либо $xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=I$ или что $xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=i^{2}~,$ то есть все элементы либо эрмитовы, либо унитарные.

Если интерпретировать $p$ измерения как «времяподобные», а $q$ измерения как «космические», то это соответствует P-симметрии в физике. То, что это «правильная» идентификация, следует из обычных матриц Дирака, где $\gamma _{0}$ связано со временемподобным направлением, а $\gamma _{i}$ пространственные направления с «традиционной» (+---) метрикой. Другие метрики и варианты представления предполагают другие интерпретации.

Основная инволюция

Основная инволюция — это карта, которая «переворачивает» генераторы: $\alpha (\Gamma _{a})=i^{2}\Gamma _{a}$ но уходит $i$ один: $\alpha (i)=i~.$ Эта карта соответствует комбинированной P-симметрии и T-симметрии в физике; все направления поменялись местами.

Хиральный элемент

Дайте определение киральному элементу $\omega \equiv \Gamma _{\mathrm {chir} }$ как

$\omega =\Gamma _{\mathrm {chir} }=\Gamma _{0}\Gamma _{1}\cdots \Gamma _{d-1}$

где $d=p+q$. Киральный элемент коммутирует с генераторами как

$\Gamma _{a}\omega =\left(i^{2}\right)^{d-1}\omega \Gamma _{a}$

Это соответствует

$\omega ^{2}=\left(i^{2}\right)^{q+{\frac {1}{2}}d(d-1)}$

Для матриц Дирака киральный элемент соответствует $\gamma _{5}~,$ отсюда и его название, поскольку он играет важную роль в различении киральности спиноров.

Для группы Паули киральным элементом является $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i$ тогда как для гамма-группы $G_{3,0}$, невозможно вывести такую ​​зависимость для $\Gamma _{1}\Gamma _{2}\Gamma _{3}$ кроме того, что это соответствует $i^{2}~.$ Это пример того, как представление может иметь больше идентификаторов, чем представляемая группа. Для кватернионов , которые обеспечивают представление $G_{0,3}$ киральный элемент $ijk=i^{2}~.$

Сопряжение зарядов

Ни один из перечисленных выше автоморфизмов (транспонирование, сопряжение, основная инволюция) не является внутренними автоморфизмами ; то есть их нельзя представить в виде $CxC^{-1}$ для некоторого существующего элемента $C$ в гамма-группе, как представлено выше. Зарядовое сопряжение требует расширения гамма-группы двумя новыми элементами; по соглашению, это

$C_{+}\Gamma _{a}C_{+}^{-1}=\Gamma _{a}^{\textsf {t}}$

и

$C_{-}\Gamma _{a}C_{-}^{-1}=i^{2}\Gamma _{a}^{\textsf {t}}$

Вышеупомянутых отношений недостаточно для определения группы; $C^{2}$ и другие продукты не определены.

Матричное представление

Гамма-группа имеет матричное представление, заданное комплексом $N\times N$ матрицы с $N=2^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}d\right\rfloor }$ и $d=p+q$ и $\lfloor x\rfloor$ функция пола , наибольшее целое число, меньшее $x.$ Групповое представление матриц можно компактно записать в терминах антикоммутаторного соотношения из алгебры Клиффорда Cℓ _{p , q} ( R )

$\{\Gamma _{a}~,~\Gamma _{b}\}=\Gamma _{a}\Gamma _{b}+\Gamma _{b}\Gamma _{a}=2\eta _{ab}I_{N}~,$

где матрица I _N представляет собой единичную матрицу в N измерениях. Транспонирование и эрмитово сопряжение соответствуют своему обычному значению на матрицах.

Сопряжение зарядов

В оставшейся части статьи предполагается, что $p=1$ и так $q=d-1$. То есть алгебра Клиффорда Cℓ _{1 , d −1} ( R ) . предполагается В этом случае гамма-матрицы обладают следующим свойством при эрмитовом сопряжении :

${\begin{aligned}\Gamma _{0}^{\dagger }&=+\Gamma _{0}~,&\Gamma _{a}^{\dagger }&=-\Gamma _{a}~(a=1,\dots ,d-1)~.\end{aligned}}$

Транспонирование будет обозначаться с небольшим изменением обозначений путем отображения $\Gamma _{a}^{\textsf {t}}\mapsto \Gamma _{a}^{\textsf {T}}$ где элемент слева — это элемент абстрактной группы, а элемент справа — это литеральная матрица transpose .

Как и ранее, генераторы Γ _a , −Γ _a ^Т , С _а ^Т все порождают одну и ту же группу (все сгенерированные группы изоморфны ; операции по-прежнему являются инволюциями ). Однако, поскольку Γ _a теперь являются матрицами, становится правдоподобным задаться вопросом, существует ли матрица, которая может действовать как преобразование подобия , воплощающее автоморфизмы. В общем, такую ​​матрицу можно найти. По соглашению, есть два представляющих интерес; в физической литературе их называют матрицами зарядового сопряжения . Явно это

${\begin{aligned}C_{(+)}\Gamma _{a}C_{(+)}^{-1}&=+\Gamma _{a}^{\textsf {T}}\\C_{(-)}\Gamma _{a}C_{(-)}^{-1}&=-\Gamma _{a}^{\textsf {T}}~.\end{aligned}}$

Их можно построить как действительные матрицы различных размерностей, как показано в следующей таблице. В четном измерении оба $C_{\pm }$ существуют, в нечетном измерении только один.

д	$C_{(+)}^{*}=C_{(+)}$	$C_{(-)}^{*}=C_{(-)}$
$2$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$3$		$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$4$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$5$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1$
$6$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1$
$7$		$C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1$
$8$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1$
$9$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$
$10$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$11$		$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$

Обратите внимание, что $C_{(\pm )}^{*}=C_{(\pm )}$ это базовый выбор.

Свойства симметрии

Обозначим произведение гамма-матриц через

$\Gamma _{abc\dotsm }=\Gamma _{a}\cdot \Gamma _{b}\cdot \Gamma _{c}\cdots {}$

и обратите внимание, что свойство антикоммутации позволяет нам упростить любую такую ​​последовательность до такой, в которой индексы различны и возрастают. Поскольку отчетливые $\Gamma _{a}$ против поездок на работу это мотивирует введение антисимметричного «среднего». Введем антисимметричные произведения различных n -кортежей из 0, ..., d − 1:

$\Gamma _{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}\epsilon (\pi )\Gamma _{a_{\pi (1)}}\cdots \Gamma _{a_{\pi (n)}}~,$

где π пробегает все перестановки из n символов, а ϵ — чередующийся символ . Есть 2 ^д таких продуктов, но только N ² независимы и охватывают пространство размера N × N. матриц

Обычно Γ _ab обеспечивает (би)спинорное представление ⁠ 1/2 , ⁠ ( d генераторы d − 1 многомерной группы Лоренца ) SO ⁺ (1, d − 1) , обобщающее 6 матриц σ ^{примечание} спинового представления группы Лоренца в четырех измерениях.

Для четного d можно дополнительно определить эрмитову киральную матрицу

$\Gamma _{\text{chir}}=i^{{\frac {d}{2}}-1}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d-1}~,$

такой, что {Γ _chir , Γ _a } = 0 и Γ _chir ² = 1 . (В нечетных измерениях такая матрица будет коммутировать со всеми Γ _a s и, таким образом, будет пропорциональна единице, поэтому она не рассматривается.)

Матрица Г называется симметричной, если

$(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})^{\textsf {T}}=+(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})~;$

в противном случае, для знака -, он называется антисимметричным.

В предыдущем выражении C может быть либо $C_{(+)}$ или $C_{(-)}$. В нечетном измерении нет никакой двусмысленности, но в четном лучше выбрать любой из них. $C_{(+)}$ или $C_{(-)}$ допускает спиноры Майораны. При d = 6 такого критерия нет, поэтому мы рассматриваем оба.

д	С	Симметричный	антисимметричный
$3$	$C_{(-)}$	$\gamma _{a}$	$I_{2}$
$4$	$C_{(-)}$	$\gamma _{a}~,~\gamma _{a_{1}a_{2}}$	$I_{4}~,~\gamma _{\text{chir}}~,~\gamma _{\text{chir}}\gamma _{a}$
$5$	$C_{(+)}$	$\Gamma _{a_{1}a_{2}}$	$I_{4}~,~\Gamma _{a}$
$6$	$C_{(-)}$	$I_{8}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}$
$7$	$C_{(-)}$	$I_{8}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}$
$8$	$C_{(+)}$	$I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}$	$\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$
$9$	$C_{(+)}$	$I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}$	$\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$
$10$	$C_{(-)}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}$	$I_{32}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$
$11$	$C_{(-)}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}$	$I_{32}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}$

Личности

Доказательство тождеств следов для гамма-матриц справедливо для всех четных размерностей. Поэтому нужно только вспомнить случай 4D , а затем изменить общий коэффициент 4 на $\operatorname {tr} (I_{N})$. Для других тождеств (содержащих сокращение) явные функции $d$ появится.

1. $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=dI_{N}$
2. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=(2-d)\gamma ^{\nu }$
3. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+(d-2)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
4. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }-(d-2)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }$

Даже когда количество физических измерений равно четырем, эти более общие тождества повсеместно используются в циклических вычислениях из-за размерной регуляризации .

Пример явной конструкции в киральном базисе

Матрицы Г можно построить рекурсивно сначала во всех четных размерностях, d = 2k , а затем в нечетных, 2k + 1.

д = 2

Используя матрицы Паули , возьмем

${\begin{aligned}\gamma _{0}&=\sigma _{1},&\gamma _{1}&=-i\sigma _{2}\end{aligned}}$

и можно легко проверить, что матрицы зарядового сопряжения имеют вид

${\begin{aligned}C_{(+)}=\sigma _{1}=C_{(+)}^{*}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(2,+)}&=+1\\C_{(-)}=i\sigma _{2}=C_{(-)}^{*}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(2,-)}&=-1~.\end{aligned}}$

Наконец, можно определить эрмитовский киральный γ _chir как

$\gamma _{\text{chir}}=\gamma _{0}\gamma _{1}=\sigma _{3}=\gamma _{\text{chir}}^{\dagger }~.$

Общий четный d = 2 k

Теперь можно построить матрицы Γ _a , ( a = 0, ... , d + 1) и зарядовые сопряжения C _(±) в измерениях d + 2, начиная с γ _a' , ( a' = 0, ... , d − 1 ) и c _(±) матрицы в d измерениях.

Явно,

${\begin{aligned}\Gamma _{a'}&=\gamma _{a'}\otimes \sigma _{3}~~~\left(a'=0,\dots ,d-1\right)~,&\Gamma _{d}&=I\otimes (i\sigma _{1})~,&\Gamma _{d+1}&=I\otimes (i\sigma _{2})~.\end{aligned}}$

Затем можно построить матрицы зарядового сопряжения:

${\begin{aligned}C_{(+)}&=c_{(-)}\otimes \sigma _{1}~,&C_{(-)}&=c_{(+)}\otimes (i\sigma _{2})~,\end{aligned}}$

со следующими свойствами,

${\begin{aligned}C_{(+)}=C_{(+)}^{*}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(d+2,+)}&=s_{(d,-)}\\C_{(-)}=C_{(-)}^{*}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(d+2,-)}&=-s_{(d,+)}~.\end{aligned}}$

Исходя из значений знаков для d = 2, s _(2,+) = +1 и s _(2,−) = −1, можно зафиксировать все последующие знаки s _{( d ,±),} имеющие периодичность 8; явно, можно найти

	$d=8k$	$d=8k+2$	$d=8k+4$	$d=8k+6$
$s_{(d,+)}$	+1	+1	−1	−1
$s_{(d,-)}$	+1	−1	−1	+1

Опять же, можно определить эрмитову киральную матрицу в измерениях d +2 как

${\begin{aligned}\Gamma _{\text{chir}}&=\alpha _{d+2}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d+1}=\gamma _{\text{chir}}\otimes \sigma _{3}~,&\alpha _{d}&=i^{{\frac {1}{2}}d-1}~,\end{aligned}}$

которая по построению диагональна и при зарядовом сопряжении преобразуется как

${\begin{aligned}C_{(\pm )}\Gamma _{\text{chir}}C_{(\pm )}^{-1}&=\beta _{d+2}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~,&\beta _{d}&=(-)^{{\frac {1}{2}}d(d-1)}~.\end{aligned}}$

Таким образом, очевидно, что {Γ _chir , Γ _a } = 0.

Общий нечет d = 2 k + 1

Рассмотрим предыдущую конструкцию для d − 1 (которая четна) и просто возьмем все матрицы Γ _a ( a = 0, ..., d − 2) , к которым добавим ее i Γ _chir ≡ Γ _{d −1} . ( Я необходим для получения антиэрмитовой матрицы и ее расширения в пространственноподобную метрику).

Наконец, вычислите матрицу сопряжения зарядов: выберите между $C_{(+)}$ и $C_{(-)}$, таким образом, что Γ _{d −1} преобразуется, как и все остальные Γ -матрицы. Явно требуйте

$C_{(s)}\Gamma _{\text{chir}}C_{(s)}^{-1}=\beta _{d}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}=s\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~.$

При изменении размера d закономерности обычно повторяются с периодом 8 (см. часы алгебры Клиффорда ).

См. также

• Матрицы Вейля – Брауэра
• Биспинор
• Модуль Клиффорда

Общее чтение

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Являюсь. Дж. Математика . 57 : 425–449. дои : 10.2307/2371218 . ЖФМ   61.1025.06 . JSTOR   2371218 . Збл   0011.24401 .
• Паис, Авраам (1962). «О спинорах в n измерениях» . Журнал математической физики . 3 (6): 1135. Бибкод : 1962JMP.....3.1135P . дои : 10.1063/1.1703856 .
• Глиоцци, Ф.; Шерк, Джоэл; Олив, Д. (1977). «Суперсимметрия, теории супергравитации и модель двойного спинора» (PDF) . Ядерная физика Б . 122 (2): 253. Бибкод : 1977НуФБ.122..253Г . дои : 10.1016/0550-3213(77)90206-1 .
• Кеннеди, AD (1981). «Алгебры Клиффорда в 2ω измерениях». Журнал математической физики . 22 (7): 1330. Бибкод : 1981JMP....22.1330K . дои : 10.1063/1.525069 .
• де Вит, Брайс и Смит, Дж. (1986). Теория поля в физике элементарных частиц (Личная библиотека Северной Голландии), Том 1, Мягкая обложка, Приложение E ( Архивировано из оригинала ), ISBN   978-0444869999
• Мураяма, Х. (2007). «Заметки об алгебре Клиффорда и представлениях спина (N)»
• Пьетро Джузеппе Фре (2012). «Гравитация, геометрический курс: Том 1: Развитие теории и основные физические приложения». Спрингер-Верлаг. ISBN   9400753608 . См. стр. 315 и далее.