Малоугловое приближение

Примерно одинаковое поведение некоторых (тригонометрических) функций при $x \to 0$

Малоугловые аппроксимации можно использовать для аппроксимации значений основных тригонометрических функций при условии, что рассматриваемый угол мал и измеряется в радианах :

{\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}

Эти приближения имеют широкий спектр применения в областях физики и техники , включая механику , электромагнетизм , оптику , картографию , астрономию и информатику . ^[1]^[2] Одна из причин этого заключается в том, что они могут значительно упростить дифференциальные уравнения , на которые не требуется давать абсолютную точность.

Существует несколько способов продемонстрировать справедливость малоугловых приближений. Самый прямой метод — усечь ряд Маклорена для каждой из тригонометрических функций. В зависимости от аппроксимации порядка $\textstyle \cos \theta$ аппроксимируется как $1$ или как ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ . ^[3]

Обоснования

Графика

Точность аппроксимации можно увидеть ниже на рисунках 1 и 2. Когда величина угла приближается к нулю, разница между аппроксимацией и исходной функцией также приближается к 0.

Рисунок 1. Сравнение основных нечетных тригонометрических функций с $θ$ . Видно, что по мере приближения угла к 0 аппроксимации становятся лучше.
Рисунок 2. Сравнение $cos θ$ с $1 — .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ θ 2 / 2 ⁠$ . Видно, что по мере приближения угла к 0 приближение становится лучше.

Геометрический

Красный участок справа, $,$ представляет собой разницу между длинами гипотенузы $H$ и прилежащей стороны $A.$ d Как показано, $H$ и $A$ почти одинаковой длины, что означает, что $cos θ$ близок к 1 и $⁠ θ 2 / 2 ⁠$ помогает убрать красный цвет. $\cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$

Противоположный катет $O$ примерно равен длине синей дуги $s$ . Сбор фактов из геометрии, $s = Aθ$ , из тригонометрии, $sin θ = ⁠ O / H ⁠$ и $tan θ = ⁠ O / A ⁠$ , а из картинки $O \approx s$ и $H \approx A$ приводит к: $\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .$

Упрощение листьев, $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .$

Исчисление

Используя теорему о сжатии , ^[4] мы можем доказать это $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,$ что является формальным переформулированием приближения $\sin(\theta )\approx \theta$ для малых значений θ .

Более внимательное применение теоремы о сжатии доказывает, что $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,$ из чего мы делаем вывод, что $\tan(\theta )\approx \theta$ для малых значений θ .

Наконец, правило Лопиталя говорит нам, что $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},$ который перестраивается в ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ для малых значений θ . В качестве альтернативы мы можем использовать формулу двойного угла $\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$ . Позволяя $\theta =2A$ , мы поняли это ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ .

алгебраический

Разложение Маклорена (разложение Тейлора около 0) соответствующей тригонометрической функции равно ^[5] ${\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$ где $θ$ — угол в радианах. Говоря более ясными словами, $\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots$

Легко видеть, что второй по значимости член (третьего порядка) выпадает как куб первого члена; таким образом, даже для не такого уж маленького аргумента, такого как 0,01, значение второго наиболее значимого члена имеет порядок 0,000 001 , или ⁠ 1/10 ⁠ 000 срок . первый Таким образом, можно безопасно аппроксимировать: $\sin \theta \approx \theta$

В более широком смысле, поскольку косинус небольшого угла очень близок к 1, а тангенс определяется как синус, разделенный на косинус, $\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,$

Двойные числа

Можно также использовать двойственные числа , определяемые как числа в форме $a+b\varepsilon$ , с $a,b\in \mathbb {R}$ и $\varepsilon$ удовлетворение по определению $\varepsilon ^{2}=0$ и $\varepsilon \neq 0$ . Используя ряд косинуса и синуса Маклорена, можно показать, что $\cos(\theta \varepsilon )=1$ и $\sin(\theta \varepsilon )=\theta \varepsilon$ . Более того, нетрудно доказать, что тождество Пифагора имеет место: $\sin ^{2}(\theta \varepsilon )+\cos ^{2}(\theta \varepsilon )=(\theta \varepsilon )^{2}+1^{2}=\theta ^{2}\varepsilon ^{2}+1=\theta ^{2}\cdot 0+1=1$

Ошибка приближений

На рис. 3 показаны относительные погрешности малоугловых аппроксимаций. Углы, при которых относительная погрешность превышает 1%, следующие:

$cos θ \approx 1$ при примерно 0,1408 радиан (8,07°)
$tan θ \approx θ$ примерно на 0,1730 радиан (9,91 °)
$sin θ \approx θ$ примерно при 0,2441 радиан (13,99°)
$потому что θ \approx 1 - ⁠ θ 2 / 2 ⁠$ примерно на 0,6620 радиан (37,93 °)

Сумма и разность углов

Теоремы сложения и вычитания углов сводятся к следующему, когда один из углов мал ( β ≈ 0):

потому что ( а + б )	≈ cos( α ) − β sin( α ),
потому что ( α - β )	≈ cos( α ) + β sin( α ),
грех( а + б )	≈ sin( α ) + β cos( α ),
грех( α - β )	≈ грех( α ) − β потому что ( α ).

Конкретное использование

Астрономия

В астрономии угловой размер или угол, изображаемый изображением удаленного объекта, часто составляет всего несколько угловых секунд (обозначается символом ″), поэтому он хорошо подходит для приближения малого угла. ^[6] Линейный размер ( $D$ ) связан с угловым размером ( $X$ ) и расстоянием от наблюдателя ( $d$ ) простой формулой:

D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}

где $X$ измеряется в угловых секундах.

Величина 206 265 ″ примерно равна количеству угловых секунд в круге ( 1 296 000 ″ ), делённому на $2π$ , или, количеству угловых секунд в 1 радиане.

Точная формула

D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)

и приведенное выше приближение следует, когда $tan X$ заменяется на $X$ .

Движение маятника

Приближение косинуса второго порядка особенно полезно при вычислении потенциальной энергии маятника , которую затем можно применить с помощью лагранжиана для нахождения косвенного (энергетического) уравнения движения.

При расчете периода простого маятника используется малоугловое приближение синуса, чтобы можно было легко решить полученное дифференциальное уравнение путем сравнения с дифференциальным уравнением, описывающим простое гармоническое движение .

Оптика

В оптике малоугловые приближения составляют основу параксиального приближения .

Волновая интерференция

Приближения синуса и касательного малого угла используются в отношении эксперимента с двумя щелями или дифракционной решетки для разработки упрощенных уравнений, подобных следующему, где $y$ — расстояние полосы от центра максимальной интенсивности света, $m$ — порядок полосы, $D$ — расстояние между щелями и проекционным экраном, а $d$ — расстояние между щелями: ^[7] $y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}$

Строительная механика

Приближение малого угла также появляется в строительной механике, особенно в анализе устойчивости и бифуркации (в основном для колонн с осевой нагрузкой, готовых подвергнуться потере устойчивости ). Это приводит к значительным упрощениям, хотя и за счет точности и понимания истинного поведения.

Пилотирование

Правило 1 из 60, используемое в аэронавигации, основано на приближении малого угла, а также на том факте, что один радиан равен примерно 60 градусам.

Интерполяция

Формулы сложения и вычитания, включающие небольшой угол, можно использовать для интерполяции между значениями тригонометрической таблицы :

Пример: грех(0,755) ${\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}$ где значения sin(0,75) и cos(0,75) получены из тригонометрической таблицы. Результат соответствует указанным четырем цифрам.

См. также

Ссылки

^ Холброу, Чарльз Х.; и др. (2010), Современная вводная физика (2-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 30–32, ISBN 978-0387790794 .
^ Плеша, Михаил; и др. (2012), Инженерная механика: статика и динамика (2-е изд.), Высшее образование McGraw-Hill, с. 12, ISBN 978-0077570613 .
^ «Малоугловое приближение | Блестящая математическая и научная вики» . блестящий.орг . Проверено 22 июля 2020 г.
^ Ларсон, Рон; и др. (2006), Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Cengage Learning, стр. 85, ISBN 0618606254 .
^ Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках . Уайли. п. 26. ISBN 978-0-471-19826-0 .
^ Грин, Робин М. (1985), Сферическая астрономия , Издательство Кембриджского университета, стр. 19, ISBN 0521317797 .
^ «Щелевая интерференция» .

[Holbrow2010-1] Холброу, Чарльз Х.; и др. (2010), Современная вводная физика (2-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 30–32, ISBN 978-0387790794 .

[Plesha2012-2] Плеша, Михаил; и др. (2012), Инженерная механика: статика и динамика (2-е изд.), Высшее образование McGraw-Hill, с. 12, ISBN 978-0077570613 .

[3] «Малоугловое приближение | Блестящая математическая и научная вики» . блестящий.орг . Проверено 22 июля 2020 г.

[Larson2006-4] Ларсон, Рон; и др. (2006), Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Cengage Learning, стр. 85, ISBN 0618606254 .

[5] Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках . Уайли. п. 26. ISBN 978-0-471-19826-0 .

[Green1985-6] Грин, Робин М. (1985), Сферическая астрономия , Издательство Кембриджского университета, стр. 19, ISBN 0521317797 .

[7] «Щелевая интерференция» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]