Тощий треугольник

Рис. 1 Равнобедренный узкий треугольник

В тригонометрии — тощий треугольник это треугольник , высота которого намного больше его основания. Решение таких треугольников можно значительно упростить , если использовать приближение, согласно которому синус малого угла равен этому углу в радианах . Решение особенно просто для тонких треугольников, которые также являются равнобедренными или прямоугольными от использования тригонометрических функций или таблиц : в этих случаях можно полностью отказаться .

Тонкий треугольник находит применение в геодезии, астрономии и стрельбе.

Равнобедренный треугольник

Таблица ошибок синусоидальной малоугловой аппроксимации

Большие углы	Маленькие углы
угол ошибка (градусы) (радианы) (%) 1 0.017 0.005 2 0.035 0.02 5 0.087 0.13 10 0.175 0.51 15 0.262 1.15 20 0.349 2.06 25 0.436 3.25 30 0.524 4.72 35 0.611 6.50 40 0.698 8.61 45 0.785 11.07 50 0.873 13.92 55 0.960 17.19 60 1.047 20.92	угол ошибка (минуты) (радианы) ( промилле ) 1 0.0003 0.01 2 0.0006 0.06 5 0.0015 0.35 10 0.0029 1.41 15 0.0044 3.17 20 0.0058 5.64 25 0.0073 8.81 30 0.0087 12.69 35 0.0102 17.28 40 0.0116 22.56 45 0.0131 28.56 50 0.0145 35.26 55 0.0160 42.66 60 0.0175 50.77

Приближенное решение тонкого равнобедренного треугольника, приведенное на рисунке 1, выглядит следующим образом:

$b\approx r\theta \,$

${\text{area}}\approx {\frac {1}{2}}\theta r^{2}\,$

Это основано на малоугловых приближениях :

$\sin \theta \approx \theta ,\quad \theta \ll 1\,$

и

$\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\approx 1,\quad \theta \ll 1$

когда $\scriptstyle \theta$ находится в радианах .

Доказательство решения тонкого треугольника следует из приближения малых углов с применением закона синусов . Опять обращаясь к рисунку 1:

${\frac {b}{\sin \theta }}={\frac {r}{\sin \left({\frac {\pi -\theta }{2}}\right)}}$

Термин $\scriptstyle {\frac {\pi -\theta }{2}}$ представляет основной угол треугольника и является этим значением, поскольку сумма внутренних углов любого треугольника (в данном случае два основных угла плюс θ ) равна π. Применение приближений малых углов к приведенному выше закону синусов приводит к

${\frac {b}{\theta }}\approx {\frac {r}{1}}$

что является желаемым результатом.

Рис.2 Длина дуги l приближается к длине хорды b при угла θ. уменьшении

Этот результат эквивалентен предположению, что длина основания треугольника равна длине дуги окружности радиуса r, опирающейся на угол θ . Ошибка составляет 10% или менее для углов менее 43°. и улучшается квадратично: при уменьшении угла в k раз ошибка уменьшается в k раз. ² .

Формула стороны-угла-стороны для площади треугольника:

${\text{area}}={\frac {\sin \theta }{2}}r^{2}$

Применение приближений малых углов приводит к

${\text{area}}\approx {\frac {1}{2}}\theta r^{2}\,$

Прямоугольный треугольник

Рис.3 Правильный узкий треугольник

Таблица касательных ошибок аппроксимации малых углов

Большие углы	Маленькие углы
угол ошибка (градусы) (радианы) (%) 1 0.017 −0.01 5 0.087 −0.25 10 0.175 −1.02 15 0.262 −2.30 20 0.349 −4.09 25 0.436 −6.43 30 0.524 −9.31 35 0.611 −12.76 40 0.698 −16.80 45 0.785 −21.46 50 0.873 −26.77 55 0.960 −32.78 60 1.047 −39.54	угол ошибка (минуты) (радианы) (ppm) 1 0.0003 −0.03 5 0.0015 −0.71 10 0.0029 −2.82 15 0.0044 −6.35 20 0.0058 −11.28 25 0.0073 −17.63 30 0.0087 −25.38 35 0.0102 −34.55 40 0.0116 −45.13 45 0.0131 −57.12 50 0.0145 −70.51 55 0.0160 −85.32 60 0.0175 −101.54

Приближенное решение правильного узкого треугольника, представленное на рисунке 3, выглядит следующим образом:

$b\approx h\theta$

Это основано на малоугловом приближении

$\tan \theta \approx \theta ,\quad \theta \ll 1$

которое при подстановке в точное решение

$b=h\tan \theta \$

дает желаемый результат.

Погрешность этого приближения составляет менее 10% для углов 31° и менее.

Приложения

Применение тонкого треугольника встречается в любой ситуации, когда необходимо определить расстояние до дальнего объекта. Это может произойти в геодезии, астрономии, а также имеет военное применение.

Астрономия

Тонкий треугольник часто используется в астрономии для измерения расстояния до объектов Солнечной системы . Основание треугольника образовано расстоянием между двумя измерительными станциями, а угол θ — это угол параллакса, образуемый объектом, видимым с двух станций. Для обеспечения максимальной точности эта базовая линия обычно очень длинная; в принципе станции могли бы находиться на противоположных сторонах Земли . Однако это расстояние все еще мало по сравнению с расстоянием до измеряемого объекта (высотой треугольника), и можно применить решение с тонким треугольником и при этом добиться высокой точности. Альтернативный метод измерения углов основания теоретически возможен, но не столь точен. Базовые углы очень близки к прямым, и их необходимо измерять с гораздо большей точностью, чем угол параллакса, чтобы получить такую ​​​​же точность.

Тот же метод измерения углов параллакса и применения тонкого треугольника можно использовать для измерения расстояний до звезд, по крайней мере, до ближайших звезд. Однако в случае звезд обычно требуется более длинная базовая линия, чем диаметр Земли. Вместо использования двух станций на базовой линии два измерения проводятся с одной и той же станции в разное время года. В течение этого периода орбита Земли вокруг Солнца перемещает измерительную станцию ​​на большое расстояние, обеспечивая очень длинную базовую линию. Эта базовая линия может иметь длину, равную большой оси орбиты Земли или, что эквивалентно, двум астрономическим единицам (а.е.). Расстояние до звезды с углом параллакса всего в одну угловую секунду, измеренное на базовой линии в одну а.е., представляет собой единицу, известную в астрономии как парсек (пк), и равно примерно 3,26 световых лет . Существует обратная зависимость между расстоянием в парсеках и углом в угловых секундах. Например, две угловые секунды соответствуют расстоянию в 0,5 пк , а 0,5 угловые секунды соответствуют расстоянию в два парсека.

артиллерийское дело

См. Также: Телеметр (дальномер)

Тонкий треугольник полезен в артиллерийском деле, поскольку позволяет вычислить взаимосвязь между дальностью и размером цели без необходимости стрелку вычислять или искать какие-либо тригонометрические функции . Военные и охотничьи оптические прицелы часто имеют сетку , калиброванную в миллирадианах , которые в этом контексте обычно называют просто милами или милточками. Мишень 1 метр высотой и диаметром прицела 1 мил соответствует дальности 1000 метров. Существует обратная зависимость между углом, измеряемым в снайперском прицеле, и расстоянием до цели. Например, если размер этой же цели в прицеле составляет 2 мила , то дальность составит 500 метров.

Еще одна единица измерения, которая иногда используется в прицелах, — это угловая минута (МОА). Расстояния, соответствующие угловым минутам, не являются точными числами в метрической системе, как в миллирадианах; однако существует удобное приблизительное соответствие целых чисел в имперских единицах . Мишень 1 дюйм высотой и диаметром прицела 1 МОА соответствует дальности 100 ярдов . Или, что, возможно, более полезно, цель высотой 6 футов и размером 4 МОА соответствует дальности 1800 ярдов (чуть больше мили).

Авиация

Простая форма авиационной навигации, счисление пути , основана на оценке скорости ветра на больших расстояниях для расчета желаемого курса. Поскольку прогнозируемые или сообщаемые скорости ветра редко бывают точными, необходимо регулярно вносить поправки в курс самолета. Тонкие треугольники составляют основу правила 1 из 60 , которое гласит: «После путешествия 60 миль ваш курс отклоняется на один градус на каждую милю отклонения от курса». «60» очень близко к 180/π = 57,30.

См. также

• Приближение малого угла
• Бесконечно малые колебания маятника.

Библиография

• Абелл, Джордж Огден; Моррисон, Дэвид; Вольф, Сидни К. (1987). Исследование Вселенной . Паб Сондерс Колледж. ISBN  0-03-005143-6 .
• Брейтаупт, Джим (2000). Физика для продвинутого уровня . Нельсон Торнс. ISBN  0-7487-4315-4 .
• Холброу, Чарльз Х.; Ллойд, Джеймс Н.; Амато, Джозеф К.; Гальвез, Энрике; Паркс, Бет (2010). Современная вводная физика . Springer Science & Business Media . ISBN  0-387-79079-9 .
• Васан, Шрини (2004). Основы фотоники и оптики . Траффорд Паблишинг. ISBN  1-4120-4138-4 .
• Варлоу, Том А. (1996). Огнестрельное оружие, закон и судебная баллистика . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-7484-0432-5 .