Уравнения Янга – Миллса – Хиггса.

В математике уравнения Янга-Миллса-Хиггса представляют собой набор нелинейных уравнений в частных производных для поля Янга-Миллса , заданного связностью, и поля Хиггса , заданного секцией векторного расслоения (в частности, сопряженного пучок ). Эти уравнения

${\begin{aligned}D_{A}*F_{A}+[\Phi ,D_{A}\Phi ]&=0,\\D_{A}*D_{A}\Phi &=0\end{aligned}}$

с граничным условием

$\lim _{|x|\rightarrow \infty }|\Phi |(x)=1$

где

A — связность на векторном расслоении,

D _A — внешняя ковариантная производная,

F _A — кривизна этого соединения,

Φ — сечение этого векторного расслоения,

∗ — звезда Ходжа, а

[·,·] — естественная градуированная скобка.

Эти уравнения названы в честь Чэнь Нин Янга , Роберта Миллса и Питера Хиггса . Они очень тесно связаны с уравнениями Гинзбурга-Ландау , когда они выражаются в общей геометрической форме.

М. В. Гоганов и Л. В. Капитанский показали, что задача Коши для гиперболических уравнений Янга–Миллса–Хиггса в гамильтоновой калибровке в 4-мерном пространстве Минковского имеет единственное глобальное решение без ограничений на пространственной бесконечности. Кроме того, решение обладает свойством конечной скорости распространения.

лагранжиан

Уравнения возникают как уравнения движения лагранжевой плотности

Лагранжева плотность Янга – Миллса – Хиггса

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left\langle F_{\mu \nu },F^{\mu \nu }\right\rangle +{\frac {1}{2}}\left\langle D_{\mu }\phi ,D^{\mu }\phi \right\rangle -V(\phi )$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является инвариантной симметричной билинейной формой на присоединенном расслоении. Иногда это пишут как ${\text{tr}}$ в связи с тем, что такая форма может возникнуть из-за следа на ${\mathfrak {g}}$ под каким-либо представительством; в частности, здесь мы имеем дело с присоединенным представлением , а следом на этом представлении является форма Киллинга .

Для конкретной формы уравнений Янга–Миллса–Хиггса, приведенной выше, потенциал $V(\phi )$ исчезает. Другим распространенным выбором является $V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\langle \phi ,\phi \rangle$, что соответствует массивному полю Хиггса.

Эта теория представляет собой частный случай скалярной хромодинамики , где поле Хиггса $\phi$ оценивается в присоединенном представлении, а не в общем представлении.

См. также

• Уравнения Янга – Миллса
• Скалярная хромодинамика

Ссылки

• М. В. Гоганов, Л. В. Капитанский, "Глобальная разрешимость исходной задачи для уравнений Янга-Миллса-Хиггса", Записки ЛОМИ 147,18–48, (1985); Ж. Сов. Математика, 37, 802–822 (1987).