5-многообразие

В математике — 5-многообразие это 5-мерное топологическое многообразие , возможно, с кусочно-линейной или гладкой структурой .

Неодносвязные проблему 5-многообразия невозможно классифицировать, так как это сложнее, чем решать слов для групп . ^[1] Односвязные компактные 5-многообразия были впервые классифицированы Стивеном Смейлом. ^[2] а затем, в общих чертах, Деннис Барден , ^[3] другое доказательство позднее было дано Алексеем Васильевичем Жубром. ^[4] Это оказывается проще, чем 3- или 4-мерный случай: 3-мерный случай представляет собой гипотезу геометризации Терстона , а 4-мерный случай был решен Майклом Фридманом (1982) в топологическом случае: ^[5] но в гладком случае это очень трудная нерешенная проблема.

В размерности 5 гладкая классификация односвязных многообразий определяется классической алгебраической топологией . А именно, два односвязных гладких 5-многообразия диффеоморфны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм их вторых групп гомологий с целыми коэффициентами, сохраняющий форму зацепления и второй класс Стифеля–Уитни . Более того, любой такой изоморфизм во вторых гомологиях индуцируется некоторым диффеоморфизмом. Неразрешимо, если данное 5-многообразие гомеоморфно $S^{5}$ , 5-сфера. ^[1]

Примеры [ править ]

Вот несколько примеров гладких, замкнутых, односвязных 5-многообразий:

$S^{5}$ , 5-сфера.
$S^{2}\times S^{3}$ , произведение 2-сферы на 3-сферу.
$S^{2}{\widetilde {\times }}S^{3}$ , общее пространство нетривиального $S^{3}$ - связать $S^{2}$ .
$\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ , многообразие Ву , однородное пространство, полученное как факторирование специальной унитарной группы SU(3) по подгруппе вращения SO(3) .