Путеводитель по теореме классификации компактных поверхностей
«Руководство по теореме классификации компактных поверхностей» — учебник по топологии , посвященный классификации двумерных поверхностей . Он был написан Жаном Галье и Дайанной Сюй и опубликован в 2013 году издательством Springer-Verlag как девятый том их серии «Геометрия и вычисления» ( дои : 10.1007/978-3-642-34364-3 , ISBN 978-3-642-34363-6 ). Комитет по основным спискам библиотек Американской математической ассоциации рекомендовал включить ее в библиотеки по математике для студентов. [1]
Темы [ править ]
Классификацию поверхностей (более формально, компактных двумерных многообразий без края) можно сформулировать очень просто, поскольку она зависит только от эйлеровой характеристики и ориентируемости поверхности. Ориентируемая поверхность этого типа должна быть топологически эквивалентна ( гомеоморфна ) сфере , тору или более общему телу-ручке , классифицированному по количеству ручек. Неориентируемая поверхность должна быть эквивалентна проективной плоскости , бутылке Клейна или более общей поверхности, характеризующейся аналогичным числом — числом поперечных шапочек . Для компактных поверхностей с границей единственная необходимая дополнительная информация — это количество компонентов границы. [1] Этот результат неофициально представлен в начале книги как первая из шести ее глав. Остальная часть книги представляет собой более строгую формулировку проблемы, представление топологических инструментов, необходимых для доказательства результата, и формальное доказательство классификации. [2] [3]
Другие темы топологии, обсуждаемые в рамках этой презентации, включают симплициальные комплексы , фундаментальные группы , симплициальные гомологии и сингулярные гомологии , а также гипотезу Пуанкаре . Приложения включают дополнительный материал по вложениям и самопересекающимся отображениям поверхностей в трехмерное пространство, таким как римская поверхность , структура конечно порожденных абелевых групп , общая топология , история классификационной теоремы и Hauptvermutung (теорема о том, что каждая поверхность может быть триангулирована). [2]
и Аудитория прием
Это учебник, предназначенный для студентов старших курсов или начинающих аспирантов по математике. [2] возможно, после того, как он уже закончил первый курс топологии. Ожидается, что читатели книги уже знакомы с общей топологией , линейной алгеброй и теорией групп . [1] Однако в качестве учебника в нем отсутствуют упражнения, и рецензент Билл Вуд предлагает использовать его для студенческого проекта, а не для формального курса. [1]
Многие другие учебники по алгебраической топологии для аспирантов включают ту же тему. [4] Однако, сосредоточив внимание на одной теме, классификационной теореме, книга способна строго доказать результат, оставаясь при этом на более низком общем уровне. [4] [5] обеспечить большее количество интуиции и истории, [4] и служить «мотивирующим туром по фундаментальным методам дисциплины». [1]
Рецензент Клара Лё жалуется, что некоторые части книги излишни, и, в частности, что теорема классификации может быть доказана либо с помощью фундаментальной группы, либо с помощью гомологии (без необходимости того и другого), что, с другой стороны, несколько важных инструментов топологии, включая теорема Джордана-Шенфлиса не доказана, а некоторые связанные с ней результаты классификации опущены. [3] Тем не менее, рецензент Д.В. Фельдман настоятельно рекомендует книгу. [5] Вуд пишет: «Это книга, которую я хотел бы иметь в аспирантуре». [1] а рецензент Вернер Кляйнерт называет его «вводным текстом, имеющим замечательную дидактическую ценность». [2]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: а б с д и ж Вуд, Билл (март 2014 г.), «Обзор руководства по теореме классификации компактных поверхностей » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
- ^ Jump up to: а б с д Кляйнерт, Вернер, «Обзор руководства к теореме классификации компактных поверхностей », zbMATH , Zbl 1270.57001
- ^ Jump up to: а б Лё, Клара, «Обзор руководства к теореме классификации компактных поверхностей », Mathematical Reviews , 9 , MR 3026641
- ^ Jump up to: а б с Кастрильон Лопес, Марко (январь 2018 г.), «Обзор руководства по теореме классификации компактных поверхностей » , EMS Reviews , Европейское математическое общество
- ^ Jump up to: а б Фельдман, Д.В. (август 2013 г.), «Обзор руководства по теореме классификации компактных поверхностей » (PDF) , Choice Reviews , 51 (1), Review 51-0331, doi : 10.5860/choice.51-0331
Внешние ссылки [ править ]
- Веб-сайт автора « Руководства по классификационной теореме для компактных поверхностей», включая PDF-версию главы 1.