Теорема Шура – Цассенхауза

Теорема Шура –Цассенхауза — это теорема теории групп , которая утверждает, что если $G$ является конечной группой и $N$ — нормальная подгруппа которой , порядок взаимно прост с порядком факторгруппы $G/N$ , затем $G$ является полупрямым произведением (или расщепленным расширением) $N$ и $G/N$ . Альтернативное утверждение теоремы состоит в том, что любая нормальная холлова подгруппа $N$ конечной группы $G$ имеет дополнение в $G$ . Более того, если либо $N$ или $G/N$ разрешима, то теорема Шура–Цассенхауза также утверждает, что все дополнения к $N$ в $G$ являются сопряженными . Предположение, что либо $N$ или $G/N$ разрешимо, можно отбросить, поскольку оно всегда выполняется, но все известные доказательства этого требуют использования гораздо более сложной теоремы Фейта – Томпсона .

Теорема Шура–Цассенхауза хотя бы частично отвечает на вопрос: «Как в композиционном ряду мы можем классифицировать группы с определенным набором композиционных факторов?» Другая часть, где факторы композиции не имеют взаимно простых порядков, рассматривается в теории расширений .

История

Теорема Шура–Цассенхауза была введена Зассенхаузом ( 1937 , 1958 , глава IV, раздел 7). Теорема 25, которую он приписывает Иссаи Шуру , доказывает существование дополнения, а теорема 27 доказывает, что все дополнения сопряжены в предположении, что $N$ или $G/N$ разрешима. Нелегко найти явное утверждение о существовании дополнения в опубликованных работах Шура, хотя результаты Шура ( 1904 , 1907 ) о множителе Шура предполагают существование дополнения в частном случае, когда нормальная подгруппа находится в центр. Зассенхаус отметил, что теорема Шура – Зассенхауза для неразрешимых групп будет следовать, если все группы нечетного порядка разрешимы, что позже было доказано Фейтом и Томпсоном. Эрнст Витт показал, что это также следует из гипотезы Шрайера (см. неопубликованную заметку Витта 1937 года по этому поводу в Witt ( 1998 , стр. 277), но гипотеза Шрайера была доказана только с использованием классификации конечных простых групп, что далеко не так просто. сложнее, чем теорема Фейта–Томпсона.

Примеры

Если мы не наложим условие взаимной простоты, теорема неверна: рассмотрим, например, циклическую группу $C_{4}$ и его нормальная подгруппа $C_{2}$ . Тогда, если $C_{4}$ были полупрямым продуктом $C_{2}$ и $C_{4}/C_{2}\cong C_{2}$ затем $C_{4}$ должен был бы содержать два элемента порядка 2, но он содержит только один. Другой способ объяснить невозможность расщепления $C_{4}$ (т.е. выразить его как полупрямое произведение) — значит заметить, автоморфизмы что $C_{2}$ являются тривиальной группой , поэтому единственным возможным [полу]прямым произведением $C_{2}$ с самим собой является прямым произведением (что порождает четырехгруппу Клейна , группу, которая не изоморфна с $C_{4}$ ).

Примером применения теоремы Шура – Цассенхауза является симметрическая группа из трех символов: $S_{3}$ , которая имеет нормальную подгруппу порядка 3 (изоморфную $C_{3}$ ), который, в свою очередь, имеет индекс 2 в $S_{3}$ (в соответствии с теоремой Лагранжа ), поэтому $S_{3}/C_{3}\cong C_{2}$ . Поскольку числа 2 и 3 относительно простые, применима теорема Шура – Цассенхауза и $S_{3}\cong C_{3}\rtimes C_{2}$ . Заметим, что группа автоморфизмов $C_{3}$ является $C_{2}$ и автоморфизм $C_{3}$ используется в полупрямом продукте, который приводит к $S_{3}$ — это нетривиальный автоморфизм, который переставляет местами два неединичных элемента $C_{3}$ . Кроме того, три подгруппы порядка 2 в $S_{3}$ (любой из которых может служить дополнением к $C_{3}$ в $S_{3}$ ) сопряжены друг с другом.

Нетривиальность (дополнительного) заключения о сопряженности можно проиллюстрировать с помощью четырехгруппы Клейна $V$ как непример. Любая из трех собственных подгрупп $V$ (все из которых имеют порядок 2) является нормальным в $V$ ; фиксируя одну из этих подгрупп, любая из двух других оставшихся (собственных) подгрупп дополняет ее в $V$ , но ни одна из этих трех подгрупп $V$ является сопряженным с любым другим, поскольку $V$ является абелевым .

Группа кватернионов имеет нормальные подгруппы порядка 4 и 2, но не является [полу]прямым произведением. В работах Шура в начале 20-го века было введено понятие центрального расширения для рассмотрения таких примеров, как $C_{4}$ и кватернионы.

Доказательство

Существование дополнения к нормальной холловской подгруппе H конечной группы G можно доказать следующими шагами:

Индукцией по порядку G можно предположить, что это верно для любой меньшей группы.
Если H абелева, то существование дополнения следует из того, что группа когомологий H ²( G / H , H ) исчезает (поскольку H и G / H имеют взаимно простые порядки), а тот факт, что все дополнения сопряжены, следует из исчезновения H ¹( Г / Ч , Ч ).
Если H разрешима, она имеет нетривиальную абелеву подгруппу A , характеристическую в H и, следовательно, нормальную в G . Применение теоремы Шура–Цассенхауза к G / A сводит доказательство к случаю, когда H = A абелева, что было сделано на предыдущем шаге.
Если нормализатор N = NG _{нильпотентна и} ( P ) каждой p -силовской подгруппы P группы H равен G , то H , в частности, разрешима, поэтому теорема следует из предыдущего шага.
Если нормализатор N = NG _{, и} ( P ) некоторой p -силовской подгруппы P группы H меньше, чем G справедлива теорема Шура–Цассенхауза , то по индукции для N дополнение N ∩ H в N является дополнением для H в G, потому что G = NH .

Ссылки

Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп . Тексты для аспирантов по математике. Том. 148 (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4612-4176-8 . ISBN 978-0-387-94285-8 . МР 1307623 .
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). John Wiley & Sons, Inc. Хобокен, Нью-Джерси: ISBN 978-0-471-43334-7 . МР 2286236 .
Гашюц, Вольфганг (1952), «К теории расширения конечных групп» , Дж. Рейн Ангью. Math. , 1952 (190): 93–107, doi : 10.1515/crll.1952.190.93 , MR 0051226 , S2CID 116597116 .
Роуз, Джон С. (1978). Курс теории групп . Кембридж-Нью-Йорк-Мельбурн: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-21409-2 . МР 0498810 .
Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп . Аспирантура по математике . Том. 92. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/gsm/092 . ISBN 978-0-8218-4344-4 . МР 2426855 .
Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (2004). Теория конечных групп: Введение . Университеттекст. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/b97433 . ISBN 0-387-40510-0 . МР 2014408 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1996). Курс теории групп . Оксфордские научные публикации. Нью-Йорк: Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN 0-19-853459-0 . МР 1420410 .
Шур, Джесси (1904). «О представлении конечных групп дробно-линейными заменами» . Журнал чистой и прикладной математики . 127 :20-50.
Шур, Джесси (1907). «Исследования по представлению конечных групп дробно-линейными заменами» . Журнал чистой и прикладной математики . 132 : 85–137.
Витт, Эрнст (1998), Керстен, Ина (ред.), Сборник статей. Сборник статей , Сборник сочинений Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-41970-6 , ISBN 978-3-540-57061-5 , МР 1643949
Зассенхаус, Ганс (1937). Учебник теории групп . Гамбургские математические индивидуальные сочинения. Том 21. Лейпциг и Берлин: Тойбнер. . Английский перевод: Зассенхаус, Ханс Дж. (1958) [1949], Теория групп. (2-е изд.), Нью-Йорк: издательство Chelsea Publishing Company, MR 0091275.