Действительная функция

В математике вещественная функция — это функция которой , значения являются действительными числами . Другими словами, это функция, которая присваивает вещественное число каждому члену своей области .

Вещественные функции действительной переменной (обычно называемые действительными функциями ) и вещественные функции нескольких действительных переменных являются основным объектом изучения исчисления и, в более общем плане, реального анализа . В частности, многие функциональные пространства состоят из вещественнозначных функций.

Алгебраическая структура

Позволять ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ быть набором всех функций от множества $X$ до действительных чисел $\mathbb {R}$ . Потому что $\mathbb {R}$ это поле , ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ можно превратить в векторное пространство и коммутативную алгебру над действительными числами с помощью следующих операций:

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ – векторное сложение
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ – аддитивная идентичность
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ – скалярное умножение
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ – поточечное умножение

Эти операции распространяются на частичные функции от $X$ до $\mathbb {R} ,$ с тем ограничением, что частичные функции $f + g$ и $f g$ определяются только в том случае, если области определения $f$ и $g$ имеют непустое пересечение; в этом случае их область определения является пересечением областей определения $f$ и $g$ .

Кроме того, поскольку $\mathbb {R}$ это упорядоченное множество, существует частичный порядок

$\ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),$

на ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),$ что делает ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ кольцо частично упорядоченное .

Измеримый

σ -алгебра борелевских множеств — важная структура действительных чисел. Если $X$ имеет свою σ-алгебру и функция $f$ такова, что прообраз $f -1 (B)$ любого борелевского множества $B$ принадлежит этой σ-алгебре, то $f$ называется измеримым . Измеримые функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура .

Более того, набор (семейство) вещественных функций на $X$ действительно может определять σ-алгебру на $X$ , порожденную всеми прообразами всех борелевских множеств (или только интервалов , это не важно). Именно так возникают σ-алгебры в ( Колмогоровской ) теории вероятностей , где вещественные функции на выборочном пространстве $Ω$ являются вещественными случайными величинами .

Непрерывный

Действительные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство . Непрерывные вещественнозначные функции (что означает, что $X$ является топологическим пространством) важны в теориях топологических пространств и метрических пространств . Теорема о крайних значениях утверждает, что для любой действительной непрерывной функции на компакте существуют ее глобальный максимум и минимум .

Само понятие метрического пространства определяется вещественной функцией двух переменных, метрикой , которая является непрерывной. пространство непрерывных функций на хаусдорфовом компакте Особое значение имеет . Сходящиеся последовательности также можно рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции в специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура , и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет σ-алгебру, порожденную открытыми (или закрытыми) множествами.

Гладкий

Действительные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Областью определения действительной гладкой функции может быть вещественное координатное пространство (которое дает действительную функцию многих переменных ), топологическое векторное пространство , ^[1] гладкое открытое их подмножество или многообразие .

Пространства гладких функций также являются векторными пространствами и алгебрами, как объяснено выше в § Алгебраическая структура , и являются подпространствами пространства непрерывных функций .

Появления в теории меры

Мера неотрицательный на множестве — это вещественнозначный функционал на σ-алгебре подмножеств. ^[2] л ^п Пространства на множествах с мерой определяются из вышеупомянутых вещественнозначных измеримых функций , хотя на самом деле они являются факторпространствами . Точнее, тогда как функция, удовлетворяющая соответствующему условию суммируемости, определяет элемент из L ^п пространстве в противоположном направлении для любого $f \in L п (X)$ и $x \in X$ , который не является атомом , значение $f (x)$ не определено . Хотя вещественное значение L ^п пространства все еще имеют некоторую структуру, описанную выше в § Алгебраическая структура . Каждый из L ^п Пространства являются векторными пространствами и имеют частичный порядок, и существует поточечное умножение «функций», которое меняет $p$ , а именно

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.

Например, поточечное произведение двух L ² функции принадлежат L ¹.

Другие выступления

Другие контексты, в которых используются вещественные функции и их специальные свойства, включают монотонные функции (на упорядоченных множествах ), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах ), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях ), аналитические функции (обычно одного или нескольких действительные переменные), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях ) и полиномы (от одной или нескольких действительных переменных).

См. также

Реальный анализ
Уравнения в частных производных , основной пользователь вещественных функций.
Норма (математика)
Скаляр (математика)

Сноски

^ разные определения производной В целом существуют , но для конечных размеров они приводят к эквивалентным определениям классов гладких функций.
^ На самом деле, мера может иметь значения в $[0, +\infty]$ : см. расширенную строку действительных чисел .

Ссылки

Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-00288-1 .
Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их применение, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Реальная функция» . Математический мир .

[1] разные определения производной В целом существуют , но для конечных размеров они приводят к эквивалентным определениям классов гладких функций.

[2] На самом деле, мера может иметь значения в $[0, +\infty]$ : см. расширенную строку действительных чисел .

[1]

[2]