Разделение интервала
В математике разбиение представляет интервала x [ a , b ] на вещественной прямой собой конечную последовательность x 0 , x 1 , x 2 , …, n действительных чисел такую , что
- а знак равно Икс 0 < Икс 1 < Икс 2 < … < Икс п знак равно б .
Другими словами, разбиение компактного интервала I — это строго возрастающая последовательность чисел (принадлежащая самому интервалу I начальной точки I и приходящая в конечную точку I. ), начинающаяся из
интервал формы [ xi ] , xi . 1 + называется подинтервалом раздела x Каждый
Доработка раздела
[ редактировать ]Другое разбиение Q данного интервала [a, b] определяется как уточнение разбиения P , если Q содержит все точки P и, возможно, также некоторые другие точки; разбиение Q называется «более тонким», чем P . Учитывая два разбиения, P и Q , всегда можно сформировать их общее уточнение , обозначаемое P ∨ Q , которое состоит из всех точек P и Q в порядке возрастания. [1]
Норма перегородки
[ редактировать ]Норма ) (или сетка перегородки
- х 0 < х 1 < х 2 < … < х n
длина самого длинного из этих подинтервалов [2] [3]
- макс {| Икс я - Икс я -1 | : я = 1, … , n }.
Приложения
[ редактировать ]Разбиения используются в теории интеграла Римана , интеграла Римана–Стилтьеса и регулируемого интеграла . В частности, когда рассматриваются более мелкие разбиения данного интервала, их сетка приближается к нулю, а сумма Римана, основанная на данном разбиении, приближается к интегралу Римана . [4]
Разделы с тегами
[ редактировать ]Раздел с тегами [5] или Perron Partition — это разбиение заданного интервала вместе с конечной последовательностью чисел t 0 , …, t n − 1 при условии, что для каждого i ,
- Икс я ≤ т я ≤ Икс я + 1 .
Другими словами, разбиение с тегами — это разбиение вместе с выделенной точкой каждого подинтервала: его сетка определяется так же, как и для обычного разбиения. Можно определить частичный порядок в наборе всех разделов с тегами, сказав, что один раздел с тегами больше другого, если больший из них является уточнением меньшего. [ нужна ссылка ]
Предположим, что x 0 , …, x n вместе с t 0 , …, t n − 1 является разбиением с тегами [ a , b ] , и что y 0 , …, y m вместе с s 0 , …, s m − 1 — это еще один раздел с тегами [ a , b ] . Мы говорим, что y 0 , …, y m вместе с s 0 , …, s m − 1 является уточнением помеченного разбиения x 0 , …, x n вместе с t 0 , …, t n − 1, если для каждого целого числа i с 0 ≤ i ≤ n , существует целое число r ( i ) такое, что x i = y r ( i ) и такое, что t i = s j для некоторого j с r ( i ) ≤ j ≤ r ( i + 1 ) - 1 . Проще говоря, уточнение раздела с тегами берет начальный раздел и добавляет больше тегов, но не удаляет их.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Браннан, окружной прокурор (2006). Первый курс математического анализа . Издательство Кембриджского университета. п. 262. ИСБН 9781139458955 .
- ^ Хиджаб, Омар (2011). Введение в исчисление и классический анализ . Спрингер. п. 60. ИСБН 9781441994882 .
- ^ Зорич, Владимир А. (2004). Математический анализ II . Спрингер. п. 108. ИСБН 9783540406334 .
- ^ Горпаде, Судхир; Лимайе, Балмохан (2006). Курс исчисления и реального анализа . Спрингер. п. 213. ИСБН 9780387364254 .
- ^ Дадли, Ричард М.; Норваиша, Римас (2010). Конкретное функциональное исчисление . Спрингер. п. 2. ISBN 9781441969507 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока . Аспирантура по математике , 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3805-9 .