Стохастический логарифм

В стохастическом исчислении стохастический логарифм семимартингала $Y$такой, что $Y\neq 0$ и $Y_{-}\neq 0$ это семимартингал $X$ данный $$dX_{t}={\frac {dY_{t}}{Y_{t-}}},\quad X_{0}=0.$$С точки зрения непрофессионала, стохастический логарифм $Y$ измеряет совокупное процентное изменение $Y$.

Обозначения и терминология

Процесс $X$ Полученное выше обычно обозначается ${\mathcal {L}}(Y)$. Терминология стохастический логарифм возникает из-за сходства ${\mathcal {L}}(Y)$ в натуральный логарифм $\log(Y)$: Если $Y$ абсолютно непрерывен во времени и $Y\neq 0$, затем $X$ решает поэтапно дифференциальное уравнение $${\frac {dX_{t}}{dt}}={\frac {\frac {dY_{t}}{dt}}{Y_{t}}},$$чье решение $X=\log |Y|-\log |Y_{0}|$.

Общая формула и частные случаи

• Без каких-либо предположений о семимартингале $Y$ (кроме $Y\neq 0,Y_{-}\neq 0$), у человека есть $${\mathcal {L}}(Y)_{t}=\log {\Biggl |}{\frac {Y_{t}}{Y_{0}}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\frac {d[Y]_{s}^{c}}{Y_{s-}^{2}}}+\sum _{s\leq t}{\Biggl (}\log {\Biggl |}1+{\frac {\Delta Y_{s}}{Y_{s-}}}{\Biggr |}-{\frac {\Delta Y_{s}}{Y_{s-}}}{\Biggr )},\qquad t\geq 0,$$где $[Y]^{c}$ является непрерывной частью квадратичной вариации $Y$ и сумма распространяется на (счетное число) скачков $Y$ вовремя $t$.
• Если $Y$ является непрерывным, то $${\mathcal {L}}(Y)_{t}=\log {\Biggl |}{\frac {Y_{t}}{Y_{0}}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\frac {d[Y]_{s}^{c}}{Y_{s-}^{2}}},\qquad t\geq 0.$$В частности, если $Y$ является геометрическим броуновским движением, то $X$ представляет собой броуновское движение с постоянной скоростью дрейфа.
• Если $Y$ непрерывно и имеет конечную вариацию, то $${\mathcal {L}}(Y)=\log {\Biggl |}{\frac {Y}{Y_{0}}}{\Biggl |}.$$Здесь $Y$ не обязательно должны быть дифференцируемыми по времени; например, $Y$ может равняться 1 плюс функция Кантора .

Характеристики

• Стохастический логарифм — это операция, обратная стохастической экспоненте : если $\Delta X\neq -1$, затем ${\mathcal {L}}({\mathcal {E}}(X))=X-X_{0}$. И наоборот, если $Y\neq 0$ и $Y_{-}\neq 0$, затем ${\mathcal {E}}({\mathcal {L}}(Y))=Y/Y_{0}$.
• В отличие от натурального логарифма $\log(Y_{t})$, который зависит только от значения $Y$ во время $t$, стохастический логарифм ${\mathcal {L}}(Y)_{t}$ зависит не только от $Y_{t}$ но за всю историю $Y$ в интервале времени $[0,t]$. По этой причине необходимо написать ${\mathcal {L}}(Y)_{t}$ и не ${\mathcal {L}}(Y_{t})$.
• Стохастический логарифм локального мартингала, который не обращается в нуль вместе со своим левым пределом, снова является локальным мартингалом.
• Все приведенные выше формулы и свойства применимы также к стохастическому логарифму комплексного значения. $Y$.
• Стохастический логарифм можно определить и для процессов $Y$ которые поглощаются нулем после перехода к нулю. Такое определение имеет смысл до тех пор, пока впервые $Y$ достигает $0$ непрерывно.

Полезные айдентики

• Обращение формулы Йора: Если $Y^{(1)},Y^{(2)}$ не исчезают вместе со своими левыми пределами, то $${\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(1)}Y^{(2)}{\bigr )}={\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(1)}{\bigr )}+{\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(2)}{\bigr )}+{\bigl [}{\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(1)}{\bigr )},{\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(2)}{\bigr )}{\bigr ]}.$$
• Стохастический логарифм $1/{\mathcal {E}}(X)$: Если $\Delta X\neq -1$, затем $${\mathcal {L}}{\biggl (}{\frac {1}{{\mathcal {E}}(X)}}{\biggr )}_{t}=X_{0}-X_{t}-[X]_{t}^{c}+\sum _{s\leq t}{\frac {(\Delta X_{s})^{2}}{1+\Delta X_{s}}}.$$

Приложения

• Теорему Гирсанова можно перефразировать следующим образом: Пусть $Q$ быть вероятностной мерой, эквивалентной другой вероятностной мере $P$. Обозначим через $Z$ равномерно интегрируемый мартингал, замыкаемый $Z_{\infty }=dQ/dP$. Для семимартингала $U$ следующие эквивалентны:
  1. Процесс $U$ является особенным под $Q$.
  2. Процесс $U+[U,{\mathcal {L}}(Z)]$ является особенным под $P$.
• + Если любое из этих условий выполнено, то $Q$-дрейф $U$ равно $P$-дрейф $U+[U,{\mathcal {L}}(Z)]$.

См. также

• Стохастическая экспонента