исчисление Ито

Интеграл Ито Y _t ( B ) ( синий ) броуновского движения $B$ ( red ) относительно себя, т. е. и подынтегральная функция, и интегратор броуновские. Оказывается $Y t (B) = (B 2 - т)/2$ .

Исчисление Ито , названное в честь Кийоси Ито , расширяет методы исчисления на стохастические процессы, такие как броуновское движение (см. Винеровский процесс ). Он имеет важные применения в математических финансах и стохастических дифференциальных уравнениях .

Центральным понятием является стохастический интеграл Ито, стохастическое обобщение интеграла Римана – Стилтьеса в анализе. Интегранты и интеграторы теперь представляют собой случайные процессы: $Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$ где $H$ — локально интегрируемый с квадратом процесс , адаптированный к фильтрации, порождаемой $X$ ( Revuz & Yor 1999 , Глава IV), которая представляет собой броуновское движение или, в более общем смысле, семимартингал . Результатом интеграции является еще один стохастический процесс. Конкретно, интеграл от 0 до любого конкретного $t$ является случайной величиной , определяемой как предел определенной последовательности случайных величин. Траектории броуновского движения не удовлетворяют требованиям применения стандартных методов исчисления. Таким образом, поскольку подынтегральное выражение является случайным процессом, стохастический интеграл Ито представляет собой интеграл по функции, которая не дифференцируема ни в одной точке и имеет бесконечное изменение на каждом интервале времени. Основная идея заключается в том, что интеграл может быть определен до тех пор, пока подынтегральная функция $,$ что H адаптирована , грубо говоря, означает, что его значение в момент времени $t$ может зависеть только от информации, доступной до этого момента. Грубо говоря, выбирают последовательность разбиений интервала от 0 до $t$ и строит суммы Римана . Каждый раз, когда мы вычисляем сумму Римана, мы используем конкретную реализацию интегратора. Очень важно, какая точка в каждом из небольших интервалов используется для вычисления значения функции. Тогда предел берется по вероятности, поскольку сетка разбиения стремится к нулю. Необходимо учесть множество технических деталей, чтобы показать, что этот предел существует и не зависит от конкретной последовательности разделов. Обычно используется левый конец интервала.

Важные результаты исчисления Ито включают формулу интегрирования по частям и лемму Ито , которая представляет собой формулу замены переменных . Они отличаются от формул стандартного исчисления из-за членов квадратичной вариации .

В математических финансах описанная стратегия оценки интеграла концептуализируется так, что мы сначала решаем, что делать, а затем наблюдаем за изменением цен. Подынтегральная функция показывает, сколько акций мы держим, интегратор представляет движение цен, а интеграл показывает, сколько у нас всего денег, включая стоимость наших акций в любой момент времени. Цены на акции и другие торгуемые финансовые активы можно моделировать с помощью стохастических процессов, таких как броуновское движение или, чаще, геометрическое броуновское движение (см. Блэка-Шоулза ). Тогда стохастический интеграл Ито представляет собой выигрыш от торговой стратегии непрерывного времени, состоящей из удержания количества H _t акций в момент t . В этой ситуации условие $адаптации H$ соответствует необходимому ограничению, согласно которому торговая стратегия может использовать только имеющуюся информацию в любое время. Это предотвращает возможность неограниченной прибыли посредством ясновидения : покупка акций непосредственно перед каждым подъемом рынка и продажа перед каждым спадом. Аналогично, условие, что $H$ Адаптация означает, что стохастический интеграл не будет расходиться при расчете как предел сумм Римана ( Revuz & Yor 1999 , Глава IV).

Обозначения

Процесс $Y,$ определенный ранее как $Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$ сам по себе является случайным процессом с временным параметром t , который также иногда записывается как $Y = H \cdot X$ ( Rogers & Williams 2000 ). В качестве альтернативы интеграл часто записывается в дифференциальной форме $= H dX,$ что эквивалентно $Y - Y 0 = H \cdot X.$ dY Поскольку исчисление Ито связано со случайными процессами, происходящими с непрерывным временем, предполагается, что базовое фильтрованное вероятностное пространство. задано $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).$ σ -алгебра ${\mathcal {F}}_{t}$ представляет информацию, доступную до момента времени $t$ , и процесс $X$ адаптируется, $X t$ если ${\mathcal {F}}_{t}$ -измеримый. Под броуновским движением $B$ понимается ${\mathcal {F}}_{t}$ -Брауновское движение, которое представляет собой стандартное броуновское движение со свойствами, которыми $B t.$ обладает ${\mathcal {F}}_{t}$ -измерима и что $B t + s - B t$ не зависит от ${\mathcal {F}}_{t}$ для всех $t s \geq 0$ ( Ревуз и Йор 1999 ).

Интегрирование по броуновскому движению.

Интеграл Ито можно определить аналогично интегралу Римана – Стилтьеса , то есть как предел вероятности сумм Римана ; такой предел не обязательно существует по пути. Предположим, что $B$ — винеровский процесс (броуновское движение), а $H$ — непрерывный справа ( càdlàg ), адаптированный и локально ограниченный процесс. Если $\{\pi _{n}\}$ собой последовательность разбиений [ представляет $0, t]$ с шириной сетки, стремящейся к нулю, то интеграл Ито от $H$ по $B$ до момента времени $t$ является случайной величиной $\int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).$

Можно показать, что этот предел сходится по вероятности .

Для некоторых приложений, таких как теоремы о мартингальном представлении и локальное время , интеграл необходим для процессов, которые не являются непрерывными. Предсказуемые процессы образуют наименьший класс, замкнутый относительно пределов последовательностей и содержащий все адаптированные непрерывные слева процессы. Если $H$ — любой предсказуемый процесс такой, что $\int 0 т ЧАС 2 ds < \infty$ для любого $t \geq 0$ интеграл от $H$ по $B$ , то можно определить $, и H$ называется $B$ -интегрируемой. Любой такой процесс можно аппроксимировать последовательностью H _n непрерывных слева, адаптированных и локально ограниченных процессов в том смысле, что $\int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0$ в вероятности. Тогда интеграл Ито равен $\int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB$ где, опять же, можно показать, что предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл удовлетворяет изометрии Ито. $\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]$ что справедливо, когда $H$ ограничено или, в более общем смысле, когда интеграл в правой части конечен.

Ито-процессы

Единственная реализация процесса Ито с $µ = 0$ и $σ = ψ (t -5)$ , где $ψ$ — вейвлет Рикера . Вне волны вейвлета движение процесса Ито стабильно.

Процесс Ито определяется как адаптированный случайный процесс, который может быть выражен как сумма интеграла по броуновскому движению и интеграла по времени: $X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.$

Здесь $B$ — броуновское движение, и требуется, чтобы σ был предсказуемым $B$ -интегрируемым процессом, а µ был предсказуемым и ( по Лебегу ) интегрируемым. То есть, $\int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty$ за каждое $т$ . Стохастический интеграл можно распространить на такие процессы Ито: $\int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.$

Это определено для всех локально ограниченных и предсказуемых подынтегральных выражений. В более общем смысле требуется, чтобы $Hσ$ была $B$ -интегрируемой, а $Hμ$ интегрируемой по Лебегу, так что $\int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .$ Такие предсказуемые процессы $H$ называются $X$ -интегрируемыми.

Важным результатом для изучения процессов Ито является лемма Ито . В своей простейшей форме для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции $f$ на действительных числах и процесса Ито $X,$ как описано выше, утверждается, что $f (X)$ сама по себе является процессом Ито, удовлетворяющим $df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt.$

Это стохастическая версия формулы замены переменных и цепного правила . Он отличается от стандартного результата из-за дополнительного члена, включающего вторую производную от $f$ , который возникает из-за того, что броуновское движение имеет ненулевую квадратичную вариацию .

Семимартингалы как интеграторы

Интеграл Ито определяется относительно семимартингала $X$ . Это процессы, которые можно разложить на $= M + A для$ локального мартингала $M$ и конечной вариации процесса $A.$ X Важными примерами таких процессов являются броуновское движение , которое является мартингалом , и процессы Леви . Для непрерывного слева, локально ограниченного и адаптированного процесса $H$ интеграл $H \cdot X$ существует и может быть вычислен как предел сумм Римана. Пусть $π n$ — последовательность разбиений [ с сеткой , $0, t]$ стремящейся к нулю, $\int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).$

Этот предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл непрерывных слева процессов достаточно общий для изучения большей части стохастического исчисления. Например, этого достаточно для применения леммы Ито, замены меры посредством теоремы Гирсанова и для изучения стохастических дифференциальных уравнений . Однако этого недостаточно для других важных тем, таких как теоремы о мартингальном представлении и местное время .

Интеграл уникальным образом распространяется на все предсказуемые и локально ограниченные подынтегральные выражения, так что выполняется теорема о доминируемой сходимости . То есть, если $H n \to H$ и $| Ч н | \leq J$ для локально ограниченного процесса $J$ , то $\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,$ в вероятности. Единственность расширения от непрерывных слева до предсказуемых подынтегральных выражений является результатом леммы о монотонном классе .

В общем случае стохастический интеграл $H \cdot X$ можно определить даже в тех случаях, когда прогнозируемый процесс $H$ не является локально ограниченным. Если $K = 1/(1 + | H |),$ то $K$ и $KH$ ограничены. Ассоциативность стохастического интегрирования означает, что $H$ X $-$ интегрируема с интегралом $H \cdot X = Y$ тогда и только тогда, когда $Y 0 = 0$ и $K \cdot Y = (KH) \cdot X$ . Множество $X$ -интегрируемых процессов обозначается $L (X)$ .

Характеристики

Следующие свойства можно найти в таких работах, как ( Revuz & Yor 1999 ) и ( Rogers & Williams 2000 ):

Стохастический интеграл — это процесс обработки данных . Кроме того, это семимартингал .
Разрывы стохастического интеграла задаются скачками интегратора, умноженного на подынтегральную функцию. Скачок процесса càdlàg в момент времени $t$ равен $X t - X t-$ и часто обозначается $Δ X t$ . В этих обозначениях $Δ(H \cdot X) = H Δ X$ . Частным следствием этого является то, что интегралы по непрерывному процессу сами по себе всегда непрерывны.
Ассоциативность . Пусть $J$ , $K$ — предсказуемые процессы, а $K$ — $X$ -интегрируемый. Тогда $J$ является $K \cdot X$ интегрируемым тогда и только тогда, когда $JK$ -интегрируем $X$ , и в этом случае $J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X$
Преобладает конвергенция . Предположим, что $H n \to H$ и $| Ч н | \leq J$ , где $J$ — $X$ -интегрируемый процесс. тогда $ЧАС \cdot Икс \to ЧАС \cdot Икс$ . Сходимость находится по вероятности в каждый момент времени $t$ . Фактически, он сходится равномерно на компактах по вероятности.
Стохастический интеграл коммутирует с операцией взятия квадратичных ковариаций. Если $X$ и $Y$ — семимартингалы, то любой $X$ -интегрируемый процесс также будет $[X, Y]$ -интегрируемым, и $[H \cdot X, Y] = H \cdot [X, Y]$ . Следствием этого является то, что процесс квадратичного изменения стохастического интеграла равен интегралу процесса квадратичного изменения: $[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]$

Интеграция по частям

Как и в обычном исчислении, интегрирование по частям является важным результатом стохастического исчисления. Формула интегрирования по частям для интеграла Ито отличается от стандартного результата из-за включения квадратичного ковариационного члена. Этот термин возник из-за того, что исчисление Ито имеет дело с процессами с ненулевой квадратичной вариацией, которая возникает только для процессов с бесконечной вариацией (таких как броуновское движение). Если $X$ и $Y$ — семимартингалы, то $X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}$ где $[X, Y]$ — процесс квадратичной ковариации.

Результат аналогичен теореме об интегрировании по частям для интеграла Римана – Стилтьеса, но имеет дополнительный член квадратичной вариации .

Лемма Ито

Лемма Ито - это версия цепного правила или формулы замены переменных , которая применяется к интегралу Ито. Это одна из самых мощных и часто используемых теорем стохастического исчисления. Для непрерывного $n$ -мерного семимартингала $X = (X 1,..., Х н)$ и дважды непрерывно дифференцируемая функция $f$ из $R н$ в $R$ , он утверждает, что $f (X)$ является семимартингалом и, $df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.$ Это отличается от цепного правила, используемого в стандартном исчислении, из-за члена, включающего квадратичную ковариацию $[X я, Х дж]$ . Формулу можно обобщить, включив в нее явную зависимость от времени. $f,$ и другими способами (см. лемму Ито ).

Мартингейл-интеграторы

Локальные мартингалы

Важным свойством интеграла Ито является то, что он сохраняет свойство локального мартингала . Если $M$ — локальный мартингал и $H$ — локально ограниченный предсказуемый процесс, то $H \cdot M$ также является локальным мартингалом. Для подынтегральных выражений, которые не являются локально ограниченными, существуют примеры, когда $H \cdot M$ не является локальным мартингалом. Однако это может произойти только тогда, когда $M$ не является непрерывным. Если $M$ — непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс $H$ M $-$ интегрируем тогда и только тогда, когда $\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty ,$ для каждого $t$ и $H \cdot M$ всегда является локальным мартингалом.

Наиболее общее утверждение для разрывного локального мартингала $M$ состоит в том, что если $(H 2 \cdot [М]) 1/2$ то локально интегрируемо, H $\cdot M существует$ и является локальным мартингалом.

Квадратные интегрируемые мартингалы

Для ограниченных подынтегральных выражений стохастический интеграл Ито сохраняет пространство квадратных интегрируемых множество мартингалов, которое представляет собой мартингалов $M$ таких, что $E[M t 2]$ конечно для всех $t$ . Для любого такого квадратично интегрируемого мартингала $M$ процесс квадратичных вариаций $[M]$ интегрируем, и изометрия Ито утверждает, что $\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].$ В более общем смысле это равенство справедливо для любого мартингала $M$ такого, что $H 2 \cdot [M] t$ интегрируемо. Изометрия Ито часто используется как важный шаг в построении стохастического интеграла, определяя $H \cdot M$ как уникальное расширение этой изометрии от определенного класса простых подынтегральных выражений ко всем ограниченным и предсказуемым процессам.

p -Интегрируемые мартингалы

Для любого $p > 1$ и ограниченного предсказуемого подынтегрального выражения стохастический интеграл сохраняет пространство $p$ -интегрируемых мартингалов. Это такие мартингалы, что $E(| M t | п)$ конечно для всех $t$ . Однако это не всегда верно в случае, когда $p = 1$ . Существуют примеры интегралов от ограниченных предсказуемых процессов относительно мартингалов, которые сами мартингалами не являются.

Максимальный процесс процесса Càdlàg $M$ записывается как $M* t = sup s \leq t | М с |$ . Для любого $p \geq 1$ и ограниченного предсказуемого подынтегрального выражения стохастический интеграл сохраняет пространство мартингалов $M$ таких, что $E[(M* t) п]$ конечно для всех $t$ . Если $p > 1,$ то это то же самое, что и пространство $p$ -интегрируемых мартингалов согласно неравенствам Дуба .

Неравенства Буркхолдера -Дэвиса-Ганди утверждают, что для любого заданного $p \geq 1$ существуют положительные константы $c$ , $C$ , которые зависят от $p$ , но не от $M$ или от $t,$ такие, что $c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]$ для всех càdlàg локальных мартингалов $M$ . Они используются, чтобы показать, что если $(M* t) п$ интегрируема и $H$ — ограниченный предсказуемый процесс, то $\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty$ и, следовательно, $H \cdot M$ — $p$ -интегрируемый мартингал. В более общем смысле это утверждение верно всякий раз, когда $(H 2 \cdot [М]) п /2$ является интегрируемым.

Существование интеграла

Доказательство того, что интеграл Ито правильно определен, обычно начинается с рассмотрения очень простых подынтегральных выражений, таких как кусочно-постоянные, непрерывные слева и адаптированные процессы, в которых интеграл можно записать явно. Такие простые предсказуемые процессы представляют собой линейные комбинации членов вида $H t = A 1 {t > T}$ для моментов остановки $T$ и $F T$ -измеримых случайных величин $A$ , для которых интеграл равен $H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).$ Это распространяется на все простые предсказуемые процессы благодаря линейности $H \cdot X$ в $H$ .

Для броуновского движения $B$ свойство того, что оно имеет независимые приращения с нулевым средним значением и дисперсией $Var(B t) = t,$ может быть использовано для доказательства изометрии Ито для простых предсказуемых подынтегральных выражений: $\mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].$ Благодаря непрерывному линейному расширению интеграл однозначно распространяется на все предсказуемые подынтегральные выражения, удовлетворяющие $\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,$ таким образом, что изометрия Ито все еще сохраняется. Затем его можно распространить на все $B$ -интегрируемые процессы путем локализации . Этот метод позволяет определить интеграл относительно любого процесса Ито.

Для общего семимартингала $X$ разложение $X = M + A$ в локальный мартингал $M$ плюс процесс конечной вариации $A.$ можно использовать Затем можно показать, что интеграл существует отдельно по отношению к $M$ и $A$ и объединен с использованием линейности $H \cdot X = H \cdot M + H \cdot A$ , чтобы получить интеграл по X . Стандартный интеграл Лебега – Стилтьеса позволяет определить интегрирование относительно процессов конечной вариации, поэтому существование интеграла Ито для семимартингалов будет следовать из любой конструкции для локальных мартингалов.

Для интегрируемого с квадратом мартингала $M$ можно использовать обобщенную форму изометрии Ито. Во-первых, теорема о разложении Дуба – Мейера используется, чтобы показать, что разложение $M 2 = N + ⟨ M ⟩$ существует, где $N$ — мартингал, а $⟨ M ⟩$ — непрерывный справа возрастающий и предсказуемый процесс, начинающийся с нуля. Это однозначно определяет $⟨ M ⟩$ называется вариацией M. $предсказуемой квадратичной$ , которое Тогда изометрия Ито для квадратно интегрируемых мартингалов будет равна $\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],$ что можно доказать непосредственно для простых предсказуемых подынтегральных выражений. Как и в случае с броуновским движением, описанным выше, непрерывное линейное расширение можно использовать для однозначного расширения на все предсказуемые подынтегральные выражения, удовлетворяющие $E [H 2 \cdot ⟨ M ⟩ т] < \infty$ . Этот метод можно распространить на все локальные квадратно интегрируемые мартингалы путем локализации. Наконец, разложение Дуба – Мейера можно использовать для разложения любого локального мартингала на сумму локального интегрируемого с квадратом мартингала и конечного вариационного процесса, что позволяет построить интеграл Ито по отношению к любому семимартингалу.

Существует множество других доказательств, в которых применяются аналогичные методы, но которые избегают необходимости использовать теорему о разложении Дуба – Мейера, например, использование квадратичной вариации [ M ] в изометрии Ито, использование меры Долеана для субмартингалов или использование неравенств Буркхолдера –Дэвиса–Ганди вместо изометрии Ито. Последнее применимо непосредственно к локальным мартингалам без необходимости сначала иметь дело со случаем квадратно интегрируемого мартингала.

Альтернативные доказательства существуют только на основе того факта, что $X$ является càdlàg, адаптированным и множество { H · X _t : | Ч | ≤ 1 является простым предвидимым} ограничено по вероятности для каждого времени $t$ , что является альтернативным определением того, что $X$ является семимартингалом. Непрерывное линейное расширение можно использовать для построения интеграла для всех непрерывных слева и адаптированных подынтегральных выражений с правыми пределами всюду (каглад или L-процессы). Это достаточно общий подход, чтобы можно было применять такие методы, как лемма Ито ( Protter 2004 ). Кроме того, неравенство Хинчина можно использовать для доказательства теоремы о доминируемой сходимости и расширения интеграла до общих предсказуемых подынтегральных выражений ( Bichteler 2002 ).

Дифференцирование в исчислении Ито

Исчисление Ито в первую очередь определяется как интегральное исчисление, как описано выше. Однако существуют и другие понятия «производной» по отношению к броуновскому движению:

Производная Маллявена

Исчисление Маллявена обеспечивает теорию дифференцирования случайных величин, определенных в пространстве Винера , включая формулу интегрирования по частям ( Nualart 2006 ).

Представление Мартингейла

Следующий результат позволяет выразить мартингалы как интегралы Ито: если $M$ — мартингал, интегрируемый с квадратом на интервале времени $[0, T]$ относительно фильтрации, порождаемой броуновским движением $B$ , то существует единственный адаптированный процесс, интегрируемый с квадратом $\alpha$ на $[0, T]$ такой, что $M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}\alpha _{s}\,\mathrm {d} B_{s}$ почти наверняка и для всех $t \in [0, T]$ ( Rogers & Williams 2000 , теорема 36.5). Эту теорему о представлении можно формально интерпретировать как утверждение, что α является «производной по времени» $M$ относительно броуновского движения $B$ , поскольку α — это именно тот процесс, который необходимо проинтегрировать до момента времени $t,$ чтобы получить $M t - M 0$ , как в детерминистическое исчисление.

Исчисление Ито для физиков

В физике обычно используются стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), такие как уравнения Ланжевена , а не стохастические интегралы. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение Ито (СДУ) часто формулируется через ${\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},$ где $\xi _{j}$ представляет собой гауссовский белый шум с $\langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})$ и соглашение Эйнштейна о суммировании используется .

Если $y=y(x_{k})$ является функцией $x k$ , то лемму Ито необходимо использовать : ${\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.$

СДУ Ито, описанное выше, также соответствует СДУ Стратоновича, которое гласит: ${\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.$

СДУ часто встречаются в физике в форме Стратоновича как пределы стохастических дифференциальных уравнений, управляемых цветным шумом , если время корреляции шумового члена приближается к нулю.Недавнюю трактовку различных интерпретаций стохастических дифференциальных уравнений см., например ( Lau & Lubensky 2007 ).

См. также

Ссылки

Бичтелер, Клаус (2002), Стохастическая интеграция со скачками (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81129-5
Коэн, Сэмюэл; Эллиотт, Роберт (2015), Стохастическое исчисление и приложения (2-е изд.), Биркхойзер , ISBN 978-1-4939-2867-5
Хаген Кляйнерт (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, World Scientific (Сингапур); Мягкая обложка ISBN 981-238-107-4 . Пятое издание доступно в Интернете: PDF-файлы с обобщениями леммы Ито для негауссовских процессов.
Он, Шэн-у; Ван, Цзя-ган; Ян, Цзя-ан (1992), Теория семимартингала и стохастическое исчисление , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 978-0849377150
Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-97655-8
Лау, Энди; Лубенский, Том (2007), «Диффузия, зависящая от состояния», Phys. Rev. E , 76 (1): 011123, arXiv : 0707.2234 , Bibcode : 2007PhRvE..76a1123L , doi : 10.1103/PhysRevE.76.011123 , PMID 17677426
Нуаларт, Дэвид (2006), Исчисление Маллявена и связанные с ним темы , Springer, ISBN 3-540-28328-5
Оксендал, Бернт К. (2003), Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями , Берлин: Springer, ISBN 3-540-04758-1
Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1999), Непрерывные мартингалы и броуновское движение , Берлин: Springer, ISBN 3-540-57622-3
Роджерс, Крис; Уильямс, Дэвид (2000), Диффузия, марковские процессы и мартингалы - Том 2: исчисление Ито , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-77593-0
Математическое финансовое программирование в TI-Basic, которое реализует исчисление Ито для TI-калькуляторов.

v т и Интегралы
Типы интегралы	Интеграл Римана Интеграл Лебега Интеграл Беркилла Интеграл Бохнера Интеграл Даниэля Интеграл Дарбу Интеграл Хенстока – Курцвейла Его интеграл Интеграл Хеллингера Интеграл Хинчина Kolmogorov integral Интеграл Лебега – Стилтьеса Интеграл Петтиса Интеграл Пфеффера Интеграл Римана – Стилтьеса Регулируемый интеграл
Интеграция методы	Замена Тригонометрический Эйлер Вейерштрасс По частям Частные дроби Формула Эйлера Обратные функции Изменение порядка Формулы приведения Параметрические производные Дифференцирование под знаком интеграла Преобразование Лапласа Контурная интеграция метод Лапласа Численное интегрирование Правило Симпсона Правило трапеции Алгоритм Риша
Несобственные интегралы	Гауссов интеграл Интеграл Дирихле Интеграл Ферми – Дирака полный неполный Интеграл Бозе – Эйнштейна Блендеры для цельнозерновой муки Общие интегралы в квантовой теории поля
Стохастические интегралы	Ито интеграл Интеграл Руссо – Валлуа Интеграл Стратоновича Skorokhod integral
Разнообразный	Базельская проблема Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Интеграционная пчела Доказательство того, что 22/7 превышает π Объемы Шайбы Ракушки

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Диффузия Ито Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Тропы Кадлага Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля–единицы ( Блюменталь , Борель–Кантелли , Энгельберт–Шмидт , Хьюитт–Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Ито интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теорема о представлении Скорохода Скороход пространство Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория