Euler–Lotka equation

При изучении возрастного роста населения, вероятно, одним из наиболее важных уравнений является уравнение Эйлера-Лотки . Основываясь на демографическом возрасте женщин в популяции и рождаемости девочек (поскольку во многих случаях именно женщины более ограничены в способности к воспроизводству), это уравнение позволяет оценить, как растет популяция.

Область математической демографии была в значительной степени развита Альфредом Дж. Лоткой в ​​начале 20-го века, основываясь на более ранних работах Леонарда Эйлера . Уравнению Эйлера-Лотки, полученному и обсуждаемому ниже, часто приписывают одно из его источников: Эйлеру, который вывел специальную форму в 1760 году, или Лотке, который вывел более общую непрерывную версию. Уравнение в дискретном времени имеет вид

$1=\sum _{a=1}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)$

где $\lambda$ — дискретная скорость роста, ℓ ( a ) — доля особей, доживших до возраста a, и b ( a ) — количество потомков, рожденных у особи возраста a за определенный временной интервал. Сумма берется за всю продолжительность жизни организма.

Выводы

Lotka's continuous model

А. Я. Лотка в 1911 г. разработал непрерывную модель динамики населения следующим образом. Эта модель отслеживает только женщин в популяции.

Пусть B ( t ) dt — число рождений за интервал времени от t до t+dt . Также определите функцию выживания ℓ ( a ), долю особей, доживающих до возраста a . Наконец, определите b ( a ) как коэффициент рождаемости для матерей возраста a . Таким образом, произведение B ( ta ) ℓ ( a ) обозначает плотность числа людей, родившихся в момент ta и еще живых в момент t , а B ( ta ) ℓ ( a ) b ( a ) обозначает количество рождений в этой когорте, что предполагает следующее интегральное уравнение Вольтерра для B :

$B(t)=\int _{0}^{t}B(t-a)\ell (a)b(a)\,da.$

Мы интегрируем все возможные возрасты, чтобы найти общий уровень рождаемости в момент времени t . Фактически мы находим вклад всех людей в возрасте до t . Нам не нужно учитывать людей, родившихся до начала этого анализа, поскольку мы можем просто установить достаточно низкую базовую точку, чтобы включить их всех.

Тогда угадаем экспоненциальное решение вида B ( t ) = Qe ^рт . Подстановка этого в интегральное уравнение дает:

$Qe^{rt}=\int _{0}^{t}Qe^{r(t-a)}\ell (a)b(a)\,da$

или

$1=\int _{0}^{t}e^{-ra}\ell (a)b(a)\,da.$

Это можно переписать в дискретном случае, превратив интеграл в сумму, дающую

$1=\sum _{a=\alpha }^{\beta }e^{-ra}\ell (a)b(a)$

сдача в аренду $\alpha$ и $\beta$ быть граничными возрастами для воспроизводства или определения дискретной скорости роста λ = e ^р мы получаем уравнение дискретного времени, полученное выше:

$1=\sum _{a=1}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)$

где $\omega$ — максимальный возраст, мы можем продлить этот возраст, поскольку b ( a ) исчезает за пределами границ.

Из матрицы Лесли

Запишем матрицу Лесли так:

${\begin{bmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&\ldots &f_{\omega -1}\\s_{0}&0&0&0&\ldots &0\\0&s_{1}&0&0&\ldots &0\\0&0&s_{2}&0&\ldots &0\\0&0&0&\ddots &\ldots &0\\0&0&0&\ldots &s_{\omega -2}&0\end{bmatrix}}$

где $s_{i}$ и $f_{i}$ являются дожитие до следующего возрастного класса и плодовитость на душу населения соответственно. Обратите внимание, что $s_{i}=\ell _{i+1}/\ell _{i}$ где ℓ   _i - вероятность дожить до возраста $i$, и $f_{i}=s_{i}b_{i+1}$, число рождений в возрасте $i+1$ взвешенный по вероятности дожить до возраста $i+1$.

Теперь, если у нас есть стабильный рост, рост системы является собственным значением матрицы , поскольку $\mathbf {n_{i+1}} =\mathbf {Ln_{i}} =\lambda \mathbf {n_{i}}$. Следовательно, мы можем использовать эту связь построчно для получения выражений для $n_{i}$ с точки зрения значений в матрице и $\lambda$.

Знакомство с обозначениями $n_{i,t}$ население в возрастной категории $i$ во время $t$, у нас есть $n_{1,t+1}=\lambda n_{1,t}$. Однако также $n_{1,t+1}=s_{0}n_{0,t}$. Это подразумевает, что

$n_{1,t}={\frac {s_{0}}{\lambda }}n_{0,t}.\,$

Тем же аргументом мы находим, что

$n_{2,t}={\frac {s_{1}}{\lambda }}n_{1,t}={\frac {s_{0}s_{1}}{\lambda ^{2}}}n_{0,t}.$

Продолжая индуктивно, мы заключаем, что вообще

$n_{i,t}={\frac {s_{0}\cdots s_{i-1}}{\lambda ^{i}}}n_{0,t}.$

Учитывая верхнюю строку, получаем

$n_{0,t+1}=f_{0}n_{0,t}+\cdots +f_{\omega -1}n_{\omega -1,t}=\lambda n_{0,t}.$

Теперь мы можем заменить нашу предыдущую работу на $n_{i,t}$ условиях и получите:

$\lambda n_{0,t}=\left(f_{0}+f_{1}{\frac {s_{0}}{\lambda }}+\cdots +f_{\omega -1}{\frac {s_{0}\cdots s_{\omega -2}}{\lambda ^{\omega -1}}}\right)n_{(0,t)}.$

Сначала подставим определение рождаемости на душу населения и разделим на левую часть:

$1={\frac {s_{0}b_{1}}{\lambda }}+{\frac {s_{0}s_{1}b_{2}}{\lambda ^{2}}}+\cdots +{\frac {s_{0}\cdots s_{\omega -1}b_{\omega }}{\lambda ^{\omega }}}.$

Теперь отметим следующее упрощение. С $s_{i}=\ell _{i+1}/\ell _{i}$ мы отмечаем, что

$s_{0}\ldots s_{i}={\frac {\ell _{1}}{\ell _{0}}}{\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\cdots {\frac {\ell _{i+1}}{\ell _{i}}}=\ell _{i+1}.$

Эта сумма схлопывается до:

$\sum _{i=1}^{\omega }{\frac {\ell _{i}b_{i}}{\lambda ^{i}}}=1,$

что является желаемым результатом.

Анализ выражения

Из приведенного выше анализа мы видим, что уравнение Эйлера-Лотки на самом деле является характеристическим полиномом матрицы Лесли. Мы можем проанализировать ее решения, чтобы найти информацию о собственных значениях матрицы Лесли (что имеет значение для стабильности популяций).

Рассматривая непрерывное выражение f как функцию от r , мы можем изучить его корни. Мы замечаем, что при отрицательной бесконечности функция возрастает до положительной бесконечности, а при положительной бесконечности функция приближается к 0.

Первая производная, очевидно, равна — af , а вторая производная — a. ² ф . Затем эта функция убывает, вогнута вверх и принимает все положительные значения. Он также непрерывен по построению, поэтому по теореме о промежуточном значении он пересекает r = 1 ровно один раз. Следовательно, существует ровно одно действительное решение, которое, следовательно, является доминирующим собственным значением матрицы равновесной скорости роста.

Тот же вывод применим и к дискретному случаю.

Связь с коэффициентом воспроизводства населения

Если мы допустим λ = 1, дискретная формула становится коэффициентом воспроизводства населения.

Дальнейшее чтение

• Коул, Ансли Дж. (1972). Рост и структура человеческой популяции . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 61–70. ISBN  0-691-09357-1 .
• Хоппенстедт, Франк (1975). Математические теории популяций: демография, генетика и эпидемии . Филадельфия: СИАМ. стр. 1–5. ISBN  0-89871-017-0 .
• Кот, М. (2001). «Интегральное уравнение Лотки» . Элементы математической экологии . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 353–64. ISBN  0-521-80213-Х .
• Поллард, Дж. Х. (1973). «Детерминистические популяционные модели Т. Мальтуса, А. Дж. Лотки, Ф. Р. Шарпа и А. Дж. Лотки». Математические модели роста человеческой популяции . Издательство Кембриджского университета. стр. 22–36. ISBN  0-521-20111-Х .