Матричное поле

В абстрактной алгебре матричное поле — это поле , элементами которого являются матрицы . В теории поля есть два типа полей: конечные поля и бесконечные поля. Есть несколько примеров матричных полей различной характеристики и мощности .

существует конечное матричное поле мощности p Для каждого простого числа p . можно найти несколько конечных матричных полей характеристики p Для любого заданного простого числа p . В общем случае каждому конечному полю соответствует матричное поле. Поскольку любые два конечных поля одинаковой мощности изоморфны , элементы конечного поля можно представить матрицами.

В отличие от общего случая умножения матриц , умножение коммутативно в матричном поле (если используются обычные операции). Поскольку сложение и умножение матриц обладают всеми необходимыми свойствами для полевых операций, за исключением коммутативности умножения и существования мультипликативных обратных , один из способов проверить, является ли набор матриц полем с обычными операциями суммирования и умножения матриц, состоит в том, чтобы проверить, является ли набор матриц полем с обычными операциями суммирования и умножения матриц.

1. множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения;
2. нейтральный элемент для сложения матриц (то есть нулевая матрица ) включен;
3. умножение коммутативно;
4. набор содержит мультипликативную единицу (обратите внимание, что это не обязательно должна быть единичная матрица ); и
5. каждая матрица, которая не является нулевой, имеет мультипликативную обратную .

Примеры

1. Возьмем набор всех матриц размера n × n вида

${\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

с $a\in \mathbb {R}$ – то есть матрицы, заполненные нулями, за исключением первой строки, которая заполнена той же действительной константой $a$.Эти матрицы коммутативны для умножения:

${\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b&b&\cdots &b\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ab&ab&\cdots &ab\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b&b&\cdots &b\\0&0&&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$.

Мультипликативное тождество ${\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$.

Мультипликативная обратная матрица ${\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$ с $a\neq 0$ дается ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{a}}&{\frac {1}{a}}&\cdots &{\frac {1}{a}}\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

Легко видеть, что это матричное поле изоморфно полю действительных чисел при отображении $a\mapsto {\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$.

2. Набор матриц вида

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},$

где $a$ и $b$ диапазон по полю действительных чисел,образует матричное поле, изоморфное полю $\mathbb {C}$ комплексных чисел : $a$ соответствует действительной части числа, а $b$ соответствует мнимой части . Итак, число $2+3i$, например, будет представлено как

${\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}}.$

В этом можно легко убедиться $i^{2}=-1$:

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{\!2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},$

а также, вычисляя матричную экспоненту , тождество Эйлера, $e^{i\pi }=-1$ действителен:

$e^{{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\pi &0\\0&\pi \end{pmatrix}}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

См. также

• Теория поля
• Конечное поле
• Алгебраическая структура
• Теория Галуа
• Матричное кольцо
• Матричная группа