Солитон Риччи

В дифференциальной геометрии полное риманово многообразие $(M,g)$ называется солитоном Риччи тогда и только тогда, когда существует гладкое векторное поле $V$ такой, что

$\operatorname {Ric} (g)=\lambda \,g-{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{V}g,$

для некоторой константы $\lambda \in \mathbb {R}$. Здесь $\operatorname {Ric}$ – тензор кривизны Риччи и ${\mathcal {L}}$ представляет производную Ли . Если существует функция $f:M\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что $V=\nabla f$ мы звоним $(M,g)$ градиентный солитон Риччи , и уравнение солитона принимает вид

$\operatorname {Ric} (g)+\nabla ^{2}f=\lambda \,g.$

Обратите внимание, что когда $V=0$ или $f=0$ приведенные выше уравнения сводятся к уравнению Эйнштейна. По этой причине солитоны Риччи являются обобщением многообразий Эйнштейна .

Автомодельные решения потока Риччи

Солитон Риччи $(M,g_{0})$ дает автомодельное решение потока Риччи уравнения

$\partial _{t}g_{t}=-2\operatorname {Ric} (g_{t}).$

В частности, позволяя

$\sigma (t):=1-2\lambda t$

и интегрирование зависящего от времени векторного поля $X(t):={\frac {1}{\sigma (t)}}V$ чтобы дать семейство диффеоморфизмов $\Psi _{t}$, с $\Psi _{0}$ тождество, дает решение потока Риччи $(M,g_{t})$ взяв

$g_{t}=\sigma (t)\Psi _{t}^{\ast }(g_{0}).$

В этом выражении $\Psi _{t}^{\ast }(g_{0})$ относится к откату метрики $g_{0}$ по диффеоморфизму $\Psi _{t}$. Поэтому с точностью до диффеоморфизма и в зависимости от знака $\lambda$, солитон Риччи гомотетически сжимается, остается постоянным или расширяется под действием потока Риччи.

Примеры солитонов Риччи

Сокращение ( $\lambda >0$)

• Гауссов сжимающийся солитон $(\mathbb {R} ^{n},g_{eucl},f(x)={\frac {\lambda }{2}}|x|^{2})$
• Сжимающаяся круглая сфера $S^{n},n\geq 2$
• Усадочный круглый цилиндр $S^{n-1}\times \mathbb {R} ,n\geq 3$
• Четырехмерная термоусадочная машина FIK
• Четырехмерный BCCD-сжиматель
• Компактные градиентные термоусадочные устройства Kahler-Ricci
• Многообразия Эйнштейна положительной скалярной кривизны

Устойчивый ( $\lambda =0$)

• 2-й сигарный солитон (он же черная дыра Виттена) $\left(\mathbb {R} ^{2},g={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}},V=-2(x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}})\right)$
• Трехмерный вращательно-симметричный солитон Брайанта и его обобщение на более высокие измерения
• Плоские коллекторы Риччи

Расширение ( $\lambda <0$)

• Разложение солитонов Калера-Риччи на комплексных линейных расслоениях $O(-k),k>n$ над $\mathbb {C} P^{n},n\geq 1$.
• Многообразия Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны

Модели сингулярности в потоке Риччи

Сжимающиеся и устойчивые солитоны Риччи являются фундаментальными объектами изучения потока Риччи , поскольку они появляются как пределы обострения особенностей . В частности, известно, что все особенности типа I моделируются неколлапсирующими градиентными сжимающими солитонами Риччи. Ожидается, что сингулярности типа II в целом будут моделироваться на основе устойчивых солитонов Риччи, однако на сегодняшний день это не доказано, хотя все известные примеры доказаны.

Ссылки

• Цао, Хуай-Донг (2010). «Недавний прогресс в области солитонов Риччи». arXiv : 0908.2006 [ math.DG ].
• Топпинг, Питер (2006), Лекции о потоке Риччи , Cambridge University Press , ISBN  978-0521689472