Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

сэр Эндрю Джон Уайлс

Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма — это доказательство британского математика Эндрю Уайлса частного случая теоремы модулярности для эллиптических кривых . Вместе с теоремой Рибе она обеспечивает доказательство Великой теоремы Ферма . Почти все ныне живущие математики того времени считали, что и Великую теорему Ферма, и теорему модульности невозможно доказать, используя предыдущие знания.

Уайлс впервые объявил о своем доказательстве 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года в доказательстве была обнаружена ошибка. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в тот, который он назвал «самым важным моментом [его] трудовой жизни», Уайлс наткнулся на открытие, которое позволило ему исправить доказательство к удовлетворению математического сообщества. Исправленное доказательство было опубликовано в 1995 году.

Доказательство Уайлса использует многие методы алгебраической геометрии и теории чисел и имеет множество разветвлений в этих областях математики. такие как категории схем Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии , , идеи теории значительных чисел из теории Ивасавы и другие методы 20-го века, которые были недоступны Ферма. Метод доказательства отождествления деформационного кольца с алгеброй Гекке (теперь называемый теоремой R = T ) для доказательства теорем о подъеме модулярности стал влиятельным развитием теории алгебраических чисел .

Вместе две статьи, содержащие доказательство, занимают 129 страниц. и отнял у Уайлса более семи лет исследовательского времени. Джон Коутс назвал это доказательство одним из высших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его «доказательством [20-го] века». Путь Уайлса к доказательству Великой теоремы Ферма, основанный на доказательстве теоремы модульности для частного случая полустабильных эллиптических кривых , установил мощные методы снятия модулярности и открыл совершенно новые подходы к множеству других проблем. За доказательство Великой теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды, такие как премия Абеля 2016 года . Объявляя о том, что Уайлс получил премию Абеля, Норвежская академия наук и литературы назвала его достижение «потрясающим доказательством».

Предшественники доказательства Уайлса

Великая теорема Ферма и прогресс до 1980 года

Основная статья: Последняя теорема Ферма

Великая теорема Ферма , сформулированная в 1637 году, утверждает, что никакие три положительных целых числа a , b и c не могут удовлетворять уравнению

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

если n — целое число больше двух ( n > 2).

Со временем это простое утверждение стало одним из самых известных недоказанных утверждений в математике. Между его публикацией и окончательным решением Эндрю Уайлса более 350 лет спустя многие математики и любители пытались доказать это утверждение либо для всех значений n > 2, либо для конкретных случаев. Это стимулировало развитие целых новых областей теории чисел . В конечном итоге доказательства были найдены для всех значений n примерно до 4 миллионов, сначала вручную, а затем с помощью компьютера. Однако не было найдено ни общего доказательства, справедливого для всех возможных значений n , ни даже намека на то, как такое доказательство можно было бы провести.

Гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля

Основная статья: Теорема модульности

Отдельно от всего, что связано с Великой теоремой Ферма, в 1950-х и 1960-х годах японский математик Горо Симура , опираясь на идеи, выдвинутые Ютакой Таниямой , предположил, что может существовать связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами . Это были математические объекты, связь между которыми не была известна. Танияма и Шимура поставили вопрос, являются ли эти два типа объектов, неизвестными математикам, на самом деле идентичными математическими объектами, просто рассматриваемыми по-разному.

Они предположили, что каждая рациональная эллиптическая кривая также является модулярной . Это стало известно как гипотеза Таниямы-Шимуры. На Западе эта гипотеза стала широко известна благодаря статье Андре Вейля 1967 года , который дал ей концептуальное подтверждение; поэтому ее иногда называют гипотезой Таниямы – Шимуры – Вейля.

Примерно к 1980 году было накоплено много свидетельств для формирования гипотез об эллиптических кривых, и было написано множество статей, в которых исследовались последствия, если гипотеза была верной, но сама гипотеза была недоказанной и обычно считалась недоступной - это означает, что математики верили в доказательство. эта гипотеза, вероятно, была невозможна с использованием современных знаний.

На протяжении десятилетий эта гипотеза оставалась важной, но нерешенной проблемой математики. Примерно через 50 лет после первого выдвижения гипотеза была окончательно доказана и переименована в теорему модульности , во многом благодаря работе Эндрю Уайлса, описанной ниже.

Кривая Фрея

На еще одной отдельной ветви развития, в конце 1960-х годов, Ив Хеллегуар придумал идею связать гипотетические решения ( a , b , c ) уравнения Ферма с совершенно другим математическим объектом: эллиптической кривой. Кривая состоит из всех точек плоскости, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют соотношению

$y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n}).$

Такая эллиптическая кривая будет обладать совершенно особыми свойствами из-за появления в ее уравнении больших степеней целых чисел и того факта, что ^н + б ^н = с ^н будет n-й также степенью.

В 1982–1985 годах Герхард Фрей обратил внимание на необычные свойства этой самой кривой, ныне называемой кривой Фрея . Он показал, что вполне вероятно, что кривая может связать Ферма и Танияму, поскольку любой контрпример к Великой теореме Ферма, вероятно, также будет означать, что существует эллиптическая кривая, которая не является модулярной . Фрей показал, что существуют веские основания полагать, что любой набор чисел ( a , b , c , n ), способный опровергнуть Великую теорему Ферма, также, вероятно, может быть использован для опровержения гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля. Следовательно, если бы гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля была верной, не могло бы существовать никакого набора чисел, способного опровергнуть Ферма, поэтому Великая теорема Ферма также должна была бы быть верной.

С математической точки зрения гипотеза гласит, что каждую эллиптическую кривую с рациональными коэффициентами можно построить совершенно другим способом, не задавая ее уравнение, а используя модульные функции для параметризации координат x и y точек на ней. Таким образом, согласно гипотезе, любая эллиптическая кривая над Q должна была бы быть модулярной эллиптической кривой , однако, если бы существовало решение уравнения Ферма с ненулевыми a , b , c и n , большими 2, соответствующая кривая не была бы модульность, что приводит к противоречию. Если бы связь, выявленная Фреем, могла быть доказана, то это, в свою очередь, означало бы, что опровержение Великой теоремы Ферма опровергло бы гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля или, наоборот, доказательство последней также доказало бы и первую.

Теорема Рибета

Основная статья: теорема Рибета

Чтобы завершить эту связь, необходимо было показать, что интуиция Фрея была верна: кривая Фрея, если бы она существовала, не могла бы быть модульной. В 1985 году Жан-Пьер Серр частично доказал, что кривая Фрея не может быть модулярной. Серр не представил полного доказательства своего предложения; недостающая часть (которую Серр заметил еще раньше) ) стала известна как гипотеза эпсилона (иногда называемая ε-гипотезой; теперь известная как теорема Рибе ). Главный интерес Серра заключался в еще более амбициозной гипотезе Серра о модульных представлениях Галуа , которая подразумевала гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля. Однако его частичное доказательство было близко к подтверждению связи между Ферма и Таниямой.

Летом 1986 года Кену Рибету удалось доказать гипотезу об эпсилоне, известную теперь как теорема Рибета . Его статья была опубликована в 1990 году. При этом Рибет наконец доказал связь между двумя теоремами, подтвердив, как предположил Фрей, что доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля для типов эллиптических кривых, которые Фрей идентифицировал вместе, с теоремой Рибе, также доказало бы Великую теорему Ферма.

С математической точки зрения теорема Рибе показала, что если представление Галуа, связанное с эллиптической кривой, обладает определенными свойствами (какими обладает кривая Фрея), то эта кривая не может быть модулярной в том смысле, что не может существовать модулярная форма, которая порождает ту же самую Представление Галуа.

Ситуация до доказательства Уайлса

Следуя разработкам, связанным с кривой Фрея и ее связью с Ферма и Таниямой, доказательство Великой теоремы Ферма будет следовать из доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля - или, по крайней мере, доказательства гипотезы для видов эллиптические кривые, включающие уравнение Фрея (известные как полустабильные эллиптические кривые ).

• Из теоремы Рибета и кривой Фрея любые 4 числа, которые можно использовать для опровержения Великой теоремы Ферма, также можно использовать для создания полустабильной эллиптической кривой («кривая Фрея»), которая никогда не может быть модулярной;
• Но если гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля верна и для полустабильных эллиптических кривых, то по определению каждая существующая кривая Фрея должна быть модулярной.
• Противоречие могло иметь только один ответ : если бы теорема Рибе и гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля для полустабильных кривых были верны, то это означало бы, что не может быть никаких решений уравнения Ферма - потому что тогда не было бы никаких кривых Фрея вообще. , то есть никаких противоречий не будет. Это окончательно докажет Великую теорему Ферма.

Однако, несмотря на прогресс, достигнутый Серром и Рибе, этот подход к Ферма также считался непригодным для использования, поскольку почти все математики считали саму гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля совершенно недоступной для доказательства с использованием современных знаний. Например, бывший руководитель Уайлса Джон Коутс заявил, что это «невозможно доказать на самом деле». а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали, что [это] совершенно недоступно».

Эндрю Уайлс

Услышав в 1986 году доказательство гипотезы об эпсилоне, сделанное Рибетом, английский математик Эндрю Уайлс, который изучал эллиптические кривые и с детства увлекался Ферма, решил тайно начать работать над доказательством гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля, поскольку теперь профессионально оправдано, а также из-за заманчивой цели доказать столь давнюю проблему.

Позже Рибет прокомментировал: «Эндрю Уайлс, вероятно, был одним из немногих людей на земле, у которых хватило смелости мечтать о том, что вы действительно можете пойти и доказать [это]».

Анонс и последующие события

Первоначально Уайлс представил свое доказательство в 1993 году. В конце концов оно было признано правильным и опубликовано в 1995 году после исправления незначительной ошибки в одной части его исходной статьи. Его работа была расширена до полного доказательства теоремы модульности в течение следующих шести лет другими людьми, опиравшимися на работу Уайлса.

Объявление и окончательное доказательство (1993–1995 гг.)

21–23 июня 1993 года Уайлс объявил и представил свое доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых и, следовательно, Великой теоремы Ферма, в ходе трех лекций, прочитанных в Институте математических наук Исаака Ньютона в Кембридже, Англия. . После этого это событие широко освещалось в прессе.

После объявления Ник Кац был назначен одним из рецензентов рукописи Уайлса. В ходе обзора он задал Уайлзу ряд уточняющих вопросов, которые заставили Уайлза признать, что в доказательстве есть пробел. В одной важной части доказательства, которая давала оценку порядка конкретной группы, была ошибка: система Эйлера, использованная для расширения Колывагина и Флаха метода , была неполной. Эта ошибка не сделала бы его работу бесполезной — каждая часть работы Уайлса была очень значимой и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы, и была затронута только одна часть. Однако без доказательства этой части не было настоящего доказательства Великой теоремы Ферма.

Уайлс потратил почти год, пытаясь восстановить свое доказательство, сначала самостоятельно, а затем в сотрудничестве со своим бывшим студентом Ричардом Тейлором , но безуспешно. К концу 1993 года распространились слухи о том, что при тщательном рассмотрении доказательство Уайлса провалилось, но насколько серьезно было неизвестно. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы он раскрыл свою работу независимо от того, завершена она или нет, чтобы более широкое сообщество могло исследовать и использовать все, что ему удалось сделать. Вместо того, чтобы быть решенной, проблема, которая первоначально казалась незначительной, теперь казалась очень существенной, гораздо более серьезной и менее простой в разрешении.

Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы сдаться, и был почти смирился с признанием своей неудачи и публикацией своей работы, чтобы другие могли опираться на нее и найти ошибку. Он утверждает, что проводил последний взгляд, пытаясь понять фундаментальные причины, по которым его подход не мог работать, когда внезапно осознал, что конкретная причина, по которой подход Колывагина-Флаха не будет работать напрямую, также означает, что его подход Первоначальная попытка использования теории Ивасавы могла бы сработать, если бы он усилил ее, используя опыт, полученный с тех пор в рамках подхода Колывагина-Флаха. Каждый из них сам по себе был неадекватен, но исправление одного подхода с помощью инструментов другого позволило бы решить проблему и создать формулу номера класса (CNF), действительную для всех случаев, которые еще не были доказаны в его рецензируемой статье:

Я сидел за столом и изучал метод Колывагина-Флаха. Не то чтобы я верил, что смогу заставить это работать, но я думал, что, по крайней мере, смогу объяснить, почему это не работает. Внезапно ко мне пришло это невероятное откровение. Я понял, что метод Колывагина-Флаха не работает, но это было все, что мне нужно, чтобы заставить работать мою первоначальную теорию Ивасавы, выдвинутую тремя годами ранее. Таким образом, из пепла Колывагина-Флаха, казалось, возник истинный ответ на проблему. Это было так неописуемо красиво; это было так просто и так элегантно. Я не мог понять, как я это пропустил, и просто смотрел на него в недоумении двадцать минут. Затем в течение дня я ходил по отделу и продолжал возвращаться к своему столу, проверяя, на месте ли он еще. Оно все еще было там. Я не мог сдержаться, я был так взволнован. Это был самый важный момент в моей трудовой жизни. Ничто из того, что я когда-либо сделаю снова, не будет значить так много.

- Эндрю Уайлс, цитирует Саймона Сингха.

6 октября Уайлс попросил троих коллег (включая Герда Фалтингса ) просмотреть его новое доказательство. а 24 октября 1994 г. Уайлс представил две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма». и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке», второй из них Уайлс написал вместе с Тейлором и доказал, что были соблюдены определенные условия, необходимые для оправдания исправленного шага в основной статье.

Обе статьи были проверены и наконец опубликованы целиком в майском номере журнала Annals of Mathematics за 1995 год . Новое доказательство было широко проанализировано и признано верным в основных компонентах. В этих статьях была установлена ​​теорема модулярности для полустабильных эллиптических кривых, что стало последним шагом в доказательстве Великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была выдвинута.

Последующие события

Ферма утверждал, что «... обнаружил поистине чудесное доказательство этого, которое эти поля слишком узки, чтобы вместить его». Доказательство Уайлса очень сложное и включает в себя работу стольких других специалистов, что в 1994 году было высказано предположение, что лишь небольшое количество людей было способно в то время полностью понять все детали того, что он сделал. Сложность доказательства Уайлса побудила провести 10-дневную конференцию в Бостонском университете ; Целью итогового сборника материалов конференции было сделать весь спектр необходимых тем доступным для аспирантов по теории чисел.

Как отмечалось выше, Уайлс доказал гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля для частного случая полустабильных эллиптических кривых, а не для всех эллиптических кривых. В последующие годы Кристоф Брей , Брайан Конрад , Фред Даймонд и Ричард Тейлор (иногда сокращенно «BCDT») продвинули работу дальше, в конечном итоге доказав гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля для всех эллиптических кривых в статье 2001 года. Теперь доказанная гипотеза стала известна как теорема модульности .

В 2005 году голландский ученый-компьютерщик Ян Бергстра поставил задачу формализовать доказательство Уайлса таким образом, чтобы его можно было проверить с помощью компьютера .

Краткое изложение доказательства Уайлса

Уайлс доказал теорему модулярности для полустабильных эллиптических кривых, из которой следует последняя теорема Ферма, используя доказательство от противного . В этом методе доказательства предполагается противоположное тому, что должно быть доказано, и показывается, что если бы это было правдой, это создало бы противоречие. Противоречие показывает, что предположение (о том, что вывод неверен) должно было быть неверным, что требует выполнения вывода.

Доказательство делится примерно на две части: в первой части Уайлс доказывает общий результат о « лифтах », известный как «теорема о подъеме модульности». Эта первая часть позволяет ему доказывать результаты об эллиптических кривых, превращая их в задачи о представлениях Галуа эллиптических кривых. Затем он использует этот результат, чтобы доказать, что все полустабильные кривые модулярны, доказывая, что представления Галуа этих кривых модульны.

	Схема доказательства	Комментарий
Часть 1: подготовка доказательства
1	Начнем с предположения (ради противоречия), что Великая теорема Ферма неверна. Это означало бы, что существует хотя бы одно ненулевое решение ( a , b , c , n ) (со всеми рациональными числами, n > 2 и простыми) для a н + б н = с н .
2	Теорема Рибе (с использованием работы Фрея и Серра) показывает, что, используя решение ( a , b , c , n ), мы можем создать полустабильную эллиптическую кривую Фрея (которую мы назовем E ), которая никогда не будет модулярной .	Если мы сможем доказать, что все такие эллиптические кривые будут модулярными (то есть, что они соответствуют модулярной форме), тогда мы получим противоречие и докажем, что наше предположение (о существовании такого набора чисел) было неверным. Если предположение неверно, это означает, что таких чисел не существует, что доказывает правильность Великой теоремы Ферма.
Часть 2: теорема о поднятии модульности
3	Представления Галуа эллиптических кривых ρ ( E , p ) для любого простого числа p > 3 изучались многими математиками. Уайлс стремится прежде всего доказать результат об этих представлениях, который он будет использовать позже: если полустабильная эллиптическая кривая E имеет представление Галуа ρ ( E , p ), которое является модулярным, то сама эллиптическая кривая должна быть модулярной. Доказательство этого полезно двумя способами: оно упрощает подсчет и сопоставление, и, что немаловажно, чтобы доказать модульность представления, нам нужно будет доказать это только для одного простого числа p , и мы можем сделать это, используя любое простое число , которое делает наша работа проста – не имеет значения, какое простое число мы используем. Это самая сложная часть проблемы — технически это означает доказательство того, что если представление Галуа ρ ( E , p ) является модулярной формой, то и все другие связанные представления Галуа ρ ( E , p) являются модулярной формой. ∞ ) для всех степеней p . Это так называемая « задача модульного подъема », и Уайлс подошел к ней с помощью деформаций . Любую эллиптическую кривую (или представление эллиптической кривой) можно отнести к категории приводимых или неприводимых . Доказательство будет немного отличаться в зависимости от того, можно ли привести представление эллиптической кривой.	Непосредственное сравнение эллиптических кривых и модульных форм затруднено; Прошлые попытки подсчитать и сопоставить эллиптические кривые и модульные формы потерпели неудачу. Однако, поскольку эллиптические кривые могут быть представлены в рамках теории Галуа , Уайлс понял, что работа с представлениями эллиптических кривых вместо самих кривых значительно облегчит их подсчет и сопоставление с модульными формами. С этого момента доказательство в первую очередь направлено на то, чтобы доказать: (1) если геометрическое представление Галуа полустабильной эллиптической кривой является модулярным, то модулярной является и сама кривая; и (2) геометрические представления Галуа всех полустабильных эллиптических кривых модулярны. Вместе они позволяют нам работать с представлениями кривых, а не непосредственно с самими эллиптическими кривыми. Вместо этого наша первоначальная цель будет преобразована в доказательство модульности геометрических представлений Галуа полустабильных эллиптических кривых. Уайлс назвал это осознание «ключевым прорывом». Представление Галуа эллиптической кривой — это G → GL( Z p ) . Чтобы показать, что геометрическое представление Галуа эллиптической кривой является модулярной формой, нам нужно найти нормализованную собственную форму которой , собственные значения (которые также являются коэффициентами ее ряда Фурье ) удовлетворяют соотношению конгруэнтности для всех простых чисел, кроме конечного.
4	Первоначальная стратегия Уайлса состоит в подсчете и сопоставлении с использованием доказательства по индукции и формулы числа классов («CNF»): подход, при котором, как только гипотеза доказана для одной эллиптической кривой, ее можно автоматически расширить для доказательства для всех последующих эллиптических кривых. кривые.	Именно в этой области Уайлс столкнулся с трудностями, сначала с горизонтальной теорией Ивасавы , а затем с расширением теории Колывагина-Флаха. Работа Уайлса по расширению Колывагина-Флаха была в основном связана с тем, чтобы сделать Колывагина-Флаха достаточно сильным, чтобы доказать полную CNF, которую он будет использовать. Позже выяснилось, что ни один из этих подходов сам по себе не может создать КНФ, способную охватить все типы полустабильных эллиптических кривых, и последней частью его доказательства в 1995 году было осознание того, что он может добиться успеха, усилив теорию Ивасавы с помощью методов Колывагина. – Флах.
5	На этом этапе доказательство показало ключевой момент в представлениях Галуа: Если геометрическое представление Галуа ρ ( E , p ) полустабильной эллиптической кривой E неприводимо и модулярно (для некоторого простого числа p > 2 ), то при соблюдении некоторых технических условий E является модулярным. Это теорема подъема Уайлса (или теорема подъема модульности ), главное и революционное достижение того времени.	Важно отметить, что этот результат не просто показывает, что модулярные неприводимые представления влекут за собой модульные кривые. Это также означает, что мы можем доказать модульность представления, используя любое простое число > 2, которое нам проще всего использовать (поскольку доказательство этого только для одного простого числа > 2 доказывает это и для всех простых чисел > 2). Таким образом, мы можем попытаться доказать модульность всех наших эллиптических кривых, используя одно простое число в качестве p , но если нам не удастся доказать это для всех эллиптических кривых, возможно, мы сможем доказать остальное, выбрав в качестве «p» разные простые числа. для сложных случаев. Доказательство должно охватывать представления Галуа всех полустабильных эллиптических кривых E , но для каждой отдельной кривой нам нужно только доказать ее модулярность, используя одно простое число p .)
Часть 3. Доказательство того, что все полустабильные эллиптические кривые являются модулярными.
6	Доказав теорему подъема, мы возвращаемся к исходной задаче. Мы классифицируем все полустабильные эллиптические кривые на основе сводимости их представлений Галуа и используем мощную теорему о подъеме для результатов. Сверху не имеет значения, какое простое число выбрано для представлений. Мы можем использовать любое простое число, которое проще всего. 3 — наименьшее простое число, превышающее 2, и некоторая работа уже была проделана над представлением эллиптических кривых с использованием ρ ( E , 3) , поэтому выбор 3 в качестве простого числа — полезная отправная точка. Уайлс обнаружил, что было легче доказать модульность представления, выбрав простое число p = 3 в тех случаях, когда представление ρ ( E , 3) неприводимо, но доказательство, когда ρ ( E , 3) приводимо, было легче доказать. выбрав p = 5 . Итак, на этом этапе доказательство распадается на две части.	Использование в доказательстве как p = 3 , так и p = 5 ниже, представляет собой так называемый «переключатель 3/5», упомянутый в некоторых описаниях доказательства, который Уайлс заметил в статье Мазура в 1993 году, хотя сам трюк датируется вернемся в 19 век. С тех пор переключение между p = 3 и p = 5 открыло значительную область исследований (см . гипотезу о модулярности Серра ) .
7	Если представление Галуа ρ ( E , 3 ) (т. е. с использованием p = 3 ) неприводимо, то примерно с 1980 года было известно, что его представление Галуа также всегда модулярно. Чтобы быстро разобраться в этом случае, Уайлс использует свою теорему о подъеме модулярности: Если представление ρ ( E , 3) неприводимо, то мы знаем, что представление также является модулярным (Лэнглендс и Таннелл), но... ... если представление одновременно неприводимо и модульно, то E само по себе является модулярным (теорема о поднятии модульности).	Ленглендс и Таннелл доказали это в двух статьях начала 1980-х годов. Доказательство основано на том факте, что ρ ( E ,3) имеет ту же группу симметрии , что и общее уравнение четвертой степени с одной переменной, которое было одним из немногих известных в то время общих классов диофантовых уравнений как модульные. Этот существующий результат для p = 3 имеет решающее значение для подхода Уайлса и является одной из причин первоначального использования p = 3 .
8	Итак, теперь мы рассмотрим, что произойдет, если ρ ( E , 3) приводимо. Уайлс обнаружил, что когда представление эллиптической кривой с использованием p = 3 можно привести, было легче работать с p = 5 и использовать его новую теорему о подъеме, чтобы доказать, что ρ ( E , 5) всегда будет модулярной, чем пытаться и докажите непосредственно, что ρ ( E , 3) само по себе является модулярным (помним, что нам нужно доказать это только для одного простого числа).	5 — следующее простое число после 3, и можно использовать любое простое число. Возможно, с 5 будет проще работать, чем с 3? Но поначалу кажется безнадежным доказывать, что ρ ( E , 5) всегда модулярно, во многом по той же причине, по которой общее уравнение пятой степени не может быть решено с помощью радикалов. Так что Уайлсу придется найти способ обойти это.
8.1	Если ρ ( E , 3) и ρ ( E , 5) оба приводимы, Уайлс непосредственно доказал, что ρ ( E , 5) должна быть модулярной.
8.2	Последний случай — если ρ ( E , 3) приводимо, а ρ ( E , 5) неприводимо. всегда можно найти другую полустабильную эллиптическую кривую F такую, что представление ρ ( F , 3) неприводимо, а также представления ρ ( E , 5) и ρ ( F , 5) изоморфны Уайлс показал, что в этом случае (они имеют идентичные структуры). - Первое из этих свойств показывает, что F должно быть модулярным (снова Ленглендс и Таннелл: все неприводимые представления с p = 3 модулярны). - Если F модулярно, то мы знаем, что ρ ( F , 5) также должно быть модулярным. - Но поскольку представления E и F с p = 5 имеют совершенно одинаковую структуру, и мы знаем, что ρ ( F , 5) является модулярным, то ρ ( E , 5) также должно быть модулярным.
8.3	Следовательно, если ρ ( E ,3) приводимо, мы доказали, что ρ ( E ,5) всегда будет модулярным. Но если ρ ( E ,5) модулярно, то теорема о поднятии модулярности показывает, что E само по себе является модулярным.	Этот шаг показывает реальную силу теоремы о подъеме модульности.
Результаты
9	Теперь мы доказали, что независимо от того, является ли ρ ( E , 3) неприводимым, E (которой может быть любая полустабильная эллиптическая кривая) всегда будет модулярной. Это означает, что все полустабильные эллиптические кривые должны быть модулярными. Это доказывает: (а) Гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля для полустабильных эллиптических кривых; а также (б) Поскольку противоречия быть не может, это также доказывает, что виды эллиптических кривых, описанные Фреем, на самом деле не могут существовать. Следовательно, никаких решений уравнения Ферма также не может существовать, поэтому Великая теорема Ферма также верна.	У нас есть доказательство от противного, поскольку мы доказали, что если Великая теорема Ферма неверна, мы можем создать полустабильную эллиптическую кривую, которая не может быть модулярной (теорема Рибета) и должна быть модулярной (Уайлс). Поскольку и то, и другое не может быть, единственный ответ заключается в том, что такой кривой не существует.

Математическая деталь доказательства Уайлса

Обзор

Уайлс решил попытаться сопоставить эллиптические кривые со счетным набором модульных форм. Он обнаружил, что этот прямой подход не работает, поэтому преобразовал проблему, вместо этого сопоставив представления Галуа эллиптических кривых с модулярными формами. Уайлс обозначает это паросочетание (или отображение), которое, более конкретно, является кольцевым гомоморфизмом :

$R_{n}\rightarrow \mathbf {T} _{n}.$

$R$ представляет собой деформационное кольцо и $\mathbf {T}$ представляет собой кольцо Гекке .

Уайлс понял, что во многих случаях этот кольцевой гомоморфизм может быть кольцевым изоморфизмом (гипотеза 2.16 в главе 2, § 3 статьи 1995 г.). ). Он понял, что карта между $R$ и $\mathbf {T}$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда две абелевы группы, встречающиеся в теории, конечны и имеют одинаковую мощность . Иногда это называют «числовым критерием». Учитывая этот результат, Великая теорема Ферма сводится к утверждению, что две группы имеют одинаковый порядок. Большая часть текста доказательства посвящена темам и теоремам, связанным с теорией колец и теорией коммутации . Целью Уайлса было проверить, что карта $R\rightarrow \mathbf {T}$ является изоморфизмом и, в конечном итоге, что $R=\mathbf {T}$. При рассмотрении деформаций Уайлс определил четыре случая, причем случай плоской деформации требует больше усилий для доказательства и рассматривается в отдельной статье того же тома, озаглавленной «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке».

Герд Фалтингс в своем бюллетене приводит следующую коммутативную диаграмму (стр. 745):

или в конечном итоге это $R=\mathbf {T}$, что указывает на полное пересечение . Поскольку Уайлс не мог этого доказать $R=\mathbf {T}$ непосредственно, он сделал это через $\mathbf {Z} _{3},\mathbf {F} _{3}$ и $\mathbf {T} /{\mathfrak {m}}$ через лифты .

Чтобы выполнить это сопоставление, Уайлсу пришлось создать формулу номера класса (CNF). Сначала он попытался использовать горизонтальную теорию Ивасавы , но в этой части его работы была нерешенная проблема, из-за которой он не смог создать CNF. В конце лета 1991 года он узнал о системе Эйлера, недавно разработанной Виктором Колывагиным и Маттиасом Флахом , которая казалась «сделанной специально» для индуктивной части его доказательства, которую можно было использовать для создания КНФ, и поэтому Уайлс установил отложил свою работу по Ивасаве и вместо этого начал работать над расширением работы Колывагина и Флаха, чтобы создать CNF, которого потребует его доказательство. К весне 1993 года его работа охватила все семейства эллиптических кривых, за исключением нескольких, и в начале 1993 года Уайлс был достаточно уверен в своем близком успехе, чтобы раскрыть свою тайну одному доверенному коллеге. Поскольку его работа во многом основывалась на использовании подхода Колывагина-Флаха, который был новым для математики и Уайлса и который он также расширил, в январе 1993 года он попросил своего коллегу из Принстона Ника Каца помочь ему проверить его работу на наличие тонких ошибок. . Тогда они пришли к выводу, что методы, которые использовал Уайлс, похоже, работали правильно.

Позже выяснилось, что использование Уайлсом Колывагина-Флаха стало причиной неудачи в первоначальном представлении доказательства, и в конечном итоге ему пришлось вернуться к теории Ивасавы и сотрудничать с Ричардом Тейлором, чтобы исправить это. В мае 1993 года, читая статью Мазура, Уайлс понял, что переход 3/5 решит последние проблемы и затем охватит все эллиптические кривые.

Общий подход и стратегия

Дана эллиптическая кривая $E$ над полем $\mathbf {Q}$ рациональных чисел $E({\bar {\mathbf {Q} }})$, для каждой простой степени $\ell ^{n}$, существует гомоморфизм из абсолютной группы Галуа

$\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )$

к

$\operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ),$

группа обратимых матриц размером 2 на 2, элементы которых являются целыми числами по модулю $\ell ^{n}$. Это потому, что $E({\bar {\mathbf {Q} }})$, точки $E$ над ${\bar {\mathbf {Q} }}$, образуют абелеву группу , на которой $\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )$ действует; подгруппа элементов $x$ такой, что $\ell ^{n}x=0$ это просто $(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} )^{2}$, а автоморфизмом этой группы является матрица описанного типа.

Менее очевидно то, что для модулярной формы определенного специального типа собственная форма Гекке с собственными значениями в $\mathbf {Q}$, также получается гомоморфизм

$\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )\rightarrow \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ).$

Это восходит к Эйхлеру и Шимуре. Идея состоит в том, что группа Галуа действует сначала на модулярную кривую, на которой определена модулярная форма, затем на якобиан многообразия кривой и, наконец, на точки $\ell ^{n}$ порядок власти на этом якобиане. Получающееся представление обычно не является двумерным, но операторы Гекке вырезают двумерный кусок. Легко продемонстрировать, что эти представления происходят от некоторой эллиптической кривой, но обратное доказать труднее.

Вместо того, чтобы пытаться сразу перейти от эллиптической кривой к модульной форме, можно сначала перейти к ${\bmod {\ell ^{n}}}$ представительство для некоторых $\ell$ и $n$, и от этого к модульной форме. В случае, когда $\ell =3$ и $n=1$, результаты теоремы Ленглендса–Таннелла показывают, что ${\bmod {3}}$ представление любой эллиптической кривой над $\mathbf {Q}$ имеет модульную форму. Основная стратегия заключается в использовании индукции по $n$ чтобы показать, что это верно для $\ell =3$ и любой $n$, что в конечном итоге существует единая модульная форма, которая работает для всех n . Для этого используется счетный аргумент, сравнивающий количество способов, которыми можно поднять предмет. ${\bmod {\ell ^{n}}}$ Представление Галуа одному ${\bmod {\ell ^{n+1}}}$ и количество способов, которыми можно поднять ${\bmod {\ell ^{n}}}$ модульная форма. Существенным моментом является наложение достаточного набора условий на представление Галуа; в противном случае лифтов будет слишком много, и большинство из них не будут модульными. Эти условия должны удовлетворяться для представлений, исходящих из модулярных форм и эллиптических кривых.

3–5 трюк

Если оригинал $(\mathrm {mod} \,3)$ представление имеет образ, который слишком мал, возникают проблемы с аргументом подъема, и в этом случае есть последний трюк, который с тех пор был изучен в более общем виде в последующей работе над гипотезой Серра о модулярности . Идея предполагает взаимодействие между $(\mathrm {mod} \,3)$ и $(\mathrm {mod} \,5)$ представления. В частности, если представление Галуа mod-5 ${\overline {\rho }}_{E,5}$ ассоциированная с полустабильной эллиптической кривой E над Q , неприводима, то существует другая полустабильная эллиптическая кривая E' над Q такая, что связанное с ней представление Галуа по модулю 5 ${\overline {\rho }}_{E',5}$ изоморфен ${\overline {\rho }}_{E,5}$ и такой, что связанное с ним представление Галуа по модулю 3 ${\overline {\rho }}_{E,3}$ неприводимо (и, следовательно, модулярно по Ленглендсу – Таннеллу).

Структура доказательства Уайлса

В своей 108-страничной статье, опубликованной в 1995 году, Уайлс делит предмет на следующие главы (здесь им предшествуют номера страниц):

Введение

443

Глава 1

455 1. Деформации представлений Галуа.

472 2. Некоторые вычисления групп когомологий.

475 3. Некоторые результаты о подгруппах группы GL ₂ (k).

Глава 2

479 1. Горенштейна Собственность

489 2. Сравнения колец Гекке.

503 3. Основные гипотезы

Глава 3

517 Оценки группы Зельмера

Глава 4

525 1. Обычный КМ случай

533 2. Расчет η

Глава 5

541 Приложение к эллиптическим кривым

Приложение

545 колец Горенштейна и локальные полные пересечения

Впоследствии Герд Фалтингс внес некоторые упрощения в доказательство 1995 года, в первую очередь перейдя от геометрических конструкций к более простым алгебраическим конструкциям. Книга Корнельской конференции также содержала упрощения первоначального доказательства.

Обзоры, доступные в литературе

Статья Уайлса занимает более 100 страниц и часто использует специальные символы и обозначения теории групп , алгебраической геометрии , коммутативной алгебры и теории Галуа . Математики, которые помогли заложить основу Уайлса, часто создавали новые специализированные концепции и технический жаргон .

Среди вступительных презентаций — электронное письмо, отправленное Рибетом в 1993 году; Краткий обзор вопросов верхнего уровня, сделанный Хесселинк, который дает только элементарную алгебру и избегает абстрактной алгебры; или веб-страница Дейни, на которой представлен набор его собственных заметок и список текущих книг по этой теме. Уэстон пытается представить удобную карту некоторых отношений между субъектами. Статья FQ Gouvêa «Чудесное доказательство» 1994 года, в которой рассматриваются некоторые из необходимых тем, получила премию Лестера Р. Форда от Математической ассоциации Америки . Пятистраничный технический бюллетень Фалтингса по этому вопросу представляет собой быстрый и технический обзор доказательства для неспециалиста. Тем, кто ищет коммерчески доступную книгу, которая могла бы помочь им, он рекомендовал тем, кто знаком с абстрактной алгеброй, прочитать Хеллегуарха, а затем прочитать книгу Корнелла, который, как утверждается, доступен «аспиранту по теории чисел». Книга Корнелла не охватывает все доказательство Уайлса.

См. также

• Абстрактная алгебра
• р-то есть число
• Полустабильные кривые

Библиография

• Аксель, Амир (1 января 1997 г.). Великая теорема Ферма: раскрытие тайны древней математической задачи . Основные книги. ISBN  978-1-56858-077-7 . Артикул   0878.11003 .
• Коутс, Джон (июль 1996 г.). «Уайлс получает премию NAS по математике» (PDF) . Уведомления АМС . 43 (7): 760–763. Збл   1029.01513 .
• Корнелл, Гэри (1 января 1998 г.). Модульные формы и Великая теорема Ферма . Спрингер. ISBN  978-0-387-94609-2 . Збл   0878.11004 . (Корнелл и др.)
• Дэйни, Чарльз (2003). «Математика Великой теоремы Ферма» . Архивировано из оригинала 3 августа 2004 года . Проверено 5 августа 2004 г.
• Дармон, Х. (9 сентября 2007 г.). «Теорема Уайлса и арифметика эллиптических кривых» (PDF) .
• Фальтингс, Герд (июль 1995 г.). «Доказательство Великой теоремы Ферма Р. Тейлором и А. Уайлсом» (PDF) . Уведомления АМС . 42 (7): 743–746. ISSN   0002-9920 . Збл   1047.11510 .
• Фрей, Герхард (1986). «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями». Энн. унив. Сарав. Сер. Математика . 1 :1–40. Збл   0586.10010 .
• Хеллегуарх, Ив (1 января 2001 г.). Приглашение на математику Ферма–Уайлса . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-339251-0 . Збл   0887.11003 . Посмотреть обзор
• Моццочи, Чарльз (7 декабря 2000 г.). Дневник Ферма . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2670-6 . Збл   0955.11002 . См. также Гувеа, Фернандо К. (2001). «Обзор: Доказательство Уайлса, 1993–1995: Дневник Ферма Си Джей Моццоки». Американский учёный . 89 (3): 281–282. JSTOR   27857485 .
• Моццочи, Чарльз (6 июля 2006 г.). Доказательство Ферма . Траффорд Паблишинг. ISBN  978-1-4120-2203-3 . Збл   1104.11001 .
• О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э.Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма» . Проверено 5 августа 2004 г.
• ван дер Портен, Альфред (1 января 1996 г.). Заметки о Великой теореме Ферма . Уайли. ISBN  978-0-471-06261-5 . Збл   0882.11001 .
• Рибенбойм, Пауло (1 января 2000 г.). Последняя теорема Ферма для любителей . Спрингер. ISBN  978-0-387-98508-4 . Збл   0920.11016 .
• Сингх, Саймон (октябрь 1998 г.). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN  978-0-385-49362-8 . Збл   0930.00002 .
• Саймон Сингх «Вся история» . Архивировано из оригинала 10 мая 2011 года. Отредактированная версия эссе объемом около 2000 слов, опубликованного в журнале «Прометей», описывающего успешное путешествие Эндрю Уайлса.
• Ричард Тейлор и Эндрю Уайлс (май 1995 г.). «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке». Анналы математики . 141 (3): 553–572. CiteSeerX   10.1.1.128.531 . дои : 10.2307/2118560 . ISSN   0003-486X . JSTOR   2118560 . ОСЛК   37032255 . Збл   0823.11030 .
• Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма». Анналы математики . 141 (3): 443–551. CiteSeerX   10.1.1.169.9076 . дои : 10.2307/2118559 . ISSN   0003-486X . JSTOR   2118559 . ОСЛК   37032255 . Збл   0823.11029 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Великая теорема Ферма» . Математический мир .
• «Доказательство» . ПБС . В названии одного выпуска телесериала PBS NOVA обсуждаются попытки Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма, который транслируется на BBC Horizon и UTV / Документальный фильм как Последняя теорема Ферма ( Adobe Flash ) (требуется подписка)
• Уайлс, Рибет, Шимура-Танияма-Вейль и Великая теорема Ферма
• Удовлетворены ли наконец математики доказательством Великой теоремы Ферма, данным Эндрю Уайлсом? Почему эту теорему так трудно доказать? , Scientific American , 21 октября 1999 г.
• Человек, который решил самую сложную в мире математическую задачу на YouTube

Пояснения к доказательству (различные уровни)

• Обзор доказательства Уайлса, доступный неспециалистам, Анри Дармон
• Очень краткое изложение доказательства Чарльза Дейни.
• 140-страничное доказательство, проработанное студентами, с упражнениями, автор: Найджел Бостон.