Объединение теорий в математике
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( февраль 2022 г. ) |
В истории было несколько попыток создать единую теорию математики . Некоторые из наиболее уважаемых математиков в академических кругах выразили мнение, что весь предмет следует уместить в одну теорию. [ нужна ссылка ]
Объединение математических тем получило название математической консолидации : [1] «Под объединением двух или более концепций или теорий T i мы подразумеваем создание новой теории, которая включает элементы всех T i в одну систему, которая достигает более общих выводов, чем те, которые можно получить из любого отдельного Ti » .
Историческая перспектива [ править ]
Процесс унификации можно рассматривать как помощь в определении того, что представляет собой математика как дисциплина.
Например, в XVIII веке механика и математический анализ обычно объединялись в один предмет, объединенный концепцией дифференциального уравнения ; в то время как алгебра и геометрия считались во многом разными. Теперь мы рассматриваем анализ, алгебру и геометрию, но не механику, как части математики, поскольку они являются прежде всего дедуктивными формальными науками , тогда как механика, как и физика, должна исходить из наблюдения. Серьезной потери содержания не произошло: аналитическая механика в старом смысле теперь выражается в терминах симплектической топологии , основанной на новой теории многообразий .
Математические теории [ править ]
Термин «теория» неофициально используется в математике для обозначения непротиворечивого набора определений , аксиом , теорем , примеров и т. д. (Примеры включают теорию групп , теорию Галуа , теорию управления и K-теорию не имеет никакого значения .) В частности, слово «гипотетический» . Таким образом, термин «объединяющая теория» больше похож на социологический термин, используемый для изучения действий математиков. Он не может предполагать ничего предположительного, что было бы похоже на неоткрытую научную связь. На самом деле в математике не существует аналогов таким понятиям, как «Протомир» в лингвистике или гипотеза Геи .
Тем не менее в истории математики было несколько эпизодов, когда наборы отдельных теорем оказывались частными случаями одного объединяющего результата или когда единый взгляд на то, как действовать при развитии области математики, мог быть плодотворно применен к несколько ветвей предмета.
Геометрические теории [ править ]
Хорошо известным примером было развитие аналитической геометрии , которая в руках таких математиков, как Декарт и Ферма, показала, что многие теоремы о кривых и поверхностях специальных типов могут быть сформулированы на алгебраическом языке (тогда новом), каждая из которых затем могла быть сформулирована. быть доказаны с использованием тех же методов. То есть теоремы были очень похожи алгебраически, даже если геометрические интерпретации были разными.
В 1859 году Артур Кэли инициировал унификацию метрических геометрий посредством использования метрики Кэли-Клейна . Позже Феликс Кляйн использовал такие метрики, чтобы заложить основу неевклидовой геометрии .
В 1872 году Феликс Кляйн заметил, что многие разделы геометрии, разработанные в XIX веке ( аффинная геометрия , проективная геометрия , гиперболическая геометрия и т. д.), можно рассматривать единообразно. Он сделал это, рассматривая группы , относительно которых геометрические объекты были инвариантны. Это объединение геометрии носит название программы Эрланген . [2]
Общую теорию угла можно объединить с инвариантной площади мерой . Гиперболический угол определяется в терминах площади, очень близкой к площади, связанной с натуральным логарифмом . Круговой угол также имеет интерпретацию площади, когда он относится к кругу с радиусом, равным квадратному корню из двух. Эти области инвариантны относительно гиперболического вращения и кругового вращения соответственно. Эти аффинные преобразования производятся элементами специальной линейной группы SL(2,R) . Проверка этой группы выявляет карты сдвига , которые увеличивают или уменьшают уклоны, но различия в уклонах не изменяются. Третий тип угла, также интерпретируемый как площадь, зависящая от разницы уклонов, является инвариантным из-за сохранения площади на карте сдвига. [3]
Через аксиоматизацию [ править ]
В начале 20 века многие разделы математики стали рассматриваться путем определения полезных наборов аксиом и последующего изучения их следствий. Так, например, исследования « гиперкомплексных чисел », рассматриваемые Обществом кватернионов , были поставлены на аксиоматическую основу как разделы теории колец (в данном случае со специфическим смыслом ассоциативных алгебр над полем комплексных чисел). ). В этом контексте концепция факторкольца является одним из самых мощных объединяющих факторов.
Это было общее изменение методологии, поскольку до этого потребности приложений означали, что большая часть математики преподавалась с помощью алгоритмов (или процессов, близких к алгоритмическим). Арифметику до сих пор преподают таким образом. Это было параллельно развитию математической логики как самостоятельной отрасли математики. К 1930-м годам символическая логика сама по себе была адекватно включена в математику.
В большинстве случаев изучаемые математические объекты могут быть определены (хотя и неканонически) как множества или, более неформально, как множества с дополнительной структурой, такой как операция сложения. Теория множеств теперь служит лингва франка для разработки математических тем.
Бурбаки [ править ]
За развитие аксиоматики серьезно взялась Бурбаки группа математиков . Считалось, что, доведенная до крайности, такая позиция требует развития математики в ее наибольшей степени. Начинали с самых общих аксиом, а затем специализировались, например, вводя модули над коммутативными кольцами и ограничиваясь векторными пространствами над действительными числами только в случае крайней необходимости. История развивалась таким образом, даже когда специализацией были теоремы, представляющие основной интерес.
В частности, эта точка зрения придавала мало значения областям математики (таким как комбинаторика ), объекты исследования которых очень часто являются специальными или встречаются в ситуациях, которые лишь поверхностно могут быть связаны с более аксиоматическими ветвями предмета.
конкурент категорий как Теория
Теория категорий — это объединяющая теория математики, первоначально разработанная во второй половине 20 века. [ нужна ссылка ] В этом отношении она является альтернативой и дополнением теории множеств. Ключевой темой с «категорической» точки зрения является то, что математика требует не только определенных видов объектов ( групп Ли , банаховых пространств и т. д.), но и отображений между ними, сохраняющих их структуру.
В частности, это проясняет, что именно означает, что математические объекты считаются одинаковыми . (Например, все ли равносторонние треугольники одинаковы или размер имеет значение?) Сондерс Мак Лейн предположил, что любая концепция, обладающая достаточной «повсеместностью» (встречающаяся в различных областях математики), заслуживает выделения и изучения сама по себе. Теория категорий, возможно, лучше приспособлена для этой цели, чем любой другой современный подход. Недостатком опоры на так называемую абстрактную чепуху является определенная пресность и абстракция в смысле отрыва от корней конкретных проблем. Тем не менее, методы теории категорий неуклонно развиваются в принятии во многих областях (от D-модулей до категориальной логики ).
Объединение теорий [ править ]
В менее широком масштабе сходство между наборами результатов в двух разных областях математики поднимает вопрос о том, существует ли объединяющая структура, которая могла бы объяснить эти параллели. Мы уже отмечали пример аналитической геометрии, и вообще область алгебраической геометрии всесторонне развивает связи между геометрическими объектами ( алгебраическими многообразиями или, вообще, схемами ) и алгебраическими объектами ( идеалами ); Пробным результатом здесь является Nullstellensatz Гильберта , который, грубо говоря, показывает, что между двумя типами объектов существует естественное взаимно однозначное соответствие.
В том же свете можно рассматривать и другие теоремы. Например, фундаментальная теорема теории Галуа утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между расширениями поля и подгруппами группы Галуа поля . Гипотеза Таниямы-Шимуры для эллиптических кривых (теперь доказанная) устанавливает взаимно однозначное соответствие между кривыми, определенными как модулярные формы , и эллиптическими кривыми, определенными над рациональными числами . В области исследований, которую иногда называют « Чудовищным самогоном», были разработаны связи между модульными формами и конечной простой группой, известной как « Монстр» , начиная исключительно с неожиданного наблюдения, что в каждой из них совершенно естественным образом возникает довольно необычное число 196884. Другая область, известная как программа Ленглендса , также начинается с явно случайных сходств (в данном случае между теоретико-числовыми результатами и представлениями определенных групп) и ищет конструкции, из которых оба набора результатов были бы следствиями.
Справочный список основных объединяющих концепций [ править ]
Краткий список этих теорий может включать:
разработки в области модульной Последние теории
Хорошо известным примером является гипотеза Таниямы-Шимуры , ныне теорема модульности , которая предположила, что каждую эллиптическую кривую над рациональными числами можно перевести в модулярную форму (таким образом, чтобы сохранить связанную с ней L-функцию ). Есть трудности с отождествлением этого с изоморфизмом в строгом смысле этого слова. было известно, что некоторые кривые являются как эллиптическими кривыми ( рода 1), так и модулярными кривыми До того, как была сформулирована гипотеза (около 1955 г.), . Удивительной частью гипотезы было распространение на факторы якобианов модулярных кривых рода > 1. Вероятно, не казалось правдоподобным, что таких рациональных факторов будет «достаточно» до того, как гипотеза была сформулирована; и на самом деле числовые данные были незначительными примерно до 1970 года, когда таблицы начали их подтверждать. Случай эллиптических кривых с комплексным умножением был доказан Шимурой в 1964 году. Эта гипотеза стояла десятилетия, прежде чем была доказана в общем виде.
На самом деле программа (или философия) Ленглендса больше похожа на паутину объединяющих гипотез; он действительно постулирует, что общая теория автоморфных форм регулируется L-группами, введенными Робертом Ленглендсом . Его принцип функториальности по отношению к L-группе имеет очень большое объяснительное значение по отношению к известным типам поднятия автоморфных форм (сейчас более широко изучаемых как автоморфные представления ). Хотя эта теория в каком-то смысле тесно связана с гипотезой Таниямы-Шимуры, следует понимать, что на самом деле эта гипотеза действует в противоположном направлении. Оно требует существования автоморфной формы, начиная с объекта, который (весьма абстрактно) лежит в категории мотивов .
Еще один важный связанный с этим момент заключается в том, что подход Ленглендса стоит в стороне от всей разработки, вызванной чудовищным самогонением (связями между эллиптическими модулярными функциями как рядами Фурье и групповыми представлениями группы Монстров и других спорадических групп ). Философия Ленглендса не предвещала и не могла включить это направление исследований.
об изоморфизме в K Гипотезы - теории
Другой случай, пока менее разработанный, но охватывающий широкий диапазон математики, — это предположительное основание некоторых частей К-теории . К гипотезе Баума -Конна , ставшей давней проблемой, присоединились другие члены группы, известной как гипотезы изоморфизма в K-теории . К ним относятся гипотеза Фаррелла-Джонса и гипотеза Боста .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Раймонд Уайлдер (1981) Математика как культурная система , страница 58, Pergamon Press
- ^ Томас Хокинс (1984) « Программа Эрлангера Феликса Кляйна: размышления о ее месте в истории математики», Historia Mathematica 11: 442–70.
- ^
Геометрия/Единые углы в Wikibooks
