Дискретное внешнее исчисление

В математике дискретное внешнее исчисление ( DEC ) является расширением внешнего исчисления на дискретные пространства, включая графы , сетки конечных элементов , а в последнее время и общие полигональные сетки. (неплоские и невыпуклые). Методы DEC оказались очень эффективными в улучшении и анализе методов конечных элементов: например, методы на основе DEC позволяют использовать сильно неоднородные сетки для получения точных результатов. Неоднородные сетки имеют преимущество, поскольку они позволяют использовать крупные элементы там, где моделируемый процесс относительно прост, в отличие от мелкого разрешения, где процесс может быть сложным (например, вблизи препятствия для потока жидкости). меньшая вычислительная мощность, чем при использовании равномерно мелкой сетки.

Дискретная

Теорема Стокса связывает интеграл дифференциальной ( n − 1)-формы ω по границе ∂ M многообразия n - мерного M ( с интегралом d ω внешняя производная ω и дифференциальная n -форма на M ) над самим M :

$\int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega .$

Можно было бы думать о дифференциальных k -формах как о линейных операторах , которые действуют на k -мерные «биты» пространства, и в этом случае можно было бы предпочесть использовать скобочные обозначения для двойственного спаривания. В этих обозначениях теорема Стокса имеет вид

$\langle \mathrm {d} \omega \mid M\rangle =\langle \omega \mid \partial M\rangle .$

конечных элементов первым этапом часто является аппроксимация интересующей области триангуляцией В анализе методом T . Например, кривая будет аппроксимироваться как объединение отрезков прямой; поверхность будет аппроксимироваться объединением треугольников, края которых представляют собой отрезки прямых, которые сами оканчиваются точками. Топологи назвали бы такую ​​конструкцию симплициальным комплексом . Граничный оператор на этом триангуляционном/симплициальном комплексе T определяется обычным способом: например, если L — направленный отрезок прямой от одной точки a до другой b , то граница ∂ L L — это формальная разность b − а .

k - форма на T — это линейный оператор, действующий на k -мерных подкомплексах T ; например, 0-форма присваивает значения точкам и линейно расширяется до линейных комбинаций точек; 1-форма присваивает значения сегментам линий аналогичным линейным способом. Если ω является k -формой на T , то дискретная внешняя производная d ω формы ω является единственной ( k + 1)-формой, определенной так, что справедлива теорема Стокса:

$\langle \mathrm {d} \omega \mid S\rangle =\langle \omega \mid \partial S\rangle .$

Для каждого ( k + 1)-мерного подкомплекса T , S .

Другие операторы и операции, такие как дискретное произведение клина , звезду Ходжа или производную Ли Также можно определить .

См. также

• Дискретная дифференциальная геометрия
• Дискретная теория Морса
• Топологическая комбинаторика
• Дискретное исчисление

Ссылки

• Простое и полное дискретное внешнее исчисление на общих многоугольных сетках , Птачкова, Ленка и Вельо, Луис, Компьютерное геометрическое проектирование, 2021, DOI: 10.1016/j.cagd.2021.102002
• Дискретное исчисление , Грейди, Лео Дж., Полимени, Джонатан Р., 2010 г.
• Диссертация Хирани по дискретному внешнему исчислению
• Дискретизация внешнего исчисления на полигональных сетках от простого к простому , Птакова Л. и Вельо Л., Симпозиум по обработке геометрии, 2017 г., DOI: 10.2312/SGP.20171204
• Сходимость аппроксимаций дискретного внешнего исчисления для задач Пуассона , Э. Шульц и Г. Цогтгерель, Диск. Комп. Гео. 63(2), 346 - 376, 2020 г.
• О геометрической дискретизации упругости , Араш Явари, J. Math. Физ. 49, 022901 (2008), DOI:10.1063/1.2830977
• Дискретная дифференциальная геометрия: прикладное введение , Кинан Крейн, 2018 г.