Крышка (топология)

В математике и, в частности, в теории множеств , покрытие (или покрытие ) множества $X$ представляет семейство подмножеств собой $X$ чей союз состоит из всех $X$ . Более формально, если $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ это индексированное семейство подмножеств $U_{\alpha }\subset X$ (индексируется набором $A$ ), затем $C$ это обложка $X$ если $\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq X$ . Таким образом, коллекция $\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ это обложка $X$ если каждый элемент $X$ принадлежит хотя бы одному из подмножеств $U_{\alpha }$ .

Подобложка . обложки набора — это часть обложки, которая также покрывает набор Покрытие называется открытым, если каждый его элемент является открытым множеством .

Покрытие в топологии

Покрытия обычно используются в контексте топологии . Если набор $X$ является топологическим пространством , то накрытие $C$ из $X$ представляет собой набор подмножеств $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ из $X$ чей союз - все пространство $X$ . В этом случае мы говорим, что $C$ обложки $X$ , или что множества $U_{\alpha }$ крышка $X$ .

Кроме того, если $Y$ является (топологическим) подпространством $X$ , обложка затем $Y$ представляет собой набор подмножеств $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ из $X$ чей союз содержит $Y$ , то есть, $C$ это обложка $Y$ если

Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.

То есть мы можем покрыть $Y$ с любым набором $Y$ сам или устанавливает в родительском пространстве $X$ .

Пусть C покрытие топологического пространства X. — Подпокрытие — это C , подмножество C все еще покрывает X. которое

Мы говорим, что C является открытое покрытие , если каждый из его членов является открытым множеством (т.е. каждое U _α содержится в T , где T — топология на X ).

Покрытие X называется локально конечным, если каждая точка X имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в покрытии. Формально C = { U _α } локально конечна, если для любого $x\in X,$ существует некоторая окрестность N ( x ) точки x такая, что множество

\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}

конечно. Покрытие X называется точечно конечным, если каждая точка X содержится лишь в конечном числе множеств покрытия. Покрытие является точечно конечным, если оно локально конечно, хотя обратное не обязательно верно.

Доработка обложки $C$ топологического пространства $X$ это новая обложка $D$ из $X$ так, что каждый набор в $D$ содержится в некотором множестве $C$ . Формально,

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

представляет собой уточнение

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

если для всех

\beta \in B

существует

\alpha \in A

такой, что

V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.

Другими словами, существует карта уточнения $\phi :B\to A$ удовлетворяющий $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ для каждого $\beta \in B.$ Это отображение используется, например, в Чеха когомологиях $X$ . ^[1]

Любое подкрытие — это тоже усовершенствование, но не всегда верно обратное. Подобложка составлена из наборов, представленных на обложке, но без некоторых из них; тогда как уточнение производится из любых наборов, которые являются подмножествами наборов в обложке.

Уточняющее соотношение на множестве покрытий $X$ транзитивен , иррефлексивен и асимметричен .

Вообще говоря, уточнение данной структуры — это другая, которая в некотором смысле ее содержит. Примеры можно найти при разбиении интервала (одно уточнение $a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}$ существование $a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}$ ), рассматривая топологии ( стандартная топология в евклидовом пространстве является уточнением тривиальной топологии ). При подразделении симплициальных комплексов (первое барицентрическое подразделение симплициального комплекса является уточнением) ситуация несколько иная: каждый симплекс в более тонком комплексе является гранью некоторого симплекса в более грубом, и оба имеют равные лежащие в основе многогранники.

Еще одно понятие утонченности – это звездная утонченность .

Под прикрытием

Простой способ получить подпокрытие — исключить наборы, содержащиеся в другом наборе, в обложке. Рассмотрим конкретно открытые крышки. Позволять ${\mathcal {B}}$ быть топологической основой $X$ и ${\mathcal {O}}$ быть открытым прикрытием $X.$ Первый дубль ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ Затем ${\mathcal {A}}$ представляет собой уточнение ${\mathcal {O}}$ . Далее для каждого $A\in {\mathcal {A}},$ мы выбираем $U_{A}\in {\mathcal {O}}$ содержащий $A$ (требуется аксиома выбора). Затем ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ является частью ${\mathcal {O}}.$ Следовательно, мощность подпокрытия открытого покрытия может быть столь же малой, как и мощность любого топологического базиса. Следовательно, в частности, из второй счетности следует, что пространство линделефово .

Компактность

Язык покрытий часто используется для определения некоторых топологических свойств, связанных с компактностью . Топологическое пространство X называется

Компактный: если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет конечное уточнение);
Линделёф: если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет счетное уточнение);
Метакомпакт: если каждое открытое покрытие имеет точечно-конечное открытое уточнение;
Паракомпакт: если каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое уточнение.

Дополнительные варианты см. в статьях выше.

Размер покрытия

Говорят, что топологическое пространство X имеет размерность покрытия n , если каждое открытое покрытие X имеет точечно-конечное открытое уточнение, такое что ни одна точка X не включена более чем в n + 1 наборов в уточнении, и если n является минимальным значением для что это правда. ^[2] Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную накрывающую размерность.

См. также

Атлас (топология) - набор карт, описывающих многообразие.
Борнология - математическое обобщение ограниченности.
Пространство покрытия - тип непрерывной карты в топологии.
Топология Гротендика - структура категории C, которая заставляет объекты C действовать как открытые множества топологического пространства.
Разделение набора - Математические способы группировки элементов набора.
Задача о покрытии множеств - Классическая задача комбинаторики.
Уточнение звезды – математическое уточнение.

Примечания

^ Ботт, Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . п. 111.
^ Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .

Ссылки

Введение в топологию , второе издание, Теодор В. Гамелен и Роберт Эверист Грин. Дуврские публикации 1999. ISBN 0-486-40680-6
Общая топология , Джон Л. Келли . Компания Д. Ван Ностранд, Инк. Принстон, Нью-Джерси. 1955.

Внешние ссылки

«Покрытие (множества)» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Ботт, Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . п. 111.

[2] Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .

[1]

[2]