Гипотеза Гиллиса

В чисел теории гипотеза Гиллиса — это гипотеза о распределении простых делителей чисел Мерсенна , выдвинутая Дональдом Б. Гиллисом в статье 1964 года. в котором он также объявил об открытии трёх новых простых чисел Мерсенна . Эта гипотеза представляет собой специализацию теоремы о простых числах и уточнение гипотез И. Дж. Гуда. и Дэниел Шэнкс . Гипотеза остается открытой проблемой: несколько статей дают эмпирическую поддержку, но она не согласуется с широко принятой (но также открытой) гипотезой Ленстры-Померанса-Вагстаффа .

Гипотеза

${\text{If }}$$A<B<{\sqrt {M_{p}}}{\text{, as }}B/A{\text{ and }}M_{p}\rightarrow \infty {\text{, the number of prime divisors of }}M$

${\text{ in the interval }}[A,B]{\text{ is Poisson-distributed with}}$

${\text{mean }}\sim {\begin{cases}\log(\log B/\log A)&{\text{ if }}A\geq 2p\\\log(\log B/\log 2p)&{\text{ if }}A<2p\end{cases}}$

Он отметил, что его гипотеза будет означать, что

1. Число простых чисел Мерсенна меньше $x$ является $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$.
2. Ожидаемое количество простых чисел Мерсенна $M_{p}$ с $x\leq p\leq 2x$ является $\sim 2$.
3. Вероятность того, что $M_{p}$ является простым $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$.

Несовместимость с гипотезой Ленстры – Померанса – Вагстафа.

Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстаффа дает разные значения:

1. Число простых чисел Мерсенна меньше $x$ является $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$.
2. Ожидаемое количество простых чисел Мерсенна $M_{p}$ с $x\leq p\leq 2x$ является $\sim e^{\gamma }$.
3. Вероятность того, что $M_{p}$ является простым $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ где a = 2, если p = 3, mod 4 и 6 в противном случае.

Асимптотически эти значения примерно на 11% меньше.

Результаты

Хотя гипотеза Гилли остается открытой, несколько статей добавили эмпирическое подтверждение ее обоснованности, включая статью Эрмана 1964 года.