Модуль Тейт

Не путать с модулем Ходжа-Тейта .

В математике модуль Тейта абелевой группы, названный в честь Джона Тейта , — это модуль, на основе абелевой группы A. построенный Часто такая конструкция производится в следующей ситуации: G — коммутативная групповая схема над полем K , K ^с — замыкание K = и A ( G K сепарабельное ^с ) ( К ^с -значные точки G ). В этом случае модуль Тейта группы A снабжен действием абсолютной группы Галуа группы K и называется модулем Тейта G. группы

Определение

Для абелевой группы A и простого числа p -адический модуль p Тейта группы A равен

$T_{p}(A)={\underset {\longleftarrow }{\lim }}A[p^{n}]$

где А [ р ^н ] — это п ^н кручение A p (т.е. ядро ​​умножения на ^н map), а обратный предел распространяется на положительные целые числа n с морфизмами перехода, умножения на p заданными картой A [ p ^{п +1} ] → А [ п ^н ]. Таким образом, модуль Тейта кодирует все p -степенное кручение A . Он оснащен структурой Z _p -модуля через

$z(a_{n})_{n}=((z{\text{ mod }}p^{n})a_{n})_{n}.$

Примеры

Модуль Тейт

Когда абелева группа A является группой корней из единицы в сепарабельном замыкании K ^с из K -адический модуль p Тейта A иногда называют модулем Тейта (где выбор p и K подразумевается молчаливо). Это свободный модуль ранга один над Z _p с линейным действием абсолютной группы Галуа G _K группы K . Таким образом, это представление Галуа, называемое p -адическим круговым характером K также . Его также можно рассматривать как модуль Тейта мультипликативной групповой схемы G _{m , K} над K .

Модуль Тейта абелева многообразия

Для многообразия G над полем K K абелева ^с -значные точки группы G являются абелевой группой. p -адический модуль Тейта Tp _{является} ( G ) группы G Галуа (абсолютной группы Галуа GK _группы K представлением ).

Классические результаты об абелевых многообразиях показывают, что если K имеет нулевую характеристику где простое число p ≠ ℓ, то T _p ( G ) — свободный модуль над Z _p ранга 2 d , где d — размерность G. или характеристику ℓ , В другом случае он по-прежнему свободен, но ранг может принимать любое значение от 0 до d (см., например, матрицу Хассе–Витта ).

В случае, когда p не равно характеристике K , p -адический модуль Тейта группы G является двойственным этальным когомологиям $H_{\text{et}}^{1}(G\times _{K}K^{s},\mathbf {Z} _{p})$.

Частный случай гипотезы Тейта можно сформулировать в терминах модулей Тейта. Предположим, что конечно над порождено своим простым полем (например, конечным полем , полем алгебраических чисел , полем глобальных функций ) характеристики, отличной от p , и A и B — два абелевых многообразия над K. K Гипотеза Тейта тогда предсказывает, что

$\mathrm {Hom} _{K}(A,B)\otimes \mathbf {Z} _{p}\cong \mathrm {Hom} _{G_{K}}(T_{p}(A),T_{p}(B))$

где Hom _K ( A , B ) — группа абелевых многообразий из A в B , а правая часть — группа GK _- линейных отображений из Tp _A ( ) в Tp _B ( морфизмов ). Случай, когда K — конечное поле, был доказан самим Тейтом в 1960-х годах. Герд Фалтингс доказал случай, когда K — числовое поле, в своей знаменитой «статье Морделла».

В случае якобиана над кривой C над конечным полем k характеристики, простой с p , модуль Тейта можно отождествить с группой Галуа составного расширения

$k(C)\subset {\hat {k}}(C)\subset A^{(p)}\$

где ${\hat {k}}$ является расширением k, содержащим все p корни -степени из единицы и A ^{( п )} является максимальным неразветвленным абелевым p -расширением ${\hat {k}}(C)$.

Модуль Тейта числового поля

Описание модуля Тейта для функционального поля кривой над конечным полем предлагает определение модуля Тейта поля алгебраических чисел , другого класса глобального поля , введенного Кенкичи Ивасавой . Для числового поля K обозначим через K _m расширение через p ^м -силовые корни единства, ${\hat {K}}$ объединение К _м и А ^{( п )} максимальное неразветвленное абелево p -расширение ${\hat {K}}$. Позволять

$T_{p}(K)=\mathrm {Gal} (A^{(p)}/{\hat {K}})\ .$

Тогда Tp _Zp ( K ) — про- p -группа и, следовательно, - _модуль . Используя теорию полей классов, можно описать T _p ( K ) как изоморфное обратному пределу групп классов C _m группы K _m при норме.

Ивасава представил T _p ( K ) как модуль над пополнением Z _p [[ T ]] и отсюда следует формула для показателя p в порядке групп классов C _m вида

$\lambda m+\mu p^{m}+\kappa \ .$

Теорема Ферреро–Вашингтона утверждает, что µ равно нулю.

См. также

• Гипотеза Тейта
• Тейт твист
• Теория Ивасавы

Ссылки

• Фальтингс, Герд (1983), «Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями», Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349–366, Bibcode : 1983InMat..73..349F , doi : 10.1007/BF01388432 , S2CID   121049418
• «Модуль Тейта» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007), Введение в современную теорию чисел , Энциклопедия математических наук, том. 49 (второе изд.), ISBN  978-3-540-20364-3 , ISSN   0938-0396 , Збл   1079.11002
• Мурти, В. Кумар (2000), Введение в абелевы многообразия , Серия монографий CRM, том. 3, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1179-5
• Раздел 13 Рорлих, Дэвид (1994), «Эллиптические кривые и группа Вейля – Делиня», в Кисилевском, Херши; Мурти, М. Рам (ред.), Эллиптические кривые и связанные с ними темы , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 4, Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-6994-9
• Тейт, Джон (1966), «Эндоморфизмы абелевых многообразий над конечными полями», Inventiones Mathematicae , 2 (2): 134–144, Bibcode : 1966InMat...2..134T , doi : 10.1007/bf01404549 , MR   0206004 , S2CID   245902