Измененный диапазон

Масштабированный диапазон представляет собой статистическую меру изменчивости временного ряда, введенную британским гидрологом Гарольдом Эдвином Херстом (1880–1978). Его цель – дать оценку того, как кажущаяся изменчивость ряда меняется в зависимости от продолжительности рассматриваемого периода времени.

Масштабированный диапазон временного ряда рассчитывается путем деления диапазона среднего скорректированного ряда совокупного отклонения (см. раздел «Расчет» ниже) на стандартное отклонение самого временного ряда. Например, рассмотрим временной ряд {1,3,1,0,2,5}, который имеет среднее значение m = 2 и стандартное отклонение S = 1,79. Вычитание m из каждого значения ряда дает среднее скорректированное значение ряда {-1,1,-1,-2,0,3}. Для расчета совокупного ряда отклонений мы берем первое значение -1, затем сумму первых двух значений -1+1=0, затем сумму первых трех значений и так далее, чтобы получить {-1,0,-1,-3. ,-3,0}, диапазон которого равен R = 3, поэтому масштабированный диапазон равен R/S = 1,68.

Если мы рассмотрим тот же временной ряд, но увеличим количество его наблюдений, масштабированный диапазон, как правило, также увеличится. Увеличение масштабированного диапазона можно охарактеризовать, построив график зависимости логарифма R/S от логарифма количества выборок. Наклон H. этой линии дает показатель Херста Если временной ряд генерируется случайным блужданием (или процессом броуновского движения ), он имеет значение H =1/2. Многие физические явления, имеющие длинные временные ряды, подходящие для анализа, имеют показатель Херста больше 1/2. Например, наблюдения за высотой реки Нил , измеряемые ежегодно в течение многих лет, дают значение H = 0,77.

Некоторые исследователи (в том числе Питерс , 1991) обнаружили, что цены многих финансовых инструментов (таких как курсы валют, стоимость акций и т. д.) также имеют H > 1/2. Это означает, что их поведение отличается от случайного блуждания, и поэтому временной ряд не генерируется случайным процессом , который имеет n-е значение, независимое от всех предыдущих значений. По модели Дробное броуновское движение называется долгой памятью положительной линейной автокорреляции. Однако было показано что эта мера верна только для линейной оценки: сложные нелинейные процессы с памятью нуждаются в дополнительных описательных параметрах. Несколько исследований с Ло использованием модифицированная статистика перемасштабированного диапазона также противоречит результатам Петерса.

Расчет

Масштабированный диапазон рассчитывается для временного ряда, $X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,$, следующее:

1. Вычислить среднее значение

   $m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,$

2. Создайте ряд с поправкой на среднее значение

   $Y_{t}=X_{t}-m{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,$

3. Рассчитайте совокупный ряд отклонений Z;

   $Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,$

4. Создайте серию диапазонов R;

   $R_{t}=\max \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right)-\min \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right){\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,$

5. Создайте ряд стандартных отклонений S;

   $S_{t}={\sqrt {{\frac {1}{t}}\sum _{i=1}^{t}\left(X_{i}-m(t)\right)^{2}}}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,$

   Где m(t) — среднее значение временного ряда во времени. $t$ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}\,$

6. Рассчитайте перемасштабированный ряд диапазонов (R/S)

   $\left(R/S\right)_{t}={\frac {R_{t}}{S_{t}}}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,$

Ло (1991) выступает за корректировку стандартного отклонения. $S$ для ожидаемого увеличения дальности $R$ в результате короткодействующей автокорреляции во временном ряду. Это предполагает замену $S$ к ${\hat {S}}$, что является квадратным корнем из

${\hat {S}}^{2}=S^{2}+2\sum _{j=1}^{q}\left(1-{\frac {j}{q+1}}\right)C(j),$

где $q$ — это некоторый максимальный лаг, при котором автокорреляция на близком расстоянии может быть существенной и $C(j)$ это выборочная автоковариация при задержке $j$. Используя этот скорректированный перемасштабированный диапазон, он приходит к выводу, что временные ряды доходности фондового рынка не демонстрируют признаков долговременной памяти.

Реализации

• Код Matlab для расчета R/S, DFA, периодограммной регрессии и вейвлет-оценок показателя Херста и соответствующих им доверительных интервалов доступен на RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Реализация на Python: https://github.com/Mottl/hurst.

См. также

• фрактал
• Дробное броуновское движение
• Толстый хвост

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Херст, HE; Блэк, РП; Симайка, Ю.М. (1965). Длительное хранение: экспериментальное исследование . Лондон: Констебль.
• Беран, Дж. (1994). Статистика процессов с длинной памятью . Чепмен и Холл. ISBN  978-0-412-04901-9 .
• Тиле, Т.А. (2014). «Мультимасштабирование и эффективность фондового рынка в Китае». Обзор финансовых рынков и политики Тихоокеанского бассейна . 17 (4): 1450023. doi : 10.1142/S0219091514500234 .