Трансфинитное число

В математике трансфинитные числа или бесконечные числа — это числа, которые являются « бесконечными » в том смысле, что они больше, чем все конечные числа. К ним относятся трансфинитные кардиналы , которые представляют собой кардинальные числа, используемые для количественной оценки размера бесконечных множеств, и трансфинитные ординалы , которые представляют собой порядковые числа, используемые для упорядочивания бесконечных множеств. ^[1]^[2] Термин «трансфинит» был придуман в 1895 году Георгом Кантором . ^[3]^[4]^[5]^[6] который хотел избежать некоторых значений слова «бесконечный» в связи с этими объектами, которые, тем не менее, не были конечными . ^{[ нужна ссылка ]} Лишь немногие современные писатели разделяют эти сомнения; В настоящее время принято называть трансфинитные кардиналы и порядковые числа бесконечными числами . Тем не менее, термин трансфинитный также продолжает использоваться.

Заметная работа по трансфинитным числам была проделана Вацлавом Серпинским : Leçons sur les nombres transfinis (книга 1928 года), значительно расширенная до кардинальных и порядковых чисел (1958, ^[7] 2-е изд. 1965 год ^[8]).

Определение

Любое конечное натуральное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и как кардинальное. Кардинальные числа определяют размер наборов (например, мешок с пятью шариками), тогда как порядковые числа определяют порядок членов в упорядоченном наборе. ^[9] (например, « третий мужчина слева» или « двадцать седьмой день января»). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия больше не находятся во взаимно однозначном соответствии . Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества. ^[2] в то время как трансфинитный порядковый номер используется для описания местоположения в бесконечно большом упорядоченном множестве. ^[9]^{[ не удалось пройти проверку ]} Наиболее заметными порядковыми и кардинальными числительными являются соответственно:

$\omega$ ( Омега ): наименьшее трансфинитное порядковое число. Это также тип порядка натуральных чисел при их обычном линейном порядке.
$\aleph _{0}$ ( Алеф-нуль ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также мощность натуральных чисел. Если выбранная аксиома верна, следующее более высокое кардинальное число — алеф-один , $\aleph _{1}.$ Если нет, то могут существовать другие кардиналы, несравнимые с алеф-он и большие, чем алеф-нуль. В любом случае между алеф-нуль и алеф-один нет кардиналов.

Гипотеза континуума — это утверждение, что между ними нет промежуточных кардинальных чисел. $\aleph _{0}$ и мощность континуума (мощность множества действительных чисел ): ^[2] или, что эквивалентно, что $\aleph _{1}$ — мощность множества действительных чисел. В теории множеств Цермело–Френкеля невозможно доказать ни гипотезу континуума, ни ее отрицание.

Некоторые авторы, в том числе П. Суппес и Дж. Рубин, используют термин «трансфинитный кардинал» для обозначения мощности дедекиндово-бесконечного множества в контекстах, где это может не быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или не известно, что она выполняется. Учитывая это определение, все следующие утверждения эквивалентны:

${\mathfrak {m}}$ является трансфинитным кардиналом. То есть существует дедекиндово бесконечное множество $A$ такая, что мощность $A$ является ${\mathfrak {m}}.$
${\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.$
$\aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.$
Есть кардинал ${\mathfrak {n}}$ такой, что $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$

Хотя трансфинитные ординалы и кардиналы обобщают только натуральные числа, другие системы чисел, включая гипердействительные числа и сюрреалистические числа , обеспечивают обобщения действительных чисел . ^[10]

Примеры

В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемника. ^[11] Следующее целое число после всех обычных, то есть первое бесконечное целое, называется $\omega$ . В этом контексте $\omega +1$ больше, чем $\omega$ , и $\omega \cdot 2$ , $\omega ^{2}$ и $\omega ^{\omega }$ они еще крупнее. Арифметические выражения, содержащие $\omega$ укажите порядковый номер, и его можно рассматривать как набор всех целых чисел до этого числа. Данное число обычно имеет несколько выражений, которые его представляют, однако существует уникальная нормальная форма Кантора , которая его представляет: ^[11] по существу, конечная последовательность цифр, которые дают коэффициенты убывающих степеней $\omega$ .

Однако не все бесконечные целые числа могут быть представлены нормальной формой Кантора, и первое из них, которое не может быть представлено пределом $\omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}$ и называется $\varepsilon _{0}$ . ^[11] $\varepsilon _{0}$ это самое маленькое решение $\omega ^{\varepsilon }=\varepsilon$ и следующие решения $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...$ давать еще большие порядковые номера, и за ними можно следовать до тех пор, пока не будет достигнут предел $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$ , что является первым решением $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ . Это означает, что для того, чтобы иметь возможность указывать все трансфинитные целые числа, нужно придумать бесконечную последовательность имен: потому что, если бы нужно было указать одно наибольшее целое число, тогда всегда можно было бы упомянуть его больший преемник. Но, как заметил Кантор, ^{[ нужна ссылка ]} даже это позволяет достичь только низшего класса трансфинитных чисел: тех, размер множеств которых соответствует кардинальному числу. $\aleph _{0}$ .

См. также

Ссылки

^ «Определение трансфинитного числа | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 4 декабря 2019 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с «Трансфинитные числа и теория множеств» . www.math.utah.edu . Проверено 4 декабря 2019 г.
^ «Георг Кантор | Биография, вклады, книги и факты» . Британская энциклопедия . Проверено 4 декабря 2019 г.
^ Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (1)» . Математические летописи . 46 (4): 481–512.
^ Георг Кантор (июль 1897 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (2)» . Математические летописи . 49 (2): 207–246.
^ Георг Кантор (1915). Филип Э.Б. Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел (PDF) . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. Английский перевод Кантора (1895, 1897).
^ Окстоби, Дж. К. (1959), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (1-е изд.)», Бюллетень Американского математического общества , 65 (1): 21–23, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10264-0 , МР 1565962
^ Гудстейн, Р.Л. (декабрь 1966 г.), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (2-е изд.)», The Mathematical Gazette , 50 (374): 437, doi : 10.2307/3613997 , JSTOR 3613997
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (3 мая 2023 г.). «Порядковый номер» . mathworld.wolfram.com .
^ Бейер, Вашингтон; Лук, JD (1997), «Итерация трансфинитной функции и сюрреалистические числа», Advances in Applied Mathematics , 18 (3): 333–350, doi : 10.1006/aama.1996.0513 , MR 1436485
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Джон Хортон Конвей (1976) О числах и играх . Академическое издательство, ISBN 0-12-186350-6. (См. главу 3.)

Библиография

Леви, Азриэль, 2002 (1978) Теория базовых множеств . Дуврские публикации. ISBN 0-486-42079-5
О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон (1998) « Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор », Архив истории математики MacTutor .
Рубин, Жан Э. , 1967. «Теория множеств для математика». Сан-Франциско: Холден-Дэй. Основан на теории множеств Морса-Келли .
Руди Ракер , 2005 (1982) Бесконечность и разум . Принстонский университет. Нажимать. В первую очередь исследование философского значения канторовского рая . ISBN 978-0-691-00172-2 .
Патрик Суппес , 1972 (1960) « Аксиоматическая теория множеств ». Дувр. ISBN 0-486-61630-4 . Основан на ZFC .

[1] «Определение трансфинитного числа | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 4 декабря 2019 г.

[:0-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с «Трансфинитные числа и теория множеств» . www.math.utah.edu . Проверено 4 декабря 2019 г.

[3] «Георг Кантор | Биография, вклады, книги и факты» . Британская энциклопедия . Проверено 4 декабря 2019 г.

[4] Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (1)» . Математические летописи . 46 (4): 481–512.

[5] Георг Кантор (июль 1897 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (2)» . Математические летописи . 49 (2): 207–246.

[6] Георг Кантор (1915). Филип Э.Б. Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел (PDF) . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. Английский перевод Кантора (1895, 1897).

[oxtoby-7] Окстоби, Дж. К. (1959), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (1-е изд.)», Бюллетень Американского математического общества , 65 (1): 21–23, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10264-0 , МР 1565962

[goodstein-8] Гудстейн, Р.Л. (декабрь 1966 г.), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (2-е изд.)», The Mathematical Gazette , 50 (374): 437, doi : 10.2307/3613997 , JSTOR 3613997

[:1-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (3 мая 2023 г.). «Порядковый номер» . mathworld.wolfram.com .

[10] Бейер, Вашингтон; Лук, JD (1997), «Итерация трансфинитной функции и сюрреалистические числа», Advances in Applied Mathematics , 18 (3): 333–350, doi : 10.1006/aama.1996.0513 , MR 1436485

[ONG-11] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Джон Хортон Конвей (1976) О числах и играх . Академическое издательство, ISBN 0-12-186350-6. (См. главу 3.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т и Бесконечность ( $\infty$ )
History	Ananta (infinite) Apeiron Controversy over Cantor's theory Galileo's paradox Hilbert's paradox of the Grand Hotel Infinity (philosophy) Paradoxes of infinity Paradoxes of set theory
Branches of mathematics	Complex analysis Internal set theory Nonstandard analysis Set theory Synthetic differential geometry
Formalizations of infinity	0.999... Absolute infinite Actual infinity Aleph number Beth number Cardinal numbers Cardinality of the continuum Dedekind-infinite set Directed infinity Division by zero (Complex infinity) Epsilon number Gimel function Hilbert space Hyperreal numbers Infinite set Infinitesimal Ordinal numbers Point at infinity Regular cardinal Sphere at infinity (Kleinian group) Supertask Surreal numbers Transfinite numbers
Geometries	Differential geometry of surfaces Möbius plane Möbius transformation Riemannian manifold
Mathematicians	Georg Cantor David Hilbert Gottfried Wilhelm Leibniz August Ferdinand Möbius Bernhard Riemann Abraham Robinson