Проблема множественной общности

Проблема множественной общности связана с неспособностью традиционной логики описать некоторые интуитивно верные выводы. Например, интуитивно понятно, что если:

Какую-то кошку боится каждая мышь

тогда логически следует, что:

Все мыши боятся хотя бы одного кота .

Синтаксис традиционной логики (TL) допускает ровно четыре типа предложений: «Все как являются B», «Нет как B», «Некоторые как B» и «Некоторые как не B». Каждый тип представляет собой кванторное предложение, содержащее ровно один квантор. Поскольку каждое из приведенных выше предложений содержит два квантора («некоторые» и «каждый» в первом предложении и «все» и «по крайней мере один» во втором предложении), они не могут быть адекватно представлены в TL. Лучшее, что может сделать TL, — это включить второй квантификатор из каждого предложения во второй термин, сделав таким образом искусственно звучащие термины «боится каждой мыши» и «боится хотя бы одной кошки». По сути, это «похоронит» эти кванторы, которые необходимы для достоверности вывода, внутри терминов, написанных через дефис. Следовательно, предложению «Какого-то кота боится каждая мышь» придается та же логическая форма , что и предложению «Какой-то кот голоден». Итак, логическая форма в TL:

Некоторые «А» — «Б»

Все Cs являются Ds

что явно неверно.

Первым логическим исчислением, способным справиться с такими выводами, был Готлоба Фреге ( Begriffsschrift 1879), родоначальник современной логики предикатов , который имел дело с кванторами посредством привязок переменных. Скромно говоря, Фреге не утверждал, что его логика была более выразительной, чем существующие логические исчисления, но комментаторы логики Фреге считают это одним из его ключевых достижений.

Используя современное исчисление предикатов , мы быстро обнаруживаем, что это утверждение неоднозначно.

Какую-то кошку боится каждая мышь

может означать (какую-то кошку боятся) каждая мышь (перефразируя как «Каждая мышь боится какой-то кошки» ), т.е.

Для каждой мыши m существует кот c, которого m боится c,

$\forall m\,(\,{\text{Mouse}}(m)\rightarrow \exists c\,({\text{Cat}}(c)\land {\text{Fears}}(m,c))\,)$

в этом случае вывод тривиален.

Но это также может означать, что какая-то кошка (боится каждая мышь) (перефразируем как « Есть кошка, которую боятся все мыши »), т.е.

Существует один кот c, такой, что для каждой мыши m m боится c.

$\exists c\,(\,{\text{Cat}}(c)\land \forall m\,({\text{Mouse}}(m)\rightarrow {\text{Fears}}(m,c))\,)$

Этот пример иллюстрирует важность указания области действия таких кванторов, как «все» и «существует» .

Дальнейшее чтение

• Патрик Суппес , «Введение в логику» , Д. Ван Ностранд, 1957, ISBN   978-0-442-08072-3 .
• А. Г. Гамильтон, Логика для математиков , издательство Кембриджского университета, 1978, ISBN   0-521-29291-3 .
• Пол Халмос и Стивен Гивант, Логика как алгебра , MAA, 1998, ISBN   0-88385-327-2 .