Метод равных долей

Метод равных долей ^[1]^[2]^[3]^[4] пропорциональный метод подсчета голосов, применяемый при совместном бюджетировании , ^[2] на выборы в комитеты , ^[3] и одновременным общественным решениям. ^[4]^[5] Его можно использовать, когда избиратели голосуют посредством одобрительных бюллетеней , рейтинговых бюллетеней или кардинальных бюллетеней . Он работает путем разделения доступного бюджета на равные части, которые распределяются между каждым избирателем. Методом разрешено использовать только долю бюджета избирателя для реализации проектов, за которые проголосовал избиратель. Затем он неоднократно находит проекты, которые можно реализовать за счет бюджетных долей поддерживающих избирателей. В контекстах, отличных от совместного составления бюджета, этот метод работает путем поровну деления абстрактного бюджета «голосующей силы». ^[1]

В 2023 году метод равных долей использовался в программе совместного бюджетирования в польском городе Величка . ^[6] Программа, известная как Зеленый миллион ( Zielony Milion ), была направлена на распределение 1 миллиона злотых на экологические проекты, предложенные жителями города. Его также планировалось использовать в программе совместного бюджетирования в швейцарском городе Аарау в 2023 году ( Stadtidee ). ^[7]

Использование в академической литературе

Метод равных долей впервые обсуждался в контексте выборов в комитеты в 2019 году, первоначально под названием «Правило X». ^[1]^[3]^[4] С 2022 года в литературе это правило именуется методом равных долей , особенно в контексте алгоритмов совместного составления бюджета . ^[2]^[8] Этот метод можно описать как член класса методов голосования, называемых правилами расширения утверждений, введенными ранее в 2019 году Азизом и Ли для порядковых предпочтений (которые включают бюллетени для одобрения). ^[9]

Мотивация

Этот метод является альтернативой алгоритму ранца , который используется в большинстве городов, хотя это и непропорциональный метод. Например, если 51 процент населения поддерживает 10 красных проектов, а 49 процентов поддерживают 10 синих проектов, а денег хватает только на 10 проектов, при составлении ранцевого бюджета выберем 10 красных, поддерживаемых 51 процентом, и вообще проигнорируем 49 процентов. . ^[10] Напротив, метод равных долей позволит выбрать 5 синих и 5 красных проектов.

Этот метод гарантирует пропорциональное представительство : он удовлетворяет сильному варианту аксиомы обоснованного представительства, адаптированной к совместному бюджетированию. ^[2] Это говорит о том, что группа из X процентов населения будет иметь X процентов бюджета, потраченного на проекты, поддерживаемые группой (при условии, что все члены группы проголосовали одинаково или, по крайней мере, одинаково).

Интуитивное объяснение

В контексте партисипаторного бюджетирования метод предполагает, что муниципальный бюджет первоначально равномерно распределяется среди избирателей. Каждый раз, когда проект выбирается, его стоимость делится между теми избирателями, которые поддержали проект и у которых еще есть деньги. Соответственно уменьшаются сбережения этих избирателей. Если избиратели голосуют посредством одобрительных бюллетеней , то стоимость выбранного проекта распределяется поровну между избирателями; если они голосуют кардинальными бюллетенями , то стоимость распределяется пропорционально полезностям, которые избиратели получают от проекта. Правило отбирает проекты, которые могут быть оплачены таким образом, начиная с тех, которые минимизируют предельные издержки избирателей на коммунальные услуги.

Пример 1

Следующий пример со 100 избирателями и 9 проектами иллюстрирует, как работает это правило. В этом примере общий бюджет равен $1000, то есть позволяет выбрать пять из девяти доступных проектов. См. анимированную диаграмму ниже, которая иллюстрирует поведение правила.

MethodOfEqualShares-Example1.png

Есть 9 проектов. Например, третья группа из 11 избирателей проголосовала за D и G. Общий бюджет в 1000 долларов делится поровну между 100 избирателями. Каждому избирателю дается 10. Нажмите на стрелку над изображением, чтобы увидеть следующие шаги метода.
Есть 9 проектов. Например, третья группа из 11 избирателей проголосовала за D и G. Общий бюджет в 1000 долларов делится поровну между 100 избирателями. Каждому избирателю дается 10. Нажмите на стрелку над изображением, чтобы увидеть следующие шаги метода.
Проект D получил большинство голосов. Если бы мы разделили стоимость D поровну между его сторонниками, каждый избиратель заплатил бы 3,03 доллара. D — это проект, который минимизирует максимальный платеж избирателя, и поэтому он выбран.
Проект А получил 60 голосов. Аналогично предыдущему шагу: если мы разделим стоимость А поровну между его сторонниками, каждый избиратель заплатит не более 3,33 доллара. Проект А минимизирует максимальную оплату избирателей и поэтому выбран.
Проект C получил 56 голосов и выбран в третьем туре. Каждому стороннику C необходимо заплатить $3,64, и это минимально возможный платеж. На данный момент у первых 46 избирателей заканчиваются деньги.
На четвертом этапе выбирается проект G. Некоторым избирателям не хватает денег для равноправного участия в покупке, поэтому они платят все оставшиеся деньги. Максимальная выплата для этого кандидата составляет $6,97.
На последнем этапе выбирается проект H. Сейчас деньги есть только у четвертой группы избирателей. У них достаточно денег, чтобы позволить себе проект, за который они проголосовали. Максимальная выплата по выбранному проекту теперь составляет 10 долларов США.

Бюджет сначала делится поровну между избирателями, таким образом, каждый избиратель получает по 10 долларов. Проект $\mathrm {D}$ получил большинство голосов и выбирается в первом туре. Если мы разделим стоимость $\mathrm {D}$ поровну среди избирателей, поддержавших $\mathrm {D}$ , каждый из них заплатит $\$200/66\approx \$3.03$ . Напротив, если мы выбрали, например, $\mathrm {E}$ , то стоимость одного избирателя будет равна $\$200/46\approx \$4.34$ . Метод сначала выбирает проект, который минимизирует цену на одного избирателя.

Обратите внимание, что на последнем этапе проекта $\mathrm {H}$ был выбран, хотя были проекты, поддержанные большим количеством избирателей, скажем $\mathrm {E}$ . Это потому, что деньги, которые сторонники $\mathrm {E}$ имело право на контроль, ранее использовалось для оправдания выбора $\mathrm {D}$ , $\mathrm {A}$ , и $\mathrm {C}$ . С другой стороны, избиратели, проголосовавшие за $\mathrm {H}$ образуют 20 процентов населения и поэтому имеют право определять около 20 процентов бюджета. Эти избиратели поддержали только $\mathrm {H}$ , и именно поэтому был выбран этот проект.

Более подробный пример, включающий кардинальное голосование, см. в примере 2 .

Определение

В этом разделе представлено определение правила кардинального голосования . См . обсуждение того, как применять это определение к бюллетеням для одобрения и рейтинговым голосованиям .

У нас есть набор проектов $P=\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}\}$ , и набор избирателей $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ . Для каждого проекта $p\in P$ позволять $\mathrm {cost} (p)$ обозначим его стоимость, и пусть $b$ обозначают размер имеющегося муниципального бюджета. За каждого избирателя $i\in N$ и каждый проект $p\in P$ позволять $u_{i}(p)$ обозначают $i$ кардинальное голосование по $c$ , это число, которое количественно характеризует уровень признательности избирателя $i$ к проекту $p$ .

Метод равных долей работает по раундам. Вначале он помещает равную часть бюджета на виртуальный банковский счет каждого избирателя. $b_{i}=b/n$ . В каждом раунде метод выбирает один проект в соответствии со следующей процедурой.

Для каждого еще не выбранного проекта $p\in P$ метод пытается распределить стоимость проекта пропорционально количеству бюллетеней, представленных избирателями, принимая во внимание тот факт, что у некоторых избирателей, возможно, уже закончились деньги. Формально для $\rho \geq 0$ , мы говорим, что еще не выбранный проект $p$ является $\rho$ -доступно, если
${\begin{aligned}\sum _{i\in N}\min \left(b_{i},u_{i}(p)\cdot \rho \right)=\mathrm {cost} (p){\text{.}}\end{aligned}}$
Интуитивно, если проект $p$ является $\rho$ Если проект является доступным, то стоимость проекта может быть распределена среди избирателей таким образом, чтобы каждый избиратель платил не более цены за коммунальные услуги. $\rho$ .
Если нет $\rho$ -доступных проектов, то метод равных долей заканчивается. Это происходит, когда для каждого еще не выбранного проекта $p$ оставшаяся сумма денег на частных счетах избирателей, подавших положительные результаты голосования по $p$ ниже, чем стоимость $p$ : $\textstyle \sum _{i\in N\colon u_{i}(p)>0}b_{i}<\mathrm {cost} (p){\text{.}}$ Может случиться так, что когда метод завершится, останется еще немного денег, которые позволят профинансировать еще несколько проектов. Эти деньги можно потратить с помощью простой жадной процедуры отбора оставшихся проектов. $p$ начиная с тех, у кого наименьший коэффициент $\mathrm {cost} (p)/\textstyle \sum _{i\in N}u_{i}(p)$ , пока бюджет не будет исчерпан. Однако метод равных долей сохраняет большую часть своих свойств независимо от того, на что расходуется оставшийся бюджет.
Если есть хотя бы один еще не выбранный $\rho$ -доступный проект, метод выбирает проект $p$ то есть $\rho$ - доступная цена за минимальную стоимость. $\rho$ (проект, который минимизирует цену за коммунальные услуги, которую должны платить избиратели). Бюджеты избирателей обновляются соответствующим образом: по каждому $i\in N$ метод устанавливает $b_{i}:=\max(0,b_{i}-u_{i}(p)\cdot \rho )$ .

Пример 2

Следующая диаграмма иллюстрирует поведение метода.

MethodOfEqualShares-Example2.png
Доступно 8 проектов и 250 избирателей. Например, первые 65 избирателей присваивают значение 30 проекту B и значение 10 проектам E и G. Общий бюджет в 2500 долларов делится поровну между 250 избирателями. Каждому избирателю дается 10 долларов. Нажмите на стрелку над изображением, чтобы увидеть следующие шаги метода.
Доступно 8 проектов и 250 избирателей. Например, первые 65 избирателей присваивают значение 30 проекту B и значение 10 проектам E и G. Общий бюджет в 2500 долларов делится поровну между 250 избирателями. Каждому избирателю дается 10 долларов. Нажмите на стрелку над изображением, чтобы увидеть следующие шаги метода.
Проект Б выбирается первым, и его стоимость делится пропорционально ценностям, которые избиратели присвоили проекту. В данном случае это означает, что оно разделено поровну между избирателями первой и второй группы. Каждый такой избиратель платит 2 доллара, и за эти 2 доллара он получает полезность, равную 30. Таким образом, максимальная плата за полезность равна $2/30\approx 0.066$ . Если бы был выбран другой проект, максимальная плата за коммунальные услуги была бы выше.
Рассмотрим проект G и платежи, представленные на рисунке. Платежи не равны, но они все же пропорциональны значениям, которые избиратели присвоили G. Максимальный платеж избирателя за коммунальные услуги для проекта G равен $1/10=4/40=10/100=0.1$ и это значение минимально во всех проектах. Следовательно, выбран G. После этого тура у избирателей четвертой группы закончились деньги.
В третьем туре выбирается проект F. Каждый сторонник F платит равную часть цены - за исключением избирателей четвертой группы, у которых нет денег. Если бы они были, им также пришлось бы принять участие. Тем не менее, максимальная плата за полезность для проекта F минимальна (она равна 0,2), поэтому выбран F.
В четвертом туре избирается проект Е. Рассмотрим платежи, представленные на картинке, и отметим, что у избирателей из третьей группы слишком мало денег, чтобы участвовать в оплате коммунальных услуг пропорционально, но у них у всех еще осталось по 4 доллара. В таком случае они платят все деньги, которые у них еще есть. Максимальная плата за коммунальные услуги (выплачиваемая избирателями первой группы) минимальна и составляет около 0,54.
На последнем этапе выбирается проект C. У избирателей второй и шестой групп слишком мало денег, чтобы участвовать в оплате коммунальных услуг пропорционально, поэтому они платят как можно больше. Максимальная плата за коммунальные услуги выплачивается для пятой группы избирателей и равна 0,7.
Правило потратило 2380 долларов из 2500 долларов бюджета. Пока избиратели первой и пятой группы имеют положительные сбережения, ни один проект их сторонникам не по карману. Следовательно, алгоритм останавливается. Результат может быть дополнительно дополнен. Согласно утилитарной стратегии, проект H будет выбран, поскольку его стоимость на единицу полезности равна $110/(2\cdot 50+1\cdot 10+1\cdot 55)$ и является максимальным для проектов, которые соответствуют бюджетному ограничению.

Обсуждение

В этом разделе обсуждаются другие варианты метода равных долей.

Другие типы бюллетеней

Метод равных долей может быть использован и при других типах бюллетеней для голосования.

Одобрительные бюллетени

Этот метод можно применить двумя способами к ситуации, когда избиратели голосуют, отмечая проекты, которые им нравятся (см. Пример 1 ):

Параметр $u_{i}(p)=\mathrm {cost} (p)$ если проект $p$ одобрен избирателем $i$ , и $u_{i}(p)=0$ в противном случае. Это предполагает, что полезность избирателя равна общей сумме денег, потраченных на проекты, поддержанные избирателем. Это предположение обычно используется в других методах подсчета бюллетеней для совместного составления бюджета, например, в алгоритме ранца , и обычно приводит к выбору меньшего количества более дорогих проектов.
Параметр $u_{i}(p)=1$ если проект $p$ одобрен избирателем $i$ , и $u_{i}(p)=0$ в противном случае. Это предполагает, что полезность избирателя равна числу одобренных выбранных проектов. Обычно это приводит к выбору большего количества, но менее дорогих проектов.

Рейтинговые бюллетени

Метод применим к модели, в которой избиратели голосуют, ранжируя проекты от наиболее к наименее предпочтительному. Предполагая лексикографические предпочтения , можно использовать соглашение, согласно которому $u_{i}(p)$ зависит от позиции проекта $p$ в избирателе $i$ рейтинг, и это $u_{i}(p)/u_{i}(p')\to \infty$ , в любое время $i$ ранги $p$ как более предпочтительный, чем $p'$ .

Формально метод определяется следующим образом.

За каждого избирателя $i\in N$ позволять $\succ _{i}$ обозначают рейтинг избирателя $i$ над проектами. Например, $Y\succ _{i}X\succ _{i}Z$ означает, что $Y$ является наиболее предпочтительным проектом с точки зрения избирателя $i$ , $X$ является вторым наиболее предпочтительным проектом избирателей и $Z$ является наименее предпочтительным проектом. В этом примере мы говорим, что проект $Y$ занимает первое место и напишите $\mathrm {pos} _{i}(Y)=1$ , проект $X$ занимает второе место ( $\mathrm {pos} _{i}(X)=2$ ), и $Z$ на третьем месте ( $\mathrm {pos} _{i}(Z)=3$ ).

Каждому избирателю изначально выделяется равная часть бюджета. $b_{i}=b/n$ . Правило действует по раундам, в каждом раунде:

Для каждого еще не выбранного проекта $p\in P$ мы говорим это $p$ является $\delta$ -доступно, если остаток бюджета избирателей, получивших ранг $p$ на позиции $\delta$ или лучше больше или равно $\mathrm {cost} (p)$ :
${\begin{aligned}\sum _{i\in N\colon \mathrm {pos} _{i}(p)\leq \delta }b_{i}\geq \mathrm {cost} (p){\text{.}}\end{aligned}}$
Если ни один проект не является доступным, правило прекращает действовать. Это происходит, когда общий остаток бюджета избирателей $\textstyle \sum _{i\in N}b_{i}$ ниже, чем стоимость каждого еще не выбранного проекта.
Если есть доступные проекты, правило выбирает еще не выбранный проект. $p$ ${\ displaystyle p}$ то есть $\delta$ $\delta$ - доступная цена за минимальную стоимость. $\delta$ $\delta$ . Бюджеты избирателей обновляются соответствующим образом. Во-первых, затраты поровну распределяются среди избирателей, получивших рейтинг $p$ ${\ displaystyle p}$ на первой позиции. Если бюджетов этих избирателей недостаточно для покрытия стоимости проекта, оставшаяся часть расходов далее распределяется поровну между избирателями, получившими рейтинг. $p$ ${\ displaystyle p}$ на второй позиции и т. д. Формально начнем с $\delta :=1$ $\delta:=1$ и $\mathrm {cost} :=\mathrm {cost} (p)$ $\mathrm {стоимость}:=\mathrm {стоимость} (p)$ и продолжаем цикл:
1. Если $\textstyle \sum _{i\in N\colon \mathrm {pos} _{i}(p)=\delta }b_{i}\geq \mathrm {cost}$ тогда мы находим $\rho$ такой, что $\textstyle \sum _{i\in N\colon \mathrm {pos} _{i}(p)=\delta }\min(\rho ,b_{i})=\mathrm {cost}$ и для каждого избирателя $i\in N$ с $\mathrm {pos} _{i}(p)=\delta$ мы устанавливаем $b_{i}:=\max(0,b_{i}-\rho )$ .
2. В противном случае мы обновляем стоимость: $\mathrm {cost} :=\mathrm {cost} -\textstyle \sum _{i\in N\colon \mathrm {pos} _{i}(p)=\delta }b_{i}$ . Мы поручаем избирателям: за каждого избирателя $i\in N$ с $\mathrm {pos} _{i}(p)=\delta$ мы устанавливаем $b_{i}:=0$ и перейти к следующей позиции $\delta :=\delta +1$ .

Выборы комитетов

В контексте выборов в комитеты проекты обычно называются кандидатами. Предполагается, что стоимость каждого кандидата равна единице; тогда бюджет $b$ можно интерпретировать как количество кандидатов в комитете, которое должно быть выбрано.

Неизрасходованный бюджет

Метод равных долей позволяет вернуть набор проектов, не исчерпывающий весь бюджет. Существует несколько способов использования неизрасходованного бюджета:

Утилитарный метод: проекты $p$ выбираются в порядке ${\frac {\sum _{i\in N}u_{i}(p)}{\mathrm {cost} (p)}}$ до тех пор, пока в рамках бюджетного лимита не будет выбран дальнейший проект.
Корректировка начального бюджета: начальный бюджет может быть скорректирован до максимально возможного значения, что позволяет методу выбирать проекты, общая стоимость которых не превышает нескорректированный бюджет.

Сравнение с другими методами голосования

В контексте выборов в комитет этот метод часто сравнивают с голосованием по пропорциональному одобрению (PAV) , поскольку оба метода являются пропорциональными (они удовлетворяют аксиоме расширенного обоснованного представительства (EJR) ). ^[11]^[3] Разницу между этими двумя методами можно описать следующим образом.

Метод равных долей (MES) вычислим за полиномиальное время, а PAV NP-трудно вычислить. Последовательный вариант PAV вычислим за полиномиальное время, но не удовлетворяет обоснованному представлению .
PAV является оптимальным по Парето , а MES – нет.
MES стоит дорого . Это означает, что ^[3] можно назначить фиксированный бюджет каждому избирателю и разделить бюджет каждого избирателя между кандидатами, которых он одобряет, так, что каждый избранный кандидат «покупается» кандидатами, которые его одобряют, и ни один неизбранный кандидат не может быть куплен на оставшиеся деньги избиратели, которые его одобряют. MES можно рассматривать как реализацию равновесия Линдаля в дискретной модели с предположением, что клиенты, совместно использующие товар, должны платить за этот товар одинаковую цену. ^[12]
MES распространяется на совместное составление бюджета и кардинальное голосование , тогда как PAV не удовлетворяет требованиям расширенного обоснованного представительства (EJR) при его применении ни к совместному составлению бюджета , ни к кардинальному голосованию . ^[2]

MES аналогичен последовательному правилу Фрагмена . Разница в том, что в МЧС избирателям заранее выдаются бюджеты, тогда как в последовательном правлении Фрагмена избиратели зарабатывают деньги непрерывно в течение долгого времени. ^[13]^[14] Методы сравниваются следующим образом:

Оба метода вычислимы за полиномиальное время, оба являются затратными, ^[3] и оба могут не соответствовать Парето-оптимальности . ^[1]
MES удовлетворяет расширенному обоснованному представлению (EJR) , в то время как последовательное правило Phragmen удовлетворяет пропорциональному обоснованному представлению, более слабому варианту свойства. ^[2]^[13]
Последовательное правило Фрагмена удовлетворяет монотонности комитета, тогда как MES не соответствует этому свойству. ^[1]^{: Приложение А}
МЧС распространяется на совместное составление бюджета с кардинальным голосованием , чего нельзя сказать о последовательном правиле Фрагмена. ^[2]

МЧС с корректировкой первоначального бюджета, правила голосования PAV и Фрагмена можно рассматривать как расширение метода Д'Ондта , позволяющее избирателям голосовать за отдельных кандидатов, а не за политические партии. ^[15]^[3] MES также распространяется на совместное составление бюджета . ^[2]

Выполнение

Ниже приведена реализация метода на Python, применимая к совместному бюджетированию. Для модели выборов в комитеты правила реализованы как часть пакета Python abcvoting .

import math

def method_of_equal_shares(N, C, cost, u, b):
    """Method of Equal Shares

    Args:
      N:     a list of voters.
      C:     a list of projects (candidates).
      cost:  a dictionary that assigns each project its cost.
      b:     the total available budget.
      u:     a dictionary; u[c][i] is the value that voter i assigns to candidate c.
             an empty entry means that the corresponding value u[c][i] equals 0.
    """
    W = set()
    total_utility = {c: sum(u[c].values()) for c in C}
    supporters = {c: set([i for i in N if u[c][i] > 0]) for c in C}
    budget = {i: b / len(N) for i in N}
    while True:
        next_candidate = None
        lowest_rho = float("inf")
        for c in C.difference(W):
            if _leq(cost[c], sum([budget[i] for i in supporters[c]])):
                supporters_sorted = sorted(supporters[c], key=lambda i: budget[i] / u[c][i])
                price = cost[c]
                util = total_utility[c]
                for i in supporters_sorted:
                    if _leq(price * u[c][i], budget[i] * util):
                        break
                    price -= budget[i]
                    util -= u[c][i]
                rho = price / util \
                        if not math.isclose(util, 0) and not math.isclose(price, 0) \
                        else budget[supporters_sorted[-1]] / u[c][supporters_sorted[-1]]
                if rho < lowest_rho:
                    next_candidate = c
                    lowest_rho = rho
        if next_candidate is None:
            break
        W.add(next_candidate)
        for i in N:
            budget[i] -= min(budget[i], lowest_rho * u[next_candidate][i])
    return _complete_utilitarian(N, C, cost, u, b, W)  # one of the possible completions

def _complete_utilitarian(N, C, cost, u, b, W):
    util = {c: sum([u[c][i] for i in N]) for c in C}
    committee_cost = sum([cost[c] for c in W])
    while True:
        next_candidate = None
        highest_util = float("-inf")
        for c in C.difference(W):
            if _leq(committee_cost + cost[c], b):
                if util[c] / cost[c] > highest_util:
                    next_candidate = c
                    highest_util = util[c] / cost[c]
        if next_candidate is None:
            break
        W.add(next_candidate)
        committee_cost += cost[next_candidate]
    return W

def _leq(a, b):
    return a < b or math.isclose(a, b)

Расширения

Файрштейн, Меир и Гал ^[16] расширить MES до условий, в которых некоторые проекты могут быть товарами-заменителями .

Эмпирическая поддержка

Файрштейн, Бенаде и Галь ^[17] сравните MES с методами жадного агрегирования. Они обнаружили, что жадное агрегирование приводит к результатам, которые очень чувствительны к используемому входному формату и доле населения, которое участвует. Напротив, MES приводит к результатам, которые не зависят от типа используемого формата голосования. Это означает, что MES можно использовать с бюллетенями для одобрения, порядковыми или кардинальными бюллетенями без особой разницы в результате. Эти результаты стабильны даже тогда, когда в выборах участвует только от 25 до 50 процентов населения.

Файрштейн, Меир, Виленчик и Галь ^[18] изучить варианты МЧС как на реальных, так и на синтетических наборах данных. Они обнаруживают, что эти варианты очень хорошо работают на практике как с точки зрения социального обеспечения , так и с точки зрения обоснованного представительства .

Внешние ссылки

Веб-сайт, объясняющий и обсуждающий метод равных долей на нескольких языках.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Лакнер, Мартин; Сковрон, Петр (2023). Голосование за несколько победителей с предпочтениями одобрения . SpringerBriefs в интеллектуальных системах. arXiv : 2007.01795 . дои : 10.1007/978-3-031-09016-5 . ISBN 978-3-031-09015-8 . S2CID 244921148 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Петерс, Доминик; Перчинский, Гжегож; Сковрон, Петр (2021). «Пропорциональное совместное бюджетирование с аддитивными утилитами» . Материалы конференции 2021 года по нейронным системам обработки информации . НейрИПС'21. arXiv : 2008.13276 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Петерс, Доминик; Сковрон, Петр (2020). «Пропорциональность и пределы благосостояния». Материалы 21-й конференции ACM по экономике и вычислениям . ЕС'20. стр. 793–794. arXiv : 1911.11747 . дои : 10.1145/3391403.3399465 . ISBN 9781450379755 . S2CID 208291203 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Фриман, Руперт; Кан, Энсон; Пеннок, Дэвид (2020). «Пропорциональность на выборах, основанных на одобрении, с переменным числом победителей» . Материалы двадцать девятой Международной совместной конференции по искусственному интеллекту . IJCAI'20. Том. 1. С. 132–138. дои : 10.24963/ijcai.2020/19 . ISBN 978-0-9992411-6-5 . S2CID 211052991 .
^ Конитцер, Винсент; Фриман, Руперт; Шах, Нисарг (2017). «Справедливое принятие общественных решений». Материалы конференции ACM по экономике и вычислениям 2017 года . ЕС'17. стр. 629–646. arXiv : 1611.04034 . дои : 10.1145/3033274.3085125 . ISBN 9781450345279 . S2CID 30188911 .
^ «Green Million – инновационный проект БО стартует в Величке [ВИДЕО]» . Głos24 (на польском языке). 09.03.2023 . Проверено 11 марта 2023 г.
^ Город Аарау. «Этап голосования – идея города Аарау» . stadtidee.aarau.ch . Проверено 11 марта 2023 г.
^ Рей, Саймон; Малый, Ян (08.03.2023). «(Вычислительный) социальный выбор при неделимом совместном бюджетировании». arXiv : 2303.00621 [ cs.GT ].
^ Азиз, Харис; Ли, Бартон Э. (2019). «Пропорционально репрезентативное совместное бюджетирование с порядковыми предпочтениями». arXiv : 1911.00864 [ cs.GT ].
^ Флюшник, Тилль; Сковрон, Петр; Трифаус, Мервин; Уилкер, Кай (17 июля 2019 г.). «Честный рюкзак» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 33 : 1941–1948. дои : 10.1609/aaai.v33i01.33011941 . ISSN 2374-3468 .
^ Азиз, Харис; Брилл, Маркус; Конитцер, Винсент; Элкинд, Эдит; Фриман, Руперт; Уолш, Тоби (2017). «Оправданное представительство при голосовании в комитете на основе одобрения» . Социальный выбор и благосостояние . 48 (2): 461–485. arXiv : 1407.8269 . дои : 10.1007/s00355-016-1019-3 . S2CID 8564247 .
^ Петерс, Доминик; Перчинский, Гжегож; Шах, Нисарг; Сковрон, Петр (2021). «Рыночные объяснения коллективных решений» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . АААИ'21. 35 (6): 5656–5663. дои : 10.1609/aaai.v35i6.16710 . S2CID 222132258 .
^ Jump up to: ^а ^б Янсон, Сванте (12 октября 2018 г.). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].
^ Брилл, Маркус; Фриман, Руперт; Янсон, Сванте; Лакнер, Мартин (10 февраля 2017 г.). «Методы голосования Фрагмена и обоснованное представительство» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 31 (1). arXiv : 2102.12305 . дои : 10.1609/aaai.v31i1.10598 . ISSN 2374-3468 . S2CID 2290202 .
^ Брилл, Маркус; Ласлье, Жан-Франсуа; Сковрон, Петр (2018). «Правила утверждения нескольких победителей как методы распределения». Журнал теоретической политики . 30 (3): 358–382. arXiv : 1611.08691 . дои : 10.1177/0951629818775518 . S2CID 10535322 .
^ Файрштейн, Рой; Меир, Решеф; Гал, Коби (2021). «Пропорциональное совместное бюджетирование с замещающими проектами». arXiv : 2106.05360 [ cs.GT ].
^ Файрштейн, Рой; Бенаде, Гердус; Гал, Коби (2023). «Разработка совместного бюджетирования для реального мира». arXiv : 2302.13316 [ cs.GT ].
^ Файрштейн, Рой; Меир, Решеф; Виленчик, Дэн; Гал, Коби (2022). «Благосостояние против представительства в совместном бюджетировании». arXiv : 2201.07546 [ cs.GT ].

[:3-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Лакнер, Мартин; Сковрон, Петр (2023). Голосование за несколько победителей с предпочтениями одобрения . SpringerBriefs в интеллектуальных системах. arXiv : 2007.01795 . дои : 10.1007/978-3-031-09016-5 . ISBN 978-3-031-09015-8 . S2CID 244921148 .

[:0-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Петерс, Доминик; Перчинский, Гжегож; Сковрон, Петр (2021). «Пропорциональное совместное бюджетирование с аддитивными утилитами» . Материалы конференции 2021 года по нейронным системам обработки информации . НейрИПС'21. arXiv : 2008.13276 .

[:1-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Петерс, Доминик; Сковрон, Петр (2020). «Пропорциональность и пределы благосостояния». Материалы 21-й конференции ACM по экономике и вычислениям . ЕС'20. стр. 793–794. arXiv : 1911.11747 . дои : 10.1145/3391403.3399465 . ISBN 9781450379755 . S2CID 208291203 .

[:2-4] Jump up to: ^а ^б ^с Фриман, Руперт; Кан, Энсон; Пеннок, Дэвид (2020). «Пропорциональность на выборах, основанных на одобрении, с переменным числом победителей» . Материалы двадцать девятой Международной совместной конференции по искусственному интеллекту . IJCAI'20. Том. 1. С. 132–138. дои : 10.24963/ijcai.2020/19 . ISBN 978-0-9992411-6-5 . S2CID 211052991 .

[5] Конитцер, Винсент; Фриман, Руперт; Шах, Нисарг (2017). «Справедливое принятие общественных решений». Материалы конференции ACM по экономике и вычислениям 2017 года . ЕС'17. стр. 629–646. arXiv : 1611.04034 . дои : 10.1145/3033274.3085125 . ISBN 9781450345279 . S2CID 30188911 .

[6] «Green Million – инновационный проект БО стартует в Величке [ВИДЕО]» . Głos24 (на польском языке). 09.03.2023 . Проверено 11 марта 2023 г.

[7] Город Аарау. «Этап голосования – идея города Аарау» . stadtidee.aarau.ch . Проверено 11 марта 2023 г.

[8] Рей, Саймон; Малый, Ян (08.03.2023). «(Вычислительный) социальный выбор при неделимом совместном бюджетировании». arXiv : 2303.00621 [ cs.GT ].

[:20-9] Азиз, Харис; Ли, Бартон Э. (2019). «Пропорционально репрезентативное совместное бюджетирование с порядковыми предпочтениями». arXiv : 1911.00864 [ cs.GT ].

[:6-10] Флюшник, Тилль; Сковрон, Петр; Трифаус, Мервин; Уилкер, Кай (17 июля 2019 г.). «Честный рюкзак» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 33 : 1941–1948. дои : 10.1609/aaai.v33i01.33011941 . ISSN 2374-3468 .

[:4-11] Азиз, Харис; Брилл, Маркус; Конитцер, Винсент; Элкинд, Эдит; Фриман, Руперт; Уолш, Тоби (2017). «Оправданное представительство при голосовании в комитете на основе одобрения» . Социальный выбор и благосостояние . 48 (2): 461–485. arXiv : 1407.8269 . дои : 10.1007/s00355-016-1019-3 . S2CID 8564247 .

[12] Петерс, Доминик; Перчинский, Гжегож; Шах, Нисарг; Сковрон, Петр (2021). «Рыночные объяснения коллективных решений» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . АААИ'21. 35 (6): 5656–5663. дои : 10.1609/aaai.v35i6.16710 . S2CID 222132258 .

[:5-13] Jump up to: ^а ^б Янсон, Сванте (12 октября 2018 г.). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].

[14] Брилл, Маркус; Фриман, Руперт; Янсон, Сванте; Лакнер, Мартин (10 февраля 2017 г.). «Методы голосования Фрагмена и обоснованное представительство» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 31 (1). arXiv : 2102.12305 . дои : 10.1609/aaai.v31i1.10598 . ISSN 2374-3468 . S2CID 2290202 .

[15] Брилл, Маркус; Ласлье, Жан-Франсуа; Сковрон, Петр (2018). «Правила утверждения нескольких победителей как методы распределения». Журнал теоретической политики . 30 (3): 358–382. arXiv : 1611.08691 . дои : 10.1177/0951629818775518 . S2CID 10535322 .

[16] Файрштейн, Рой; Меир, Решеф; Гал, Коби (2021). «Пропорциональное совместное бюджетирование с замещающими проектами». arXiv : 2106.05360 [ cs.GT ].

[17] Файрштейн, Рой; Бенаде, Гердус; Гал, Коби (2023). «Разработка совместного бюджетирования для реального мира». arXiv : 2302.13316 [ cs.GT ].

[18] Файрштейн, Рой; Меир, Решеф; Виленчик, Дэн; Гал, Коби (2022). «Благосостояние против представительства в совместном бюджетировании». arXiv : 2201.07546 [ cs.GT ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]