Дробное голосование за одобрение

При дробном социальном выборе голосование за дробное одобрение относится к классу избирательных систем , использующих бюллетени одобрения (каждый избиратель выбирает одну или несколько альтернатив кандидатов), в которых результат является дробным : для каждой альтернативы j существует доля p _j от 0 до 1. , так что сумма pj _в равна 1. Это можно рассматривать как обобщение голосования за одобрение последнем случае один кандидат побеждает ( pj _: = 1), а другие кандидаты проигрывают ( pj ₌ 0). Дроби p _j можно интерпретировать по-разному, в зависимости от обстановки. Примеры:

Разделение времени : каждая альтернатива j реализуется долю p _j времени (например, каждый кандидат j занимает должность часть p _j срока). ^[1]
бюджета Распределение : каждая альтернатива j получает долю p _j от общего бюджета. ^[2]
Вероятности : после вычисления дробных результатов проводится лотерея для выбора одного кандидата, где каждый кандидат j избирается с вероятностью p _j . ^[1]
Права : дробные результаты используются в качестве прав (также называемых весами ) в правилах распределения . ^[3] или в алгоритмах справедливого дележа различных прав .

Голосование за дробное одобрение представляет собой особый случай дробного социального выбора , при котором все избиратели имеют дихотомические предпочтения . В литературе оно встречается под разными терминами: лотерея, ^[1] обмен, ^[4] порционирование, ^[3]смешивание ^[5] и распространение. ^[2]

Формальные определения

Существует конечное множество ( также C кандидатов называемое: исходы или альтернативы ) и конечное множество N из n избирателей (также называемое: агенты ). Каждый избиратель i определяет подмножество A _i из C , которое представляет набор кандидатов, которых одобряет избиратель .

Правило дробного голосования принимает на вход набор наборов A _i и возвращает на выходе смесь (также называемую: распределение или лотерея ) — вектор p действительных чисел в [0,1], по одному числу для каждого кандидата, например что сумма чисел равна 1.

Предполагается, что каждый агент i получает полезность 1 от каждого кандидата из своего множества одобрения A _i и полезность 0 от каждого кандидата, не входящего в A _i . Следовательно, агент i получает от каждой смеси p полезность в размере $\sum _{j\in A_{i}}p_{j}$ . Например, если смесь p интерпретировать как распределение бюджета, то полезность i — это общий бюджет, выделенный на результаты, которые ему нравятся.

Желаемые свойства

Эффективные свойства

Парето-эффективность (ПЭ) означает, что ни одна смесь не обеспечивает более высокую полезность для одного агента и, по крайней мере, такую же высокую полезность для всех остальных.

Ex-post PE — более слабое свойство, применимое только для интерпретации смеси как лотереи. Это означает, что после лотереи ни один результат не обеспечивает более высокую полезность для одного агента и, по крайней мере, столь же высокую полезность для всех остальных (другими словами, это смесь исходов PE). Например, предположим, что есть 5 кандидатов (a,b,c,d,e) и 6 избирателей с наборами одобрений (ac, ad, ae, bc, bd, be). Выбор любого отдельного кандидата — это PE, поэтому каждая лотерея — это PE по факту. Но лотерея с выбором c, d,e с вероятностью 1/3 не является PE, поскольку она дает ожидаемую полезность 1/3 каждому избирателю, тогда как лотерея с выбором a, b с вероятностью 1/2 дает ожидаемую полезность 1/2 на каждого избирателя.

PE всегда подразумевает PE по факту. Обратное также верно в следующих случаях:

Когда имеется не более 4 избирателей или не более 3 кандидатов. ^[4]^{: Лем.1, 2}
Когда кандидатов можно упорядочить в строке так, чтобы каждый набор утверждений представлял собой интервал (аналогично предпочтениям с одним пиком ). ^[5]^{: Лемма 1}

Свойства справедливости

Требования справедливости отражаются в вариантах понятия справедливой доли (FS) .

Индивидуальный - ФС ^[5] (также называемая справедливой долей благосостояния ^[1]) означает, что полезность каждого избирателя i составляет не менее 1/ n , то есть не менее 1/ n бюджета выделяется кандидатам, одобренным i .

Индивидуальный результат-FS ^[1] означает, что полезность каждого избирателя i равна, по меньшей мере, его полезности в лотерее, выбирающей кандидата случайным образом, т. е. не менее k /| C |, где k — количество кандидатов, одобренных i .

Индивидуальные FS и индивидуальные FS недостаточны, поскольку они игнорируют группы избирателей. Например, если 99% избирателей одобряют X и 1% одобряют Y, то оба свойства позволяют отдать 1/2 бюджета X и 1/2 Y. Возможно, это несправедливо по отношению к группе сторонников Y.

FS с одним голосом (также называемый верным ^[3]) означает, что если каждый избиратель одобряет одного кандидата, то доля, присвоенная каждому кандидату j, равна числу избирателей, одобряющих j, разделенному на n .

Система единого голосования является основным требованием, но ее недостаточно, поскольку она ничего не говорит о случае, когда избиратели могут одобрить двух или более кандидатов.

Единогласное-FS ^[5] означает, что для каждого множества S избирателей с одинаковыми предпочтениями полезность каждого члена S равна как минимум | С |/ н.

Единогласный FS подразумевает FS с одним голосованием, но его все же недостаточно, поскольку он ничего не говорит о группах агентов, наборы одобрений которых перекрываются.

Группа-ФС ^[1]^{: проект 2002 г.} (также называемое пропорциональным распределением ^[4]) означает, что для каждого набора избирателей S общий бюджет, выделяемый кандидатам, одобренным хотя бы одним членом S , составляет не менее | С |/ н.

Групповой FS подразумевает единогласный FS, FS с одним голосованием и индивидуальный FS.
Group-FS эквивалентен свойству, называемому разложимостью : ^[2] можно разложить распределение на n распределений суммы 1/ n , так что распределение, рекомендованное агенту i, будет положительным только для кандидатов, одобренных i .

Средний-FS ^[5] означает, что для каждого набора избирателей S , имеющего хотя бы одного общего одобренного кандидата, средняя полезность избирателей в S равна как минимум | С |/ н.

Core-FS означает, что для каждого набора избирателей S не существует другого распределения их | S |/ n бюджета, который дает всем членам S более высокую полезность.

Core-FS подразумевает Group-FS.

Стратегические объекты

несколько вариантов стратегической устойчивости Для правил голосования было изучено (SP):

Индивидуальный SP означает, что отдельный избиратель, сообщающий о неискренних предпочтениях, не может получить более высокую полезность.
Слабая группа-SP означает, что группа избирателей, сообщивших о неискренних предпочтениях согласованно, не может получить более высокую полезность для всех из них.
Group-SP означает, что группа избирателей, сообщивших о неискренних предпочтениях согласованно, не может получить более высокую полезность хотя бы для одного из них и, по крайней мере, столь же высокую полезность для всех из них.
Монотонность предпочтений означает, что если избиратель, ранее не поддерживавший определенного кандидата X, начинает поддерживать X, то доли остальных кандидатов не увеличиваются. Это подразумевает индивидуальный-ИП.

Более слабый вариант SP — исключаемый SP . Это актуально в ситуациях, когда можно исключить избирателей из использования некоторых альтернативных кандидатов. Например, если кандидаты встречаются в такое время, то можно исключить избирателей из участия в собрании в то время, которое они не одобрили. Из-за этого им труднее манипулировать, и, следовательно, требования становятся слабее. ^[5]

Свойства участия

Правила должны поощрять избирателей участвовать в процессе голосования. несколько критериев участия Были изучены :

Слабое участие : полезность избирателя, когда он участвует, как минимум так же высока, как и его полезность, когда он не участвует (это отрицание парадокса неявки ).
Строгое участие : ^[5] Полезность избирателя, когда он участвует, строго выше, чем его полезность, когда он не участвует. В частности, избиратель выигрывает от участия, даже если у него есть «клоны» — избиратели с одинаковыми предпочтениями.

Более сильное свойство требуется в условиях совместного составления бюджета , в котором распределяемый бюджет жертвуется самими избирателями:

Участие в пуле : ^[6] Полезность избирателя, когда он делает пожертвование через этот механизм, по крайней мере, так же высока, как и его полезность, когда он делает пожертвование самостоятельно.

Правила

Утилитарное правило

Утилитарное правило направлено на максимизацию суммы коммунальных услуг и поэтому распределяет весь бюджет между кандидатами, одобренными наибольшим числом избирателей. В частности, если есть один кандидат, набравший наибольшее количество голосов, то этот кандидат получает 1 (то есть весь бюджет), а остальные получают 0, как при одобрительном голосовании с одним победителем . Если есть несколько k кандидатов с одинаковым наибольшим числом голосов, то бюджет распределяется между ними поровну, отдавая 1/ k каждому такому кандидату и всем остальным 0. Утилитарное правило имеет несколько желательных свойств: ^[1]^{: Предложение 1} он анонимный, нейтральный, PE, индивидуальный-SP и монотонный по предпочтениям. Это также легко вычислить.

Однако это несправедливо по отношению к меньшинствам — это нарушает Индивидуальную ФС (как и все более сильные варианты ФС). Например, если 51% избирателей одобряют Х, а 49% избирателей одобряют Y, то утилитарное правило отдает весь бюджет Х и не дает вообще бюджета Y, поэтому 49% избирателей, голосующих за Y, получают полезность, равную 0. Другими словами, это допускает тиранию большинства .

Утилитарное правило также не является SP слабой группы (и, следовательно, не групповым SP). Например, предположим, что есть 3 кандидата (a,b,c) и 3 избирателя, каждый из которых одобряет одного кандидата. Если они голосуют искренне, то утилитарная смесь равна (1/3,1/3,1/3), поэтому полезность каждого агента равна 1/3. Если один избиратель голосует неискренне (скажем, первый голосует и за a, и за b), то смесь равна (0,1,0), что еще хуже для неискреннего избирателя. Однако если два избирателя вступают в сговор и голосуют неискренне (скажем, первые два избирателя голосуют за первые два результата), то утилитарная смесь будет равна (1/2, 1/2, 0), что лучше для обоих неискренних избирателей.

Nash-optimal rule

Правило оптимальности по Нэшу максимизирует сумму логарифмов полезностей. Он анонимен и нейтральен и удовлетворяет следующим дополнительным свойствам:

НА;
Групповая-ФС (разложимость), Средняя-ФС, Базовая-ФС; ^[5]^[7]
Объединенное участие (и строгое участие); ^[6]
Никакого другого свойства устойчивости к стратегии (не работает даже исключаемый SP);

Правило оптимальности по Нэшу можно вычислить путем решения выпуклой программы . Существует еще одно правило, называемое справедливым утилитарным , которое удовлетворяет аналогичным свойствам (PE и group-FS), но его легче вычислить. ^[1]^{: Thm.3 в проекте 2002 г.}

Эгалитарное правление

Правило эгалитаризма (лексимина) максимизирует наименьшую полезность, затем следующую наименьшую полезность и т. д. Оно анонимно и нейтрально и удовлетворяет следующим дополнительным свойствам: ^[5]

НА;
Индивидуальное-FS, но не единогласное-FS;
Исключаемый-индивидуальный-ИП, но не индивидуальный-ИП;
Слабое участие, но не строгое участие (поскольку «клоны» - избиратели с одинаковыми предпочтениями - рассматриваются как один избиратель).

Другие правила благосостояния

Для любой монотонно возрастающей функции f можно максимизировать сумму f ( ui ₎ . Утилитарное правило — это особый случай, когда f( x )= x , а правило Нэша — это особый случай, когда f( x )=log( x ). Каждое f правило -максимизации является PE и имеет следующие дополнительные свойства: ^[1]^{: Положения 5, 6, 7}

Если f — любая вогнутая функция журнала, то она гарантирует индивидуальный FS.
Если и только если f сама является функцией журнала, то она гарантирует групповую FS и единогласную FS (это соответствует правилу оптимальности по Нэшу).
Если и только если f — линейная функция, то она является индивидуальной SP (это соответствует утилитарному правилу).
Если и только если это утилитарное или эгалитарное правило, оно удовлетворяет исключаемому SP;
Если и только если это НЕ утилитарное или эгалитарное правило, оно удовлетворяет строгому участию.

Правила приоритета

Правило приоритета (также называемое серийной диктатурой ) параметризуется перестановкой избирателей , что представляет собой порядок приоритетов. Он выбирает результат, максимизирующий полезность агента с наивысшим приоритетом; при этом максимизирует полезность второго по приоритету агента; и так далее. Каждое правило приоритета является нейтральным, PE, SP для слабой группы и монотонным по предпочтениям. Однако оно не анонимно и не отвечает никаким принципам справедливости.

Правило случайного приоритета . равномерно случайным образом выбирает перестановку избирателей, а затем реализует правило приоритета для этой перестановки Он анонимен, нейтрален и удовлетворяет следующим дополнительным свойствам: ^[1]^{: Положение 5}

Экс-пост PE, но не (ex-ante) PE.
- При аналоге однопиковых предпочтений (кандидаты располагаются в строке, и каждый избиратель утверждает интервал), случайным приоритетом является PE. ^[5]
Слабая группа-SP.
Группа-ФС.

Недостатком этого правила является то, что найти точные вероятности сложно с вычислительной точки зрения (см. Механизм диктатуры#Вычисление ).

Условное утилитарное правило

В условно-утилитарном правиле ^[5] каждый агент получает 1/ n от общего бюджета. Каждый агент находит среди одобренных им кандидатов тех, кого поддерживает наибольшее число других агентов, и поровну распределяет между ними свой бюджет. Он анонимен и нейтральен и удовлетворяет следующим дополнительным свойствам:

Индивидуальный-ИП;
Группа-ФС;
Фактический PE, но не (ex-ante) PE.
- Он более эффективен, чем случайный приоритет, как в теории, так и в моделировании.
- Он всегда находит распределение, которое является PE, среди подмножества распределений групповой FS. ^[2]

Мажоритарное правление

Мажоритарное правление ^[8] Целью является концентрация как можно большей власти в руках небольшого числа кандидатов, гарантируя при этом справедливость. Это происходит в раундах. Изначально все кандидаты и избиратели активны. В каждом туре правило выбирает активного кандидата c , которого одобряет наибольшая группа активных избирателей N _c . Затем правило «назначает» этих избирателей N _c на c , то есть предполагает, что избиратели в N _c проголосовали только за c , и присваивает c дробь |N _c |/n. Затем кандидат c и избиратели N _c становятся неактивными, и правило переходит к следующему раунду. Обратите внимание, что условно-утилитарное правило аналогично, за исключением того, что избиратели в N _c не становятся неактивными.

Мажоритарное правление является анонимным, нейтральным, гарантирует индивидуальное избирательное право и избирательное право с одним голосом. ^{[ нужны разъяснения ]}

Результаты невозможности

Некоторые комбинации свойств не могут быть достигнуты одновременно.

Ex-post PE и групповая SP несовместимы (для ≥3 избирателей и ≥3 кандидатов). ^[1]^{: Положение 2}
Анонимность, нейтралитет, PE ex-post и слабогрупповая SP несовместимы (для ≥4 избирателей и ≥6 кандидатов). ^[1]^{: Положение 3}
- Если убрать одно из этих свойств, то можно достичь и остальных трёх.
ПЭ фактического действия, индивидуальный СП и FS с индивидуальными результатами несовместимы (для ≥3 избирателей и ≥3 кандидатов). ^[1]^{: Предложение 4}
- Если убрать одно из этих свойств, то можно достичь и оставшихся двух.
- Однако, если мы ослабим FS с индивидуальными результатами, разрешив давать каждому агенту только ε, умноженную на его справедливую долю результатов, для некоторого ε>0, невозможность останется.
Анонимность, нейтралитет, PE, индивидуальный SP и индивидуальный FS несовместимы (для ≥5 избирателей и ≥17 кандидатов). ^[1]^{: Положение 6}
- Если мы удалим либо PE, либо индивидуальный-SP, либо индивидуальный-FS, то оставшиеся четыре свойства могут быть достигнуты.
- Если мы удалим анонимность и нейтральность, невозможность по-прежнему сохраняется, но доказать ее гораздо труднее. ^[2]
- Напротив, в аналоге однопиковых предпочтений (кандидаты располагаются в строке, и каждый избиратель утверждает интервал), все свойства достигаются случайным приоритетом.
- Если мы ослабим индивидуальную SP до исключаемой-SP, свойства будут удовлетворяться эгалитарным правилом.
- Вопрос о том, совместимы ли PE и исключаемый SP со строгим участием и/или единогласным FS, остается открытым. ^[5]
PE, монотонность предпочтений и положительная доля (свойство более слабое, чем индивидуальное FS) несовместимы (для ≥6 избирателей и ≥6 кандидатов). ^[1]^{: Положение 7}
Анонимность, нейтралитет, PE, индивидуальный SP и групповой FS несовместимы (для ≥5 избирателей и ≥4 кандидатов). ^[4]
- Если мы удалим либо PE, либо индивидуальный-SP, либо групповой-FS, то можно будет достичь оставшихся четырех свойств.
- Если мы удалим анонимность и нейтральность, невозможность по-прежнему сохраняется, но доказать ее гораздо труднее. ^[2]
- Когда имеется не более 4 избирателей или не более 3 кандидатов, простой вариант случайной диктатуры приобретает все 5 свойств: диктатор выбирается случайным образом и выбирается наиболее популярный результат, который ему нравится. Это правило является анонимным, нейтральным, ex-post PE, индивидуальным SP, Group-FS и ex-post PE; но при наличии не более 4 избирателей или не более 3 кандидатов, фактическое PE подразумевает PE.
PE, индивидуальный SP и положительная доля несовместимы (для ≥6 избирателей и ≥4 кандидатов). Это было доказано с помощью SAT Solver с использованием 386 различных профилей. ^[2]
- Учитывая анонимность и нейтральность в качестве дополнительных свойств, несовместимость справедлива уже для ≥5 избирателей и ≥4 кандидатов, и доказательство гораздо проще.

Сводная таблица

В таблице ниже число в каждой ячейке представляет «силу» свойства: 0 означает отсутствие (свойство не удовлетворено); 1 соответствует слабому варианту свойства; 2 соответствует более сильному варианту; и т. д.

	Анон.	Нейт.	Эффективность	Справедливая доля	Стратегическая устойчивость	Участие	Монотонность	Вычисление
	0=нет 1=да	0=нет 1=да	0 = нет 1 = постфактум 2=предварительно	0 = нет 0,5 = положительный1=индивидуальный 2 = единогласно 3=группа 4 = ядро	0 = нет 1 = исключаемый 2=индивидуальный 3 = слабая группа 4=группа	0 = нет 1 = слабый 2 = строгий 3 = объединение	0 = нет 1 = предпочтение
Правила [ редактировать ]
Утилитарный:	1	1	2	0	2	1	1	Полиномиальный
Эгалитарный:	1	1	2	1	1	1	0	Полиномиальный
Nash:	1	1	2	4 (+средний)	0	3	0	?
Приоритет:	0	1	2	0	3	1	1	Полиномиальный
Случайный приоритет:	1	1	1	3	3	2 (3?)	0	NP-Жесткий
Ярмарка-утилитарность:	1	1	2	3	0	1 (2? 3?)	0	Полиномиальный
Условно- утилитарный	1	1	1	3	2 (3?)	2 (3?)	1	Полиномиальный
Мажоритарный:	1	1	?	1 (2? 3?)	?	?	?	Полиномиальный
Последовательный- утилитарный: ^[2]	1	1	2	1?	0?	0?	1	Полиномиальный
Невозможные комбинации [ редактировать ]
n≥3, c≥3:			1		4
n≥4, c≥6	1	1	1		3
n≥3, c≥3:			1	1 [результат]	2
n≥5, c≥17:	1	1	2	2	2
n≥6, c≥6:			2	0.5			1
n≥6, c≥4:			2	0.5	2
n≥5, c≥4:	1	1	2	3	2
Открытые комбинации [ редактировать ]
			2	2	1
			2		1	2

См. также

Оправданное представительство — свойство, аналогичное справедливой доле, но для дискретных результатов.
Партийное голосование - кандидаты являются партиями, и фракция, выделяемая каждой партии, соответствует доле мест, которые она должна получить в парламенте.
Алгоритмы совместного составления бюджета - другие подходы к справедливому распределению бюджета.
Некоторые авторы изучали цену справедливости различных правил распределения. ^[9]^[10]
Проблема распределения изучалась также в более сложной ситуации, когда полезности агентов аддитивны . ^[11]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот Богомольная, Анна; Мулен, Эрве; Стонг, Ричард (1 июня 2005 г.). «Коллективный выбор при дихотомических предпочтениях» (PDF) . Журнал экономической теории . 122 (2): 165–184. дои : 10.1016/j.jet.2004.05.005 . ISSN 0022-0531 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Брандл, Флориан; Брандт, Феликс; Петерс, Доминик; Стрикер, Кристиан (18 июля 2021 г.). «Правила распределения при дихотомических предпочтениях: двое из трех неплохо». Материалы 22-й конференции ACM по экономике и вычислениям . ЭК '21. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: ACM. стр. 158–179. дои : 10.1145/3465456.3467653 . ISBN 9781450385541 . S2CID 232109303 . . Видео выступления на конференции EC'21
^ Jump up to: ^а ^б ^с Брилл, Маркус; Гельц, Пол; Петерс, Доминик; Шмидт-Крепелин, Ульрике; Уилкер, Кай (3 апреля 2020 г.). «Распределение на основе одобрения» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 34 (2): 1854–1861. arXiv : 1911.08365 . дои : 10.1609/aaai.v34i02.5553 . ISSN 2374-3468 . S2CID 208158445 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дадди, Конал (1 января 2015 г.). «Справедливое разделение при дихотомических предпочтениях» . Математические социальные науки . 73 : 1–5. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2014.10.005 . ISSN 0165-4896 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Азиз, Харис; Богомольная, Анна; Мулен, Эрве (17 июня 2019 г.). «Справедливое смешивание: случай дихотомических предпочтений» (PDF) . Материалы конференции ACM по экономике и вычислениям 2019 года . ЕС '19. Финикс, Аризона, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 753–781. дои : 10.1145/3328526.3329552 . ISBN 978-1-4503-6792-9 . S2CID 7436482 .
^ Jump up to: ^а ^б Брандл, Флориан; Брандт, Феликс; Грегер, Матиас; Петерс, Доминик; Стрикер, Кристиан; Суксомпонг, Варут (1 октября 2021 г.). «Финансирование общественных проектов: аргументы в пользу правила продукта Нэша». Журнал математической экономики . 99 : 102585. arXiv : 2005.07997 . дои : 10.1016/j.jmateco.2021.102585 . S2CID 213188260 .
^ А. Герджикова и К. Неринг (2014). «Взвешивание экспертов, источники взвешивания» (PDF) .
^ Сперони ди Феницио, Пьетро; Гевурц, Даниэле А. (01 апреля 2019 г.). «Пространство всех пропорциональных систем голосования и самой мажоритарной среди них» . Социальный выбор и благосостояние . 52 (4): 663–683. дои : 10.1007/s00355-018-1166-9 . ISSN 1432-217X .
^ Михожевский, Марцин; Петерс, Доминик; Сковрон, Петр (03 апреля 2020 г.). «Цена справедливости в распределении бюджета и вероятностный социальный выбор» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 34 (2): 2184–2191. дои : 10.1609/aaai.v34i02.5594 . ISSN 2374-3468 .
^ Тан, Чжунчжэн; Ван, Чэньхао; Чжан, Мэнци (2020). «Цена справедливости в бюджетном отделе эгалитарного социального обеспечения» . Ин Ву, Вейли; Чжан, Чжуннань (ред.). Комбинаторная оптимизация и приложения . Конспекты лекций по информатике. Том. 12577. Чам: Springer International Publishing. стр. 594–607. arXiv : 2010.09637 . дои : 10.1007/978-3-030-64843-5_40 . ISBN 978-3-030-64843-5 . S2CID 224710712 .
^ Фейн, Брэндон; Гоэль, Ашиш; Мунагала, Камеш (2016). «Суть проблемы совместного бюджетирования» . В Цай, Ян; Ветта, Адриан (ред.). Экономика Интернета и Интернета . Конспекты лекций по информатике. Том. 10123. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 384–399. arXiv : 1610.03474 . дои : 10.1007/978-3-662-54110-4_27 . ISBN 978-3-662-54110-4 . S2CID 13443635 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот Богомольная, Анна; Мулен, Эрве; Стонг, Ричард (1 июня 2005 г.). «Коллективный выбор при дихотомических предпочтениях» (PDF) . Журнал экономической теории . 122 (2): 165–184. дои : 10.1016/j.jet.2004.05.005 . ISSN 0022-0531 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Брандл, Флориан; Брандт, Феликс; Петерс, Доминик; Стрикер, Кристиан (18 июля 2021 г.). «Правила распределения при дихотомических предпочтениях: двое из трех неплохо». Материалы 22-й конференции ACM по экономике и вычислениям . ЭК '21. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: ACM. стр. 158–179. дои : 10.1145/3465456.3467653 . ISBN 9781450385541 . S2CID 232109303 . . Видео выступления на конференции EC'21

[:3-3] Jump up to: ^а ^б ^с Брилл, Маркус; Гельц, Пол; Петерс, Доминик; Шмидт-Крепелин, Ульрике; Уилкер, Кай (3 апреля 2020 г.). «Распределение на основе одобрения» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 34 (2): 1854–1861. arXiv : 1911.08365 . дои : 10.1609/aaai.v34i02.5553 . ISSN 2374-3468 . S2CID 208158445 .

[:2-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дадди, Конал (1 января 2015 г.). «Справедливое разделение при дихотомических предпочтениях» . Математические социальные науки . 73 : 1–5. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2014.10.005 . ISSN 0165-4896 .

[:4-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Азиз, Харис; Богомольная, Анна; Мулен, Эрве (17 июня 2019 г.). «Справедливое смешивание: случай дихотомических предпочтений» (PDF) . Материалы конференции ACM по экономике и вычислениям 2019 года . ЕС '19. Финикс, Аризона, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 753–781. дои : 10.1145/3328526.3329552 . ISBN 978-1-4503-6792-9 . S2CID 7436482 .

[:5-6] Jump up to: ^а ^б Брандл, Флориан; Брандт, Феликс; Грегер, Матиас; Петерс, Доминик; Стрикер, Кристиан; Суксомпонг, Варут (1 октября 2021 г.). «Финансирование общественных проектов: аргументы в пользу правила продукта Нэша». Журнал математической экономики . 99 : 102585. arXiv : 2005.07997 . дои : 10.1016/j.jmateco.2021.102585 . S2CID 213188260 .

[7] А. Герджикова и К. Неринг (2014). «Взвешивание экспертов, источники взвешивания» (PDF) .

[8] Сперони ди Феницио, Пьетро; Гевурц, Даниэле А. (01 апреля 2019 г.). «Пространство всех пропорциональных систем голосования и самой мажоритарной среди них» . Социальный выбор и благосостояние . 52 (4): 663–683. дои : 10.1007/s00355-018-1166-9 . ISSN 1432-217X .

[9] Михожевский, Марцин; Петерс, Доминик; Сковрон, Петр (03 апреля 2020 г.). «Цена справедливости в распределении бюджета и вероятностный социальный выбор» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 34 (2): 2184–2191. дои : 10.1609/aaai.v34i02.5594 . ISSN 2374-3468 .

[10] Тан, Чжунчжэн; Ван, Чэньхао; Чжан, Мэнци (2020). «Цена справедливости в бюджетном отделе эгалитарного социального обеспечения» . Ин Ву, Вейли; Чжан, Чжуннань (ред.). Комбинаторная оптимизация и приложения . Конспекты лекций по информатике. Том. 12577. Чам: Springer International Publishing. стр. 594–607. arXiv : 2010.09637 . дои : 10.1007/978-3-030-64843-5_40 . ISBN 978-3-030-64843-5 . S2CID 224710712 .

[11] Фейн, Брэндон; Гоэль, Ашиш; Мунагала, Камеш (2016). «Суть проблемы совместного бюджетирования» . В Цай, Ян; Ветта, Адриан (ред.). Экономика Интернета и Интернета . Конспекты лекций по информатике. Том. 10123. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 384–399. arXiv : 1610.03474 . дои : 10.1007/978-3-662-54110-4_27 . ISBN 978-3-662-54110-4 . S2CID 13443635 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Формальные определения

Желаемые свойства

Эффективные свойства

Свойства справедливости

Стратегические объекты

Свойства участия

Правила

Утилитарное правило

Nash-optimal rule

Эгалитарное правление

Другие правила благосостояния

Правила приоритета

Условное утилитарное правило

Мажоритарное правление

Результаты невозможности

Сводная таблица

Правила

Невозможные комбинации

Открытые комбинации

См. также

Ссылки