Стохастический порядок

В теории вероятностей и статистике стохастический порядок количественно определяет концепцию того, что одна случайная величина «больше», чем другая. Обычно это частичные заказы , так что одна случайная величина $A$ не может быть стохастически больше, меньше или равно другой случайной величине $B$. Существует множество различных заказов, которые имеют разное применение.

Обычный стохастический порядок

Настоящая случайная величина $A$ меньше случайной величины $B$ в «обычном стохастическом порядке», если

$\Pr(A>x)\leq \Pr(B>x){\text{ for all }}x\in (-\infty ,\infty ),$

где $\Pr(\cdot )$ обозначает вероятность события. Иногда это обозначается $A\preceq B$ или $A\leq _{st}B$.

Если дополнительно $\Pr(A>x)<\Pr(B>x)$ для некоторых $x$, затем $A$ стохастически строго меньше, чем $B$, иногда обозначаемый $A\prec B$. В теории принятия решений этом обстоятельстве B считается стохастически доминирующим первого порядка над A. при

Характеристики

Следующие правила описывают ситуации, когда одна случайная величина стохастически меньше или равна другой. Строгие версии некоторых из этих правил также существуют.

1. $A\preceq B$ тогда и только тогда, когда для всех неубывающих функций $u$, ${\rm {E}}[u(A)]\leq {\rm {E}}[u(B)]$.
2. Если $u$ не убывает и $A\preceq B$ затем $u(A)\preceq u(B)$
3. Если $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ возрастает по каждой переменной и $A_{i}$ и $B_{i}$ являются независимыми наборами случайных величин с $A_{i}\preceq B_{i}$ для каждого $i$, затем $u(A_{1},\dots ,A_{n})\preceq u(B_{1},\dots ,B_{n})$ и в частности $\sum _{i=1}^{n}A_{i}\preceq \sum _{i=1}^{n}B_{i}$ Более того, $i$Статистика заказа удовлетворяет $A_{(i)}\preceq B_{(i)}$.
4. Если две последовательности случайных величин $A_{i}$ и $B_{i}$, с $A_{i}\preceq B_{i}$ для всех $i$ сходятся по распределению , то их пределы удовлетворяют $A\preceq B$.
5. Если $A$, $B$ и $C$ являются случайными величинами такими, что $\sum _{c}\Pr(C=c)=1$ и $\Pr(A>u|C=c)\leq \Pr(B>u|C=c)$ для всех $u$ и $c$ такой, что $\Pr(C=c)>0$, затем $A\preceq B$.

Другие объекты недвижимости

Если $A\preceq B$ и ${\rm {E}}[A]={\rm {E}}[B]$ затем $A\mathrel {\overset {d}{=}} B$ (случайные величины равны по распределению).

Стохастическое доминирование

Отношения стохастического доминирования — это семейство стохастических порядков, используемых в теории принятия решений :

• Стохастическое доминирование нулевого порядка: $A\prec _{(0)}B$ тогда и только тогда, когда $A\leq B$ для всех реализаций этих случайных величин и $A<B$ хотя бы для одной реализации.
• Стохастическое доминирование первого порядка: $A\prec _{(1)}B$ тогда и только тогда, когда $\Pr(A>x)\leq \Pr(B>x)$ для всех $x$ и существует $x$ такой, что $\Pr(A>x)<\Pr(B>x)$.
• Стохастическое доминирование второго порядка: $A\prec _{(2)}B$ тогда и только тогда, когда $\int _{-\infty }^{x}[\Pr(B>t)-\Pr(A>t)]\,dt\geq 0$ для всех $x$, со строгим неравенством в некоторых $x$.

Существуют также понятия стохастического доминирования более высокого порядка. Используя приведенные выше определения, мы имеем $A\prec _{(i)}B\implies A\prec _{(i+1)}B$.

Многомерный стохастический порядок

Ан $\mathbb {R} ^{d}$-значная случайная величина $A$ меньше, чем $\mathbb {R} ^{d}$-значная случайная величина $B$ в «обычном стохастическом порядке», если

${\rm {E}}[f(A)]\leq {\rm {E}}[f(B)]{\text{ for all bounded, increasing functions }}f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R}$

Существуют и другие типы многомерных стохастических порядков. Например, верхний и нижний ортантный порядок, похожие на обычный одномерный стохастический порядок. $A$ говорят, что он меньше, чем $B$ в верхнем ортантном порядке, если

$\Pr(A>\mathbf {x} )\leq \Pr(B>\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$

и $A$ меньше, чем $B$ в нижнем ортанте, если

$\Pr(A\leq \mathbf {x} )\leq \Pr(B\leq \mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$

Все три типа заказов также имеют целочисленные представления, то есть для конкретного заказа. $A$ меньше, чем $B$ тогда и только тогда, когда ${\rm {E}}[f(A)]\leq {\rm {E}}[f(B)]$ для всех $f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R}$ в классе функций ${\mathcal {G}}$. ${\mathcal {G}}$ тогда называется генератором соответствующего порядка.

Другие порядки доминирования

Следующие стохастические порядки полезны в теории случайного социального выбора . Они используются для сравнения результатов случайных функций социального выбора, чтобы проверить их эффективность или другие желаемые критерии. Приведенный ниже порядок доминирования отсортирован от наиболее консервативного к наименее консервативному. Они проиллюстрированы на случайных величинах над конечным носителем {30,20,10}.

Детерминированное доминирование , обозначаемое $A\succeq _{dd}B$, означает, что каждый возможный исход $A$ по крайней мере так же хорош, как любой возможный результат $B$: для всех x < y , $\Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]=0$. Другими словами: $\Pr[A\geq B]=1$. Например, $0.6*30+0.4*20\succeq _{dd}0.5*20+0.5*10$.

Билинейное доминирование , обозначаемое $A\succeq _{bd}B$, означает, что для каждого возможного результата вероятность того, что $A$ дает лучший и $B$ дает худший результат, по крайней мере, такой же большой, как и вероятность наоборот: для всех x<y, $\Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]\leq \Pr[A=y]\cdot \Pr[B=x]$ Например, $0.5*30+0.5*20\succeq _{bd}0.33*30+0.33*20+0.34*10$.

Стохастическое доминирование (уже упоминавшееся выше), обозначаемое $A\succeq _{sd}B$, означает, что для каждого возможного результата x вероятность того, что $A$ дает по крайней мере x , по крайней мере, так же велико, как вероятность того, что $B$ дает не менее x : для всех x, $\Pr[A\geq x]\geq \Pr[B\geq x]$. Например, $0.5*30+0.5*10\succeq _{sd}0.5*20+0.5*10$.

Доминирование попарного сравнения , обозначаемое $A\succeq _{pc}B$, означает, что вероятность того, что это $A$ дает лучший результат, чем $B$ больше, чем наоборот: $\Pr[A\geq B]\geq \Pr[B\geq A]$. Например, $0.67*30+0.33*10\succeq _{pc}1.0*20$.

Нисходящее лексикографическое доминирование, обозначаемое $A\succeq _{dl}B$, означает, что $A$ имеет большую вероятность, чем $B$ возврата наилучшего результата или того и другого $A$ и $B$ имеют одинаковую вероятность вернуть лучший результат, но $A$ имеет большую вероятность, чем $B$ возврата второго лучшего результата и т. д. Восходящее лексикографическое доминирование определяется аналогичным образом на основе вероятности возврата худших результатов. См. лексикографическое доминирование .

Другие стохастические ордера

Порядок степени опасности

Уровень опасности неотрицательной случайной величины $X$ с абсолютно непрерывной функцией распределения $F$ и функция плотности $f$ определяется как

$r(t)={\frac {d}{dt}}(-\log(1-F(t)))={\frac {f(t)}{1-F(t)}}.$

Учитывая две неотрицательные переменные $X$ и $Y$ с абсолютно непрерывным распределением $F$ и $G$, и с функциями степени опасности $r$ и $q$, соответственно, $X$ говорят, что он меньше, чем $Y$ в порядке степени опасности (обозначается как $X\preceq _{hr}Y$) если

$r(t)\geq q(t)$ для всех $t\geq 0$,

или эквивалентно, если

${\frac {1-F(t)}{1-G(t)}}$ уменьшается в $t$.

Порядок отношения правдоподобия

Позволять $X$ и $Y$ две непрерывные (или дискретные) случайные величины с плотностями (или дискретными плотностями) $f\left(t\right)$ и $g\left(t\right)$соответственно, так что ${\frac {g\left(t\right)}{f\left(t\right)}}$ увеличивается в $t$ над объединением опор $X$ и $Y$; в этом случае, $X$ меньше, чем $Y$ в порядке отношения правдоподобия ( $X\preceq _{lr}Y$).

Порядки изменчивости

Если две переменные имеют одинаковое среднее значение, их все равно можно сравнить по тому, насколько «разбросаны» их распределения. В ограниченной степени это отражается дисперсией , но более полно — диапазоном стохастических порядков.

Выпуклый порядок

Выпуклый порядок — это особый вид порядка изменчивости. При выпуклом порядке $A$ меньше, чем $B$ тогда и только тогда, когда для всех выпуклых $u$, ${\rm {E}}[u(A)]\leq {\rm {E}}[u(B)]$.

Порядок преобразования Лапласа

Порядок преобразования Лапласа сравнивает размер и изменчивость двух случайных величин. Подобно выпуклому порядку, порядок преобразования Лапласа устанавливается путем сравнения математического ожидания функции случайной величины, если функция принадлежит специальному классу: $u(x)=-\exp(-\alpha x)$. Это делает порядок преобразования Лапласа целочисленным стохастическим порядком с набором генераторов, заданным набором функций, определенным выше с помощью $\alpha$ положительное действительное число.

Реализуемая монотонность

Рассматривая семейство вероятностных распределений $({P}_{\alpha })_{\alpha \in F}$ в частично упорядоченном пространстве $(E,\preceq )$индексируется с помощью $\alpha \in F$ (где $(F,\preceq )$ является еще одним частично упорядоченным пространством, можно определить понятие полной или реализуемой монотонности. Это означает, что существует семейство случайных величин $(X_{\alpha })_{\alpha }$ в одном и том же вероятностном пространстве, так что распределение $X_{\alpha }$ является ${P}_{\alpha }$ и $X_{\alpha }\preceq X_{\beta }$ почти наверняка всякий раз $\alpha \preceq \beta$. Это означает существование монотонной связи . Видеть

См. также

• Стохастическое доминирование
• Стохастический

Библиография

• М. Шакед и Дж. Г. Шантикумар, Стохастические приказы и их приложения , Associated Press, 1994.
• ЭЛ Леманн. Упорядоченные семейства распределений. Анналы математической статистики , 26:399–419, 1955.