Фундаментальные теоремы экономики благосостояния

Существуют две фундаментальные теоремы экономики благосостояния . Первый экономического утверждает, что в условиях равновесия набор полных рынков с полной информацией и в условиях совершенной конкуренции будет оптимальным по Парето (в том смысле, что никакой дальнейший обмен не улучшит благосостояние одного человека, не ухудшив при этом положение другого). Требования совершенной конкуренции таковы:

1. нет Никаких внешних эффектов , и каждый актер обладает совершенной информацией .
2. Фирмы и потребители принимают цены как данность (ни один экономический субъект или группа участников не обладает рыночной властью ).

Теорему иногда рассматривают как аналитическое подтверждение » Адама Смита принципа « невидимой руки , а именно, что конкурентные рынки обеспечивают эффективное распределение ресурсов . Однако нет никакой гарантии, что оптимальный по Парето рыночный результат является равноправным , поскольку существует множество возможных по Парето эффективных распределений ресурсов, различающихся по своей желательности (например, один человек может владеть всем, а все остальные - ничем).

Вторая . теорема утверждает, что любой оптимум Парето может поддерживаться как конкурентное равновесие для некоторого начального набора возможностей Подразумевается, что любой желаемый оптимальный по Парето результат может быть поддержан; Эффективность по Парето может быть достигнута при любом перераспределении первоначального богатства. Однако попытки исправить распределение могут привести к искажениям, и поэтому полная оптимальность может быть недостижима при перераспределении.

Теоремы можно визуализировать графически для простой экономики чистого обмена с помощью диаграммы Эджворта .

История фундаментальных теорем

Адам Смит (1776)

Обсуждая импортные пошлины, Адам Смит писал, что:

Каждый человек обязательно трудится над тем, чтобы годовой доход общества был настолько большим, насколько он может... В этом, как и во многих других отношениях, он ведом невидимой рукой для достижения цели, которая не входила в его намерения... Преследуя свои собственные интересы, он часто способствует интересам общества более эффективно, чем тогда, когда он действительно намеревается их продвигать.

Обратите внимание, что идеи Смита не были направлены конкретно на экономику благосостояния, поскольку эта область экономики в то время еще не была создана. Однако его аргументы были использованы в пользу создания этой отрасли, а также фундаментальных теорий экономики благосостояния.

Леон Вальрас (1870)

Вальрас писал, что «обмен при свободной конкуренции — это операция, посредством которой все стороны получают максимальное удовлетворение при условии покупки и продажи по единой цене».

Ф. Я. Эджворт (1881)

Эджворт сделал шаг к первой фундаментальной теореме в своей «Математической психике», рассматривая экономику чистого обмена без производства. В свой анализ он включил несовершенную конкуренцию. Его определение равновесия почти то же самое, что и позднее определение оптимальности, данное Парето: это такая точка, что...

В каком бы направлении мы ни сделали бесконечно малый шаг, Р и П [полезности покупателя и продавца] не увеличиваются вместе, а, в то время как одно увеличивается, другое уменьшается.

Вместо того, чтобы заключить, что равновесие было оптимальным по Парето, Эджворт пришел к выводу, что равновесие максимизирует сумму полезностей сторон, что является частным случаем эффективности по Парето:

По-видимому, из общих динамических принципов, примененных к этому частному случаю, следует, что равновесие достигается, когда общая энергия удовольствия участников является максимальной относительной или подчиненной условиям...

Вильфредо Парето (1906/9)

Парето сформулировал первую фундаментальную теорему в своем «Руководстве» (1906) и с большей строгостью в ее французской редакции ( Мануэль , 1909). Он был первым, кто заявил об оптимальности по своему собственному критерию или поддержал это утверждение убедительными аргументами.

Он определяет равновесие более абстрактно, чем Эджворт, как состояние, которое будет сохраняться неопределенно долго в отсутствие внешнего давления. и показывает, что в экономике обмена это точка, в которой общая касательная к кривым безразличия сторон проходит через запасы.

Его определение оптимальности дано в гл. ВИ:

Мы будем говорить, что члены коллектива обладают максимумом офеличности [т.е. полезности] в определенном положении, когда невозможно отойти ни на небольшой шаг так, чтобы офелимность, которой обладает каждый индивидуум в коллективе, увеличилась, или когда она уменьшается. [Ранее он определил увеличение индивидуальной офеличности как переход на более высокую кривую безразличия.] Другими словами, любой небольшой шаг неизбежно приведет к увеличению офелимиции одних людей и уменьшению офеличности у других.

Следующий абзац дает нам теорему:

Для явлений типа I [т.е. совершенной конкуренции], когда равновесие имеет место в точке касания кривых безразличия, члены коллектива обладают максимумом неограниченности.

Он добавляет, что «строгое доказательство не может быть дано без помощи математики», и ссылается на свое Приложение.

Викселль , ссылаясь на свое определение оптимальности, прокомментировал:

При таком определении почти самоочевидно, что этот так называемый максимум достигается при свободной конкуренции, потому что если бы после совершения обмена можно было посредством дальнейшей серии прямых или косвенных обменов произвести дополнительное удовлетворение потребности участников, то в такой степени такой продолжительный обмен, несомненно, имел бы место, и исходное положение не могло бы быть состоянием окончательного равновесия.

Парето не нашел это таким простым. В своем тексте он приводит схематическую аргументацию, относящуюся исключительно к обмену. и 32-страничный математический аргумент в Приложении. которому Самуэльсону было «нелегко следовать». Парето препятствовало отсутствие концепции границы производства и возможностей , развитие которой было отчасти связано с его сотрудником Энрико Бароне . Его собственные «кривые безразличия к препятствиям», похоже, были ложным путем.

Вскоре после формулировки первой фундаментальной теоремы Парето задает вопрос о распределении:

Рассмотрим коллективистское общество, которое стремится максимизировать благосостояние своих членов. Проблема делится на две части. Во-первых, у нас есть проблема распределения: как блага внутри общества должны распределяться между его членами? А во-вторых, как должно быть организовано производство, чтобы при таком распределении благ члены общества получили максимальное благосостояние?

Его ответ является неформальным предшественником второй теоремы:

Распределив товары в соответствии с ответом на первую проблему, государство должно позволить членам коллектива осуществлять второе распределение или осуществлять его самостоятельно, в любом случае гарантируя, что оно осуществляется в соответствии с принципами свободной конкуренции.

Энрико Бароне (1908)

Бароне , сотрудник Парето, доказал свойство оптимальности совершенной конкуренции. а именно, что – предполагая экзогенные цены – он максимизирует денежную стоимость дохода от производственной деятельности, представляющую собой сумму ценностей досуга, сбережений и товаров для потребления, взятых в желаемых пропорциях. Он не утверждает, что цены, выбранные рынком, сами по себе оптимальны.

Его статья не была переведена на английский язык до 1935 года. Она получила одобрительное резюме от Самуэльсона. но, похоже, не повлияло на развитие теорем благосостояния в их нынешнем виде.

Абба Лернер (1934)

В 1934 году Лернер переформулировал условие обмена Эджворта о том, что кривые безразличия должны пересекаться как касательные, представляя это как свойство оптимальности. Он установил аналогичное условие для производства, а именно, что граница производственных возможностей ( PPF , которой он дал альтернативное название «кривая продуктивного безразличия») должна быть касательной к кривой безразличия для сообщества. Он был одним из создателей PPF, использовав его в статье о международной торговле в 1932 году. Он показывает, что оба аргумента могут быть представлены в одних и тех же терминах, поскольку PPF играет ту же роль, что и кривая безразличия зеркального отображения в ящике Эджворта. Он также упоминает, что кривые не обязательно должны быть дифференцируемыми, поскольку тот же результат получается, если они соприкасаются в заостренных углах.

Его определение оптимальности было эквивалентно определению Парето:

Если... возможно переместить одного человека в предпочтительное положение, не переводя другого человека в худшее положение... мы можем сказать, что относительный оптимум не достигнут...

Условие оптимальности производства эквивалентно паре требований: (i) цена должна равняться предельным издержкам и (ii) выпуск должен быть максимизирован при условии (i). Таким образом, Лернер сводит оптимальность к касанию как производства, так и обмена, но не говорит, почему подразумеваемая точка PPF должна быть условием равновесия для свободного рынка. Возможно, он считал, что это уже достаточно устоялось.

Лернер приписывает своему коллеге из Лондонской школы экономики Виктору Эдельбергу заслугу в предложении использования кривых безразличия. Самуэльсон предположил, что Лернер получил свои результаты независимо от работы Парето.

Гарольд Хотеллинг (1938)

Хотеллинг выдвинул новый аргумент, чтобы показать, что «продажи при предельных издержках являются условием максимального общего благосостояния» (по определению Парето). Он признал, что этому условию удовлетворяет совершенная конкуренция, но, как следствие, утверждал, что совершенная конкуренция не может быть оптимальной, поскольку некоторые выгодные проекты не смогут окупить свои постоянные затраты, взимая плату по этой ставке (например, в естественной монополии ).

Оскар Лонг (1942)

Статья Ланге «Основы экономики благосостояния» является источником ставшего традиционным сочетания двух теорем: одна управляет рынками, а другая — распределением. Он обосновал определение оптимальности Парето для первой теоремы, ссылаясь на отказ Лайонела Роббинса от межличностных сравнений полезности: и предложил различные способы вновь ввести межличностные сравнения для второй теоремы, такие как решения демократически избранного Конгресса. Ланге считал, что такой конгресс может действовать аналогично капиталистическому: путем установления векторов цен он может достичь любого оптимального плана производства, чтобы достичь эффективности и социального равенства.

Его рассуждения представляют собой математический перевод (в множители Лагранжа ) графического аргумента Лернера. Вторая теорема не принимает в его руках привычной формы; скорее, он просто показывает, что условия оптимизации для истинной функции социальной полезности аналогичны условиям оптимальности по Парето.

Абрам Бергсон и Пол Самуэльсон (1947)

Самуэльсон (отдавая должное Абраму Бергсону за суть его идей) привел вторую теорему Ланге о благосостоянии примерно к ее современной форме. Он следует за Ланге в выводе набора уравнений, необходимых для оптимальности по Парето, а затем рассматривает, какие дополнительные ограничения возникают, если от экономики требуется удовлетворять истинной функции общественного благосостояния, находя дополнительный набор уравнений, из которых следует, что «все действие, необходимое для достижения определенного этического желания, может принимать форму паушальных налогов или премий» .

Кеннет Эрроу и Жерар Дебре (отдельно, 1951)

Эрроу и Дебре Две статьи (написанный независимо и опубликованный почти одновременно) стремился улучшить строгость первой теоремы Ланге. Их отчеты относятся как к (краткосрочному) производству, так и к обмену, выражая условия обоих через линейные функции.

Равновесие для производства выражается ограничением, согласно которому стоимость чистого выпуска производителя, т. е. скалярное произведение вектора производства производителя на вектор цен, должна быть максимизирована в пределах производственного набора . Это интерпретируется как максимизация прибыли .

Равновесие для обмена интерпретируется как означающее, что полезность индивида должна быть максимизирована по сравнению с позициями, которые можно получить от дара посредством обмена, причем это позиции, ценность которых не превышает стоимости его или ее запаса, где ценность распределения равна его или ее запасам. скалярное произведение с вектором цены.

Эрроу мотивировал свою статью ссылкой на необходимость расширить доказательства, чтобы охватить равновесия на краю пространства, а Дебре - возможностью недифференцируемости кривых безразличия. Современные тексты следуют их стилю доказательства.

Теорема Гринвальда – Стиглица

В своей статье 1986 года «Внешние факторы в экономике с несовершенной информацией и неполными рынками» Брюс Гринвальд и Джозеф Стиглиц показали, что фундаментальные теоремы благосостояния не выполняются, если существуют неполные рынки или несовершенная информация. В статье установлено, что конкурентное равновесие экономики с асимметричной информацией, как правило, даже не ограничено эффективностью по Парето. Правительство, сталкивающееся с теми же информационными ограничениями, что и частные лица в экономике, тем не менее, может найти меры политического вмешательства, улучшающие Парето.

Гринвальд и Стиглиц отметили несколько соответствующих ситуаций, в том числе то, как моральный риск может сделать ситуацию неэффективной (например, налог на алкоголь может быть улучшен по Парето, поскольку он снижает количество автомобильных аварий).

Предположения для основных теорем

В принципе, существуют две широко распространенные версии фундаментальных теорем: одна относится к экономике обмена, в которой ресурсы даются экзогенно, и другая относится к экономике, в которой происходит производство. Экономика производства носит более общий характер и требует дополнительных допущений. Все предположения основаны на стандартном учебнике по микроэкономике для выпускников.

Фундаментальные теоремы обычно не гарантируют ни существования, ни единственности равновесий.

Первая фундаментальная теорема

• Отношение предпочтения $\geq _{i}$ является локально ненасыщенным для каждого потребителя i.
• Агенты (потребители, а в производственной экономике и фирмы) принимают цены как данность.
• Рынки заполнены .
• Идеальная информация .
• Агенты ведут себя рационально .
• Никаких внешних эффектов .

Вторая фундаментальная теорема

Вторая фундаментальная теорема имеет более жесткие условия.

• Все предположения первой теоремы; кроме того:
• Отношение предпочтения $\geq _{i}$ является локально ненасыщенным и выпуклым для каждого потребителя i
• Производственный набор $Y_{j}$ является выпуклой для каждой фирмы j.
• Для перехода от ценового квазиравновесия к ценовому равновесию с трансфертами: Начальный запас каждого агента строго положителен.

Распространенные ошибки предположений

Ниже приводится неисчерпывающий список распространенных ошибок в предположениях, лежащих в основе фундаментальных теорем.

• Поведение ценообразования: при взаимодействии в теории игр, например, когда фирмы обладают монопольной властью , возникающее в результате равновесие не является эффективным по Парето.
• Внешние эффекты: Во многих случаях, особенно в случае загрязнения окружающей среды и борьбы с изменением климата, это предположение нарушается. В некоторых случаях налог Пигу может восстановить эффективное по Парето распределение.
• Ненасыщение. Хотя ненасыщение является очень слабым предположением, существуют два основных случая, когда оно не выполняется. Во-первых, если у предпочтений есть точка насыщения (например, центральные банки, которые таргетируют инфляцию, имеют точку насыщения на уровне инфляции, на который они нацелены). Во-вторых, если товары можно покупать только отдельными частями, это предположение может быть нарушено.
• Рациональность. В области поведенческой экономики зафиксировано множество нарушений экономической рациональности.
• Выпуклость: при наличии возрастающей отдачи от масштаба выпуклость терпит неудачу. Заметим, что это предположение не является необходимым для первой фундаментальной теоремы.

Другой случай, когда теоремы о благосостоянии не выполняются, — это каноническая модель перекрывающихся поколений (OLG). Еще одно предположение, которое подразумевается в формулировке теоремы, заключается в том, что стоимость совокупных запасов в экономике (некоторые из которых могут быть преобразованы в другие товары посредством производства) конечна. В модели OLG ограниченность обеспеченности терпит неудачу, что приводит к проблемам, аналогичным описанным в парадоксе Гильберта о Гранд-Отеле .

Являются ли предположения, лежащие в основе фундаментальных теорем, адекватным описанием рынков, это, по крайней мере частично, эмпирический вопрос и может различаться в каждом конкретном случае.

Доказательство первой фундаментальной теоремы

Первая фундаментальная теорема справедлива при общих условиях. Формальное утверждение таково: если предпочтения локально ненасыщены и если $(\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )$ является ценовое равновесие с трансфертами, то распределение $(\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )$является оптимальным по Парето. Равновесие в этом смысле либо относится только к экономике обмена, либо предполагает, что фирмы эффективны в плане распределения и производства, что, как можно показать, следует из совершенно конкурентных рынков факторов производства и рынков факторов производства.

Учитывая набор $G$ видов товаров, с которыми мы работаем в реальном векторном пространстве над $G$, $\mathbb {R} ^{G}$ и используйте жирный шрифт для векторных переменных. Например, если $G=\lbrace {\text{butter}},{\text{cookies}},{\text{milk}}\rbrace$ затем $\mathbb {R} ^{G}$ будет трехмерным векторным пространством, а вектор $\langle 1,2,3\rangle$ будет представлять собой набор товаров, содержащий 1 единицу масла, 2 единицы печенья и 3 единицы молока.

Предположим, что потребитель i имеет богатство $w_{i}$ такой, что $\Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}}$ где $\mathbf {e}$ представляет собой совокупный запас товаров (т.е. сумму всех запасов потребителей и производителей) и $\mathbf {y_{j}^{*}}$ – это продукция фирмы j .

Максимизация предпочтений (из определения ценового равновесия с трансфертами) предполагает (использование $>_{i}$ для обозначения отношения предпочтения для потребителя i ):

если $\mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ затем $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\mathbf {w_{i}}$

Другими словами, если набор товаров строго предпочтительнее, чем $\mathbf {x_{i}^{*}}$ это должно быть недоступно по цене $\mathbf {p}$. Локальная ненасыщенность дополнительно подразумевает:

если $\mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ затем $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq \mathbf {w_{i}}$

Чтобы понять почему, представьте, что $\mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ но $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}$. Тогда по локальной ненасыщенности мы могли бы найти $\mathbf {x'_{i}}$ сколь угодно близко к $\mathbf {x_{i}}$ (и поэтому все еще доступный), но который строго предпочтительнее $\mathbf {x_{i}^{*}}$. Но $\mathbf {x_{i}^{*}}$ является результатом максимизации предпочтений, поэтому это противоречие.

Распределение — это пара $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ где $\mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}$ и $\mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}$, то есть $\mathbf {X}$ - это «матрица» (допускающая потенциально бесконечные строки/столбцы), i -й столбец которой представляет собой набор товаров, выделенных потребителю i, и $\mathbf {Y}$ – это «матрица», j -й столбец которой представляет собой продукцию фирмы j . Мы ограничиваем наше внимание возможными распределениями, то есть такими распределениями, при которых ни один потребитель не продает, а производитель не потребляет товары, которых им не хватает, т. е. для каждого товара и каждого потребителя первоначальные запасы потребителей плюс их чистый спрос должны быть положительными, как и для производителей.

Теперь рассмотрим распределение $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ что Парето доминирует $(\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})$. Это означает, что $\mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ для всех я и $\mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ для некоторых я . Из вышесказанного мы знаем $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}$ для всех я и $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}$ для некоторых я . Суммируя, находим:

$\Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}}$.

Потому что $\mathbf {Y^{*}}$ максимизирует прибыль, мы знаем $\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}$, так $\Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}}$. Но товары должны быть сохранены так $\Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}}$. Следовательно, $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ не осуществимо. Поскольку все распределения с доминированием по Парето невозможны, $(\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )$ сама должна быть оптимальной по Парето.

Обратите внимание, что хотя тот факт, что $\mathbf {Y^{*}}$ Если в формулировке теоремы просто предполагается максимизация прибыли, то результат будет полезен/интересен только в той степени, в которой такое распределение производства, максимизирующее прибыль, возможно. К счастью, при любом ограничении размещения продукции $\mathbf {Y^{*}}$ и цену в закрытое подмножество, на котором предельная цена ограничена от 0, например, любой разумный выбор непрерывных функций для параметризации возможного производства, такой максимум существует. Это следует из того факта, что минимальная предельная цена и конечное богатство ограничивают максимально возможное производство (0 ограничивает минимум), а теорема Тихонова гарантирует, что произведение этих компактных пространств компактно, гарантируя нам максимум любой непрерывной функции, которую мы желаем.

Доказательство второй фундаментальной теоремы

Вторая теорема формально утверждает, что в предположении, что каждое производственное множество $Y_{j}$ выпукло , и каждое отношение предпочтения $\geq _{i}$ является выпуклым и локально ненасыщенным , любое желаемое распределение, эффективное по Парето, может поддерживаться как ценовое квазиравновесие с трансфертами. Чтобы доказать это утверждение для ценового равновесия с трансфертами, необходимы дальнейшие предположения.

Доказательство проводится в два этапа: во-первых, мы доказываем, что любое эффективное по Парето распределение может поддерживаться как ценовое квазиравновесие с трансфертами; затем мы даем условия, при которых ценовое квазиравновесие также является ценовым равновесием.

Определим ценовое квазиравновесие с трансфертами как распределение $(x^{*},y^{*})$, вектор цен p и вектор уровней благосостояния w (достигаемых за счет единовременных трансфертов) с $\Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}$ (где $\omega$ представляет собой совокупный запас товаров и $y_{j}^{*}$ — это продукция фирмы j ) такая, что:

я. $p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}$ для всех $y_{j}\in Y_{j}$ (фирмы максимизируют прибыль, производя $y_{j}^{*}$)

ii. Для всех я , если $x_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ затем $p\cdot x_{i}\geq w_{i}$ (если $x_{i}$ строго предпочтительнее $x_{i}^{*}$ тогда это не может стоить меньше $x_{i}^{*}$)

iii. $\Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}$ (бюджетное ограничение удовлетворено)

Единственное различие между этим определением и стандартным определением ценового равновесия с трансфертами заключается в утверждении ( ii ). Неравенство здесь слабое ( $p\cdot x_{i}\geq w_{i}$), что делает цену квазиравновесной. Позже мы усилим это, чтобы добиться ценового равновесия. Определять $V_{i}$ быть набором всех потребительских наборов, которые строго предпочтительнее $x_{i}^{*}$ потребителем i , и пусть V — сумма всех $V_{i}$. $V_{i}$ является выпуклым из-за выпуклости отношения предпочтения $\geq _{i}$. V выпукло, потому что каждое $V_{i}$ является выпуклым. Сходным образом $Y+\{\omega \}$, объединение всех производственных наборов $Y_{i}$ плюс совокупный запас, является выпуклой, поскольку каждый $Y_{i}$ является выпуклым. Мы также знаем, что пересечение V и $Y+\{\omega \}$ должно быть пустым, потому что в противном случае это означало бы, что существует пакет, который строго предпочтительнее, чем $(x^{*},y^{*})$ доступен каждому и доступен по цене. Это исключается Парето-оптимальностью $(x^{*},y^{*})$.

Эти два выпуклых непересекающихся множества позволяют нам применить теорему о разделяющей гиперплоскости . Эта теорема утверждает, что существует вектор цен $p\neq 0$ и число r такое, что $p\cdot z\geq r$ для каждого $z\in V$ и $p\cdot z\leq r$ для каждого $z\in Y+\{\omega \}$. Другими словами, существует вектор цен, определяющий гиперплоскость, идеально разделяющую два выпуклых множества.

Далее мы утверждаем, что если $x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}$ за все, что я тогда $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r$. Это связано с локальной ненасыщенностью: должен быть пучок $x'_{i}$ сколь угодно близко к $x_{i}$ это строго предпочтительнее $x_{i}^{*}$ и, следовательно, часть $V_{i}$, так $p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r$. Принимая предел как $x'_{i}\rightarrow x_{i}$ не меняет слабое неравенство, поэтому $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r$ также. Другими словами, $x_{i}$ в заключении В. ​ находится

Используя это соотношение, мы видим, что для $x_{i}^{*}$ сам $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r$. Мы также знаем, что $\Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}$, так $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r$ также. Объединив их, мы находим, что $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r$. Мы можем использовать это уравнение, чтобы показать, что $(x^{*},y^{*},p)$ соответствует определению ценового квазиравновесия с трансфертами.

Потому что $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r$ и $\Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}$ мы знаем, что для любой фирмы j:

$p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})$ для $h\neq j$

что подразумевает $p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}$. Точно так же мы знаем:

$p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})$ для $k\neq i$

что подразумевает $p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}$. Эти два утверждения, наряду с возможностью распределения при оптимальном Парето, удовлетворяют трем условиям ценового квазиравновесия с трансфертами, поддерживаемыми уровнем благосостояния. $w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}$ для всех я .

Теперь мы обратимся к условиям, при которых ценовое квазиравновесие является также ценовым равновесием, другими словами, к условиям, при которых утверждение «если $x_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ затем $p\cdot x_{i}\geq w_{i}$"заполнить", если $x_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ затем $p\cdot x_{i}>w_{i}$«. Чтобы это было правдой, нам нужно теперь предположить, что набор потребления $X_{i}$ выпукло, и отношение предпочтения $\geq _{i}$ является непрерывным . Тогда, если существует вектор потребления $x'_{i}$ такой, что $x'_{i}\in X_{i}$ и $p\cdot x'_{i}<w_{i}$, ценовое квазиравновесие — это ценовое равновесие.

Чтобы понять почему, предположим обратное $x_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ и $p\cdot x_{i}=w_{i}$, и $x_{i}$ существует. Тогда по выпуклости $X_{i}$ у нас есть комплект $x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}$ с $p\cdot x''_{i}<w_{i}$. Благодаря непрерывности $\geq _{i}$ для $\alpha$ близко к 1 у нас есть $\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}$. Это противоречие, поскольку этот пучок предпочтительнее $x_{i}^{*}$ и стоит меньше, чем $w_{i}$.

Следовательно, для того чтобы ценовое квазиравновесие было ценовым равновесием, достаточно, чтобы потребительское множество было выпуклым, отношение предпочтений было непрерывным и чтобы всегда существовал «более дешевый» потребительский набор. $x'_{i}$. Один из способов обеспечить существование такого набора — установить требования к уровню благосостояния. $w_{i}$ быть строго положительным для всех потребителей i .

См. также

• Выпуклые предпочтения
• Теоремы Вариана : конкурентное равновесие является одновременно эффективным по Парето и свободным от зависти .
• Теория общего равновесия