Коробка Эджворта

Рис. 1. Ящик Эджворта

В экономике ящик Эджворта, иногда называемый ящиком Эджворта-Боули, представляет собой графическое представление рынка всего с двумя товарами, X и Y , и двумя потребителями. Размеры коробки представляют собой общие количества Ω _x и Ω _y двух товаров.

Пусть потребителями будут Октавио и Эбби. Верхний правый угол поля представляет собой распределение, при котором Октавио владеет всеми товарами, а нижний левый соответствует полному владению Эбби. Точки внутри рамки обозначают способы распределения товаров между двумя потребителями.

потребителей Поведение рынка будет определяться кривыми безразличия . Синие кривые на диаграмме представляют собой кривые безразличия для Октавио и показаны выпуклыми с его точки зрения (т. е. если смотреть снизу слева). Оранжевые кривые относятся к Эбби и являются выпуклыми, если смотреть сверху справа. Перемещение вверх и вправо увеличивает распределение Октавио и помещает его на более желательную кривую безразличия, в то время как Эбби попадает на менее желательную.

Выпуклые кривые безразличия считаются обычным случаем. Они соответствуют убывающей отдаче каждого товара по отношению к другому.

Обмен внутри рынка начинается с первоначального распределения, известного как пожертвование .

Основное использование ящика Эджворта — представить темы теории общего равновесия в форме, в которой свойства можно визуализировать графически. Это также может показать сложность достижения эффективного результата в условиях двусторонней монополии . В последнем случае он служит предшественником проблемы переговоров в теории игр , которая допускает уникальное численное решение.

История

коробки

Коробка Эджворта названа в честь Фрэнсиса Исидро Эджворта . который представил это в своей книге «Математическая психика: эссе о применении математики к моральным наукам» , 1881. Первоначальное двухосное изображение Эджворта было развито в уже знакомую мне коробчатую диаграмму Парето в его «Руководстве по политической экономии» 1906 года и популяризировано в более позднем изложении Боули . Современную версию диаграммы обычно называют коробкой Эджворта-Боули .

Математическая теория экономического равновесия

Концептуальную основу равновесия в рыночной экономике разработал Леон Вальрас. и далее расширен Вильфредо Парето . Его с пристальным вниманием к общности и строгости исследовали экономисты-математики двадцатого века, в том числе Абрахам Вальд , Пол Самуэльсон , Кеннет Эрроу и Жерар Дебре . Это было частью более широкого движения, в котором Вальд также стремился придать большую строгость теории принятия решений , а многие математики сосредоточились на минимизации зависимости от аксиомы выбора .

Теория вальрасовских рынков приложила все усилия, чтобы найти наиболее общие предпосылки, из которых можно было бы получить данный вывод. К областям, в которых помещения можно усилить или ослабить, относятся:

• дифференцируемы ли функции;
• являются ли кривые безразличия примитивными или выводимыми из функций полезности ; и
• Являются ли кривые безразличия выпуклыми.

Допущения также сделаны более технического характера, например, необратимость, насыщение и т. д.

Стремление к строгости не всегда способствует понятности. В этой статье кривые безразличия будут рассматриваться как примитивные. Сначала мы будем рассматривать их как выпуклые и дифференцируемые и сосредоточимся на внутренних равновесиях, но впоследствии ослабим эти предположения.

Рыночное

Рис. 2. Рынок коробок Эджворта

Поскольку существует только два товара, эффективная цена — это обменный курс между ними. Наша цель — найти цену, при которой может быть достигнуто рыночное равновесие, т. е. точка, при которой дальнейшие транзакции нежелательны, начиная с данного запаса. Эти количества будут определяться кривыми безразличия двух потребителей, как показано на рис. 2.

Предположим, что каждый день Октавио и Эбби ходят на рынок с запасами (ω _x ,ω _y ) и ( Ω _x – ω _x , Ω _y – ω _y ) двух товаров, что соответствует положению ω на диаграмме. Два потребителя будут обмениваться между собой в условиях конкурентного рыночного поведения. Это предположение требует определенной приостановки недоверия, поскольку условия совершенной конкуренции , включающей бесконечное число потребителей, не выполняются.

Если два X обмениваются на один Y , то транзакция Октавио и Эбби приведет их в некоторую точку вдоль сплошной серой линии, которая известна как бюджетная линия . (Более точно, бюджетную линию можно определить как прямую линию, проходящую через точку обеспеченности, представляющую распределения, получаемые путем обмена по определенной цене.) Бюджетные линии для нескольких других цен также показаны пунктирными и пунктирными линиями на рис. 2.

Рис. 3. Равновесие в ящике Эджворта

Равновесие, соответствующее данному запасу ω, определяется парой кривых безразличия, имеющих общую касательную, такую, что эта касательная проходит через ω . Мы будем использовать термин «линия цены» для обозначения общей касательной к двум кривым безразличия. Таким образом, равновесие соответствует бюджетной линии, которая также является линией цен, а цена в равновесии представляет собой градиент этой линии. На рис. 3 ω — это запасы, а ω ’ — равновесное распределение.

Причина этого заключается в следующем.

Рис. 4. Разделение микрорайона пересечением кривых безразличия

Во-первых, любая точка в квадрате должна лежать ровно на одной из кривых безразличия Эбби и ровно на одной из кривых Октавио. Если кривые пересекаются (как показано на рис. 4), то они делят ближайшее окружение на четыре региона, один из которых (показан бледно-зеленым цветом) является предпочтительным для обоих потребителей; поэтому точка, в которой пересекаются кривые безразличия, не может быть равновесием, а равновесие должно быть точкой касания.

Во-вторых, единственная цена, которая может удерживаться на рынке в точке касания, — это цена, определяемая градиентом касательной, поскольку только при этой цене потребители будут готовы принять ограниченно малый обмен.

И, в-третьих (самый трудный момент), все обмены, ведущие потребителей на путь от ω к равновесию, должны происходить по одной и той же цене. Если это принять, то эта цена должна быть единственной, действующей в точке касания, и результат будет следующим.

В экономике двух человек нет никакой гарантии, что все обмены будут происходить по одинаковой цене. Но цель блока Эджворта — не проиллюстрировать фиксацию цен, которая может иметь место при отсутствии конкуренции, а, скорее, проиллюстрировать конкурентную экономику в минимальном случае. Таким образом, мы можем представить, что вместо одной Эбби и одного Октавио у нас есть бесконечное количество клонов каждого из них, все они поступают на рынок с одинаковыми возможностями в разное время и постепенно проходят путь к равновесию. Вновь прибывший Октавио может обменять по рыночной цене Эбби, близкую к равновесию, и пока вновь прибывшая Эбби обменивается с почти удовлетворенным Октавио, цифры будут уравновешиваться. Чтобы обмен работал в большой конкурентной экономике, для всех должна царить одна и та же цена. Таким образом, обмен должен перемещать распределение вдоль ценовой линии, как мы ее определили.

Задача нахождения конкурентного равновесия соответственно сводится к задаче нахождения точки касания двух кривых безразличия, для которых касательная проходит через данную точку. Использование кривых предложения (описанных ниже) обеспечивает систематическую процедуру для этого.

Множество Парето

Рис. 5. Деление ящика двумя касательными кривыми безразличия

Говорят, что распределение товаров «доминирует по Парето» над другим, если оно предпочтительнее для одного потребителя и не хуже для другого. Распределение называется « оптимальным по Парето » (или «эффективным по Парето»), если никакое другое распределение по Парето не доминирует над ним. Набор оптимальных по Парето распределений известен как набор Парето (или «эффективный локус»).

Рассмотрим пару тангенциальных кривых, по одной для каждого потребителя, как показано на рис. 5, где точка касания показана фиолетовой точкой. Тогда выпуклость гарантирует, что кривые не могут пересекаться ни в каком другом месте, кроме точки касания, и прямоугольник соответственно делится на 3 области. Бледно-голубая область предпочтительнее точки касания для Октавио, но хуже для Эбби; бледно-оранжевая область предпочтительнее для Эбби, но хуже для Октавио; и белая область хуже для обоих. Аналогичные соображения применимы и к границам. Отсюда следует, что точка касания оптимальна по Парето.

Рис. 6. Множество Парето (фиолетовая линия) для ящика Эджворта.

Таким образом, множество Парето является геометрическим местом точек касания кривых. Это линия, соединяющая происхождение Октавио (O) с происхождением Эбби (A). Пример показан на рис. 6, где фиолетовая линия представляет собой множество Парето, соответствующее кривым безразличия для двух потребителей.

Словарь, используемый для описания различных объектов, входящих в ящик Эджворта, различается. Все множество Парето иногда называют контрактной кривой , тогда как Мас-Колелл и др. ограничьте определение кривой контрактов только теми точками множества Парето, которые обеспечивают как Эбби, так и Октавио по крайней мере такое же благосостояние, как и при их первоначальном обеспеченности. Другие авторы, имеющие более склонность к теории игр , такие как Мартин Осборн и Ариэль Рубинштейн , используйте термин «ядро» для обозначения той части множества Парето, которая по крайней мере так же хороша для каждого потребителя, как и первоначальный запас.

Поскольку множество Парето представляет собой набор точек, в которых кривые безразличия потребителей касаются друг друга, это также набор точек, в которых предельная норма замещения каждого потребителя равна таковой у другого человека.

Первая фундаментальная теорема экономики благосостояния

Мы видели, что точки касания кривых безразличия представляют собой оптимумы Парето, но ранее мы также видели, что экономическое равновесие — это те точки, в которых кривые безразличия касаются общей линии цен. Отсюда следует, что равновесия представляют собой в точности оптимумы Парето.

Этот аргумент применим с одним ограничением, даже если кривые недифференцируемы или если равновесие находится на границе. Условием равновесия является отсутствие дальнейшего обмена, а условием прекращения дальнейшего обмена является отсутствие направления движения, которое приносило бы пользу одному потребителю, не причиняя вреда другому; и это эквивалентно определению оптимума Парето.

Ограничение состоит в том, что равновесие подразумевает невозможность локального улучшения – другими словами, точка является «локально» оптимальной по Парето. Но оптимальность по Парето в настоящее время считается глобальной по определению. Таким образом, если природа кривых безразличия допускает возникновение неглобальных оптимумов (чего не может случиться, если они выпуклые), тогда равновесие может не оказаться оптимальным по Парето.

Совершенная конкуренция не является предварительным условием теоремы. Пока потребители могут свободно обмениваться и будут продолжать это делать до тех пор, пока не будет доступен взаимоприемлемый обмен, равновесие будет достигнуто и будет (по крайней мере, «локально») оптимальным по Парето.

Вторая фундаментальная теорема экономики благосостояния

Рис. 7. Вторая теорема благосостояния

Теперь рассмотрим экономику, в которой потребители обладают запасами ω, как показано на рис. 7. Предоставленные самим себе свободный рынок приведет их к ω' . Но предположим, что какая-то другая позиция в ячейке – скажем, α’ – считается социально предпочтительной. Можно предположить, что социально желаемая позиция является оптимальной по Парето.

Мы можем рассматривать линии цен (показаны на диаграмме пунктирными линиями) как соответствующие различным распределениям реального дохода, а движение вдоль них — как перераспределение ресурсов, в то время как доходы остаются фиксированными.

Тогда, чтобы переместить общество в желаемую точку α', правительству не обязательно перераспределять ресурсы таким образом, чтобы Октавио имело (α' _x ,α' _y ), а Эбби - дополнение: достаточно перераспределить ресурсы привести экономику в любую точку (скажем, α ) на линии цен, проходящей через α' , а затем покинуть рынок, чтобы найти собственное равновесие. Действительно, пока правительство признает желательное распределение доходов, ему не нужно иметь никакого представления об оптимальном распределении ресурсов.

В заявлении для более общей экономики теорема могла бы быть воспринята как утверждающая, что α' может быть достигнуто путем денежного перевода, за которым следует свободная игра рыночного обмена; но в ящике Эджворта нет денег.

Вторая фундаментальная теорема не дает плана решения проблем общества. Правительство может решить перераспределить ресурсы между Октавио и Эбби, переместив их из ω в α до начала дневных торгов; и, как следствие, тот, кто проиграет, может решить на следующий день вывести на рынок меньше товара. Вторая фундаментальная теорема не учитывает искажения, вносимые перераспределением.

Кривые предложения

Рис. 8. Предпочтительные баллы по разным статьям бюджета

Кривые предложения служат средством поиска точек равновесия, а также полезны для исследования их существования и уникальности.

В рамке можно нарисовать две такие кривые, по одной для каждого потребителя и обе в зависимости от обеспеченности. Мы поворачиваем бюджетную линию вокруг ω и прослеживаем вдоль нее точки, наиболее предпочитаемые двумя потребителями, как показано цветными точками на рис. 8. Это точки, в которых линия касается их собственных кривых безразличия.

Рис. 9. Кривые предложения

Местом наибольшего благоприятствования потребителя является его кривая предложения. На рис. 9 кривая предложения Октавио обозначена темно-синим цветом, а кривая предложения Эбби — коричневым. Они встречаются в точке ω ' , и линия равновесного бюджета (нарисованная серым цветом) проходит через эту точку. Кривые безразличия через ω ' для двух потребителей показаны более бледными цветами.

Кривая предложения обязательно проходит через точку обеспеченности ω . Если мы возьмем Эбби в качестве примера, мы заметим, что одна из ее кривых безразличия должна проходить через ω и что бюджетная линия может быть выбрана так, чтобы иметь тот же градиент, что и кривая безразличия здесь, что делает ω наиболее предпочтительной точкой для этой линии.

В результате кривые предложения двух потребителей обязательно пересекаются в точке ω ; но свойство, благодаря которому это происходит, состоит в том, что ω — единственная возможная точка пересечения, согласующаяся с бюджетными линиями с разным градиентом, и поэтому она не обязательно представляет собой равновесие.

Любое пересечение кривых предложения в точке, отличной от ω, определяет устойчивое равновесие. Если две кривые предложения касаются друг друга в точке обеспеченности, то эта точка действительно является равновесием, и их общая касательная является соответствующей бюджетной линией.

для

Кривые предложения впервые были использованы Вильфредо Парето – см. его «Manuale / Manuel Chap». III, §97. Он называл их «кривыми обмена» ( linee dei baratti / lignes des échanges ), а предпочитаемое Октавио распределение по бюджетной линии называлось его «точкой равновесия».

Это предпочтительное распределение сегодня иногда называют «спросом» Октавио, которое представляет собой асимметричное описание симметричного факта. Распределение определяет долю Эбби в такой же степени, как и долю Октавио, и поэтому является в такой же степени предложением, как и спросом.

Offre по-французски означает «предложение», поэтому называть кривую предложения местом спроса — это то же самое, что называть кривую предложения местом спроса.

равновесий

Рис. 10. Ящик Эджворта с множественными состояниями равновесия.

Рис. 11. Ящик Эджворта с множественными состояниями равновесия (деталь)

Из экономических соображений можно предположить, что если существует общая касательная через данный запас и если кривые безразличия не имеют патологической формы, то точка касания будет единственной. Оказывается, это неправда. Условия единственности равновесия были предметом обширных исследований: см. Теорию общего равновесия .

Рис. 9 и 10 иллюстрируют пример Мас-Колелла и др. в котором три различных состояния равновесия соответствуют точке обеспеченности ω . Кривые безразличия:

$\quad x-{\tfrac {1}{8}}y^{-8}=u$ (Октавио)

$\quad y-{\tfrac {1}{8}}x^{-8}=u$ (Эбби).

Кривые безразличия заполняют рамку, но отображаются только по касательной к некоторым репрезентативным бюджетным линиям. Кривые предложения, изображенные на рис. 11, пересекаются в трех точках, показанных большими серыми точками и соответствующих обменным курсам валют. 1 ⁄ 2 , 1 и 2.

Обобщения

Ранние исследования свойств равновесия были основаны на неявном определении касания, а выпуклость, по-видимому, подразумевалась неявно. В том, что равновесие будет достигнуто, сомнений не было: градиентный подъем к нему приведет . Но результатам не хватало общности.

недифференцируемые

Рис. 12. Ценовые линии для ящика с граничными равновесиями

Кеннет Эрроу и Жерар Дебре независимо опубликовали статьи в 1951 году, обратив внимание на ограничения в математических доказательствах теорем о равновесии. Эрроу особо упомянул о трудностях, вызванных равновесием на границе, а Дебре - о проблеме недифференцируемых кривых безразличия.

Не претендуя на исчерпывающий охват, легко интуитивно увидеть, как расширить наши методы для применения в этих случаях. Нам необходимо расширить понятие касательной, включив в нее любую линию, касающуюся кривой: касательную в этимологическом смысле, а не в дифференциальном исчислении. В примере, показанном на рис. 12, через точку контакта проходит дуга законных ценовых линий, каждая из которых касается кривых безразличия, не разрезая их внутри прямоугольника, и, соответственно, существует диапазон возможных равновесий для данного запаса средств.

Конкурентное равновесие

Равновесия на рис. 12 не являются точками, в которых кривые действительно касаются друг друга. Однако у них есть свойство, которое обобщает определение с точки зрения касательных: две кривые могут быть локально разделены прямой линией.

Эрроу и Дебре определяли равновесие так же, как друг друга, в своих (независимых) статьях 1951 года, не указывая какого-либо источника или обоснования для своего определения. Они сохранили свое определение в своей совместной статье (о существовании равновесия) 1954 года. Новое определение потребовало изменения математической техники от дифференциального исчисления к теории выпуклых множеств .

По сути, их определение было таким: равновесие, достижимое за счет запаса ω, состоит из распределения x и бюджетной линии, проходящей через x и ω, так что на этой линии нет точки, которую какой-либо потребитель (строго) предпочитал бы x . Пара, состоящая из распределения и линии, удовлетворяющей этому свойству, известна как «вальрасовское» или « конкурентное» равновесие .

Рис. 13. «Локальное» равновесие

Бюджетная линия в этом определении — это линия, которая разделяет кривые безразличия двух потребителей, но делает это глобально, а не локально. Эрроу и Дебре не объясняют, почему им требуется глобальное разделение, которое, возможно, облегчило их доказательства, но, как можно видеть, имеет неожиданные последствия. На рис. 13 точка x представляет собой точку касания, которая также является точкой, в которой кривые безразличия локально разделены пунктирной линией цен; но поскольку они не разделены глобально, эта точка не является равновесием согласно определению Эрроу и Дебре.

Рис. 14. Оптимум Парето, который не является «конкурентным равновесием».

На рис. 14 точка x представляет собой оптимум Парето, который не удовлетворяет определению конкурентного равновесия. ли экономика Вопрос о том, установится в такой точке, совершенно отделен от того, удовлетворяет ли она данному определению равновесия; очевидно, в этом случае он действительно там поселится.

Эрроу и Дебре всегда включали выпуклость кривых безразличия в число своих «предположений». Термин «предположения» является расплывчатым и может относиться к предпосылке, лежащей в основе определений, а также теорем, или к предпосылке, которая необходима только для последних. Учитывая, что их определение не включает в себя все состояния равновесия, которые могут существовать, когда кривые могут быть невыпуклыми, возможно, они имели в виду предположение о выпуклости в первом смысле. Независимо от того, так это или нет, определение получило широкое распространение без каких-либо ограничений сферы применения.

Иногда обнаруживалось, что результаты могут быть получены в соответствии с их определениями, не предполагая выпуклость доказательства (примером является первая фундаментальная теорема экономики благосостояния).

Существование конкурентного равновесия

В некоторых экономиках не будет точки покоя, достижимой при обмене данного запаса по единым ценам; следовательно, не существует точки покоя, удовлетворяющей определению конкурентного равновесия. Примером этого являются семейства кривых рисунка, показанного на рис. 14.

Фундаментальные теоремы экономики благосостояния

Если равновесие определяется как «конкурентное равновесие», первая фундаментальная теорема может быть доказана, даже если кривые безразличия не обязательно должны быть выпуклыми: любое конкурентное равновесие является (глобально) оптимальным по Парето. Однако доказательство уже не очевидно, и читатель отсылается к статье « Основные теоремы экономики благосостояния» .

Тот же результат не считался справедливым (с невыпуклыми кривыми безразличия) при касательном определении равновесия. Точку x на рис. 13 можно было бы считать равновесием, которое не было (глобально) оптимальным, поскольку в ней доминирует желтая область Парето.

Из этого не следует, что результат был усилен, поскольку достижимость равновесия оказалась сомнительной. На рис. 13 точка x , возможно, не является «конкурентным равновесием», но экономика может застрять в ней, не позволяя ей достичь «истинного» (и оптимального по Парето) равновесия в желтой области.

Для первой теоремы благосостояния всегда считалось важным, чтобы равновесие действительно было достигнуто. Интерпретация теоремы Лернером заключалась в следующем: «К счастью, оптимальное распределение товаров может быть достигнуто автоматически». Однако ничто не может гарантировать, что глобальный оптимум будет достигнут при наличии локальных оптимумов. Если понятие равновесия включает локальные оптимумы, такие как x , то равновесие может быть достижимым, но неоптимальным; если такие точки исключить, то равновесие может быть оптимальным, но недостижимым.

Различия, вызванные невыпуклостью, становятся более глубокими, когда мы смотрим на вторую фундаментальную теорему. Не каждый оптимум Парето является конкурентным равновесием (хотя он все же может оставаться местом отдыха для экономики). Следовательно, теорему необходимо либо принять в качестве предпосылки выпуклость предпочтений, либо сформулировать таким образом, чтобы «равновесие» не понималось как «конкурентное равновесие», как оно определено выше.

Ссылки

• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д.; Джерри Р. Грин (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-507340-1 .
• Вильфредо Парето , Manuale di Economia Politica con una Introduzione alla Scienza Sociale (1906) / Manuel d'Economie Politique (1909) (фактически второе издание итальянской версии), англ. тр. (на французском языке) как «Руководство по политической экономии» (1971). Текст на итальянском языке доступен онлайн по адресу https://archive.org/details/manualedieconomi00pareuoft .

Внешние ссылки

• Моделирование на Wolfram.com
• Объяснение коробки Эджворта в экономической правде
• Объяснение коробки Эджворта в Digital Economist