Кривая контракта

Синяя кривая эффективных по Парето точек в точках касания кривых безразличия в ящике Эджворта . Если первоначальное распределение двух товаров происходит в точке, отличной от этого локуса, то два человека могут торговать в точке эффективного локуса внутри линзы, образованной кривыми безразличия, на которых они первоначально находились. Набор всех этих эффективных точек, до которых можно торговать, представляет собой кривую контракта.
На графике ниже начальные способности двух людей находятся в точке X на кривой безразличия Кельвина K ₁ и кривой безразличия Джейн J ₁ . Оттуда они могли бы договориться о взаимовыгодной торговле с любой точкой линзы, образованной этими кривыми безразличия. Но единственные точки, из которых не существует взаимовыгодной торговли, - это точки касания между кривыми безразличия двух людей, такие как точка E. Контрактная кривая представляет собой набор этих касаний кривых безразличия внутри линзы - это кривая, которая наклонена вверх. вправо и проходит через точку Е.

В микроэкономике или кривая контракта множество Парето Это набор точек, представляющий окончательное распределение двух товаров между двумя людьми, которое могло произойти в результате взаимовыгодной торговли между этими людьми с учетом их первоначального распределения товаров. Все точки в этом локусе являются распределениями, эффективными по Парето , что означает, что ни в одной из этих точек не происходит перераспределения, которое могло бы сделать одного из людей более удовлетворенным своим распределением, не делая при этом другого человека менее удовлетворенным. Кривая контракта представляет собой подмножество эффективных точек Парето, которых можно достичь, торгуя за счет первоначальных запасов людей этими двумя товарами. Это изображено на диаграмме Эджворта , показанной здесь, на которой распределение каждого человека измеряется по вертикали для одного товара и по горизонтали для другого товара из источника этого человека (точка нулевого распределения обоих товаров); начало координат одного человека — левый нижний угол поля Эджворта, а начало координат другого — правый верхний угол поля. Первоначальные запасы людей (начальное распределение двух товаров) обозначены на диаграмме точкой; два человека будут торговать товарами друг с другом до тех пор, пока дальнейшая взаимовыгодная торговля не станет возможной. Набор точек, в которых концептуально возможно остановиться, — это точки на кривой контрактов.

Однако большинство авторов определить кривую контракта как весь эффективный по Парето график от одного начала до другого.

Любое равновесие по Вальрасу лежит на кривой контрактов. Как и все точки, являющиеся эффективными по Парето , каждая точка на кривой контракта является точкой касания кривой безразличия одного человека и кривой безразличия другого человека. Таким образом, на контрактной кривой предельная норма замещения одинакова для обоих людей.

Пример

Предположим, что существует экономика с двумя агентами, Октавио и Эбби, которые потребляют два товара X и Y, запасы которых фиксированы, как показано на приведенной выше диаграмме Эджворта. Далее предположим, что между Октавио и Эбби существует первоначальное распределение (наделенность) благами, и пусть каждый из них имеет нормально структурированные (выпуклые) предпочтения, представленные кривыми безразличия , которые выпуклы в сторону соответствующего происхождения людей. Если первоначальное распределение не находится в точке касания между кривыми безразличия Октавио и кривой безразличия Эбби, то это первоначальное распределение должно находиться в точке, где кривая безразличия Октавио пересекает кривую безразличия Эбби. Эти две кривые безразличия образуют форму линзы с начальным распределением в одном из двух углов линзы. Октавио и Эбби предпочтут совершить взаимовыгодную сделку — то есть они будут торговать до точки, которая находится на лучшей (дальней от начала координат) кривой безразличия для обоих. Такая точка будет находиться внутри линзы, и скорость, с которой один товар будет обмениваться на другой, будет находиться между предельной нормой замещения Октавио и Эбби. Поскольку торговля всегда будет обеспечивать каждого человека большим количеством одного товара и меньшим количеством другого, торговля приводит к движению вверх и влево или вниз и вправо на диаграмме.

Два человека будут продолжать торговать до тех пор, пока предельная норма замещения каждого из них (абсолютное значение наклона кривой безразличия этого человека в этой точке) отличается от такового у другого человека при текущем распределении (в этом случае будет взаимоприемлемое торговое соотношение одного товара к другому между различными предельными нормами замещения). В момент, когда предельная норма замещения Октавио равна предельной норме замещения Эбби, взаимовыгодный обмен более невозможен. Эта точка называется эффективным по Парето равновесием. В ящике Эджворта это точка, в которой кривая безразличия Октавио касается кривой безразличия Эбби, и она находится внутри линзы, образованной их первоначальными распределениями.

Таким образом, кривая контракта, набор точек, в которых могли бы оказаться Октавио и Эбби, представляет собой часть эффективного по Парето локуса, находящегося внутри линзы, образованной первоначальными распределениями. Анализ не может сказать, в какой именно точке контрактной кривой они окажутся — это зависит от навыков двух людей вести переговоры.

объяснение

В случае двух товаров и двух индивидуумов кривую контракта можно найти следующим образом. Здесь $x_{2}^{1}$ относится к окончательному количеству товара 2, выделенному лицу 1 и т. д., $u^{1}$ и $u^{2}$ относятся к окончательным уровням полезности, которые испытывает человек 1 и человек 2 соответственно, $u_{0}^{2}$ относится к уровню полезности, которую человек 2 получил бы от первоначального распределения вообще без торговли, и $\omega _{1}^{tot}$ и $\omega _{2}^{tot}$ относятся к фиксированному общему количеству имеющихся товаров 1 и 2 соответственно.

$\max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})$

подлежит:

$x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}$

$x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}$

$u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}$

Эта задача оптимизации гласит, что товары должны распределяться между двумя людьми таким образом, чтобы двум людям вместе взятым распределялось не более доступного количества каждого товара, а полезность первого человека должна быть как можно выше, пока сделать полезность второго человека не ниже, чем при первоначальном распределении (чтобы второй человек не отказался торговать от первоначального распределения до найденной точки); эта формулировка задачи находит эффективную по Парето точку на линзе, как можно дальше от происхождения человека 1. Это точка, которая была бы достигнута, если бы человек 1 имел всю переговорную силу. (На самом деле, чтобы создать хотя бы небольшой стимул для человека 2 согласиться торговать до определенной точки, точка должна находиться немного внутри линзы.)

Чтобы проследить всю кривую контракта, описанную выше задачу оптимизации можно изменить следующим образом. Максимизируйте средневзвешенное значение полезностей лиц 1 и 2 с весами b и 1 – b при условии, что распределение каждого товара не превышает его предложение, и при условии, что полезности обоих людей будут по крайней мере столь же велики, как их коммунальные услуги при первоначальных вкладах:

$\max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}b\cdot u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})+(1-b)\cdot u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})$

подлежит:

$x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}$

$x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}$

$u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})\geq u_{0}^{1}$

$u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}$

где $u^{1}$ — это полезность, которую человек 1 мог бы получить, если бы он не тратил свои первоначальные запасы. Варьируя весовой параметр b , можно проследить всю кривую контракта: если b = 1, проблема аналогична предыдущей задаче и определяет эффективную точку на одном краю линзы, образованной кривыми безразличия исходной задачи. пожертвование; если b = 0, весь вес приходится на полезность человека 2, а не на полезность человека 1, и поэтому оптимизация определяет эффективную точку на другом краю линзы. Поскольку b плавно меняется между этими двумя крайностями, все промежуточные точки на контрактной кривой прослеживаются.

Обратите внимание, что приведенные выше оптимизации не являются теми, которыми на самом деле занимались бы два человека, ни явно, ни неявно. Вместо этого эти оптимизации — это просто способ для экономиста определить точки на кривой контрактов.

См. также

• Экономика благосостояния
• Список тем по экономике

Ссылки

• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д.; и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN   0-19-510268-1