Конкурентное равновесие

Конкурентное равновесие (также называемое: вальрасианское равновесие ) — это концепция экономического равновесия , введенная Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре в 1951 году. подходит для анализа товарных рынков с гибкими ценами и множеством торговцев и служит эталоном эффективности экономического анализа. Он в решающей степени опирается на предположение о конкурентной среде , в которой каждый трейдер выбирает количество, которое настолько мало по сравнению с общим количеством, продаваемым на рынке, что его отдельные транзакции не оказывают никакого влияния на цены. Конкурентные рынки являются идеальным стандартом, по которому оцениваются другие рыночные структуры.

Определения

Конкурентное равновесие (КЭ) состоит из двух элементов:

• Функция цены $P$. В качестве аргумента он принимает вектор, представляющий набор товаров, и возвращает положительное действительное число, представляющее его цену. Обычно функция цены линейна – она представляется в виде вектора цен, цены на каждый вид товара.
• Матрица распределения $X$. Для каждого $i\in 1,\dots ,n$, $X_{i}$ - вектор товаров, выделенных агенту $i$.

Эти элементы должны удовлетворять следующему требованию:

• Удовлетворенность ( свобода от рыночной зависти ): каждый агент слабо предпочитает свой набор любому другому доступному набору:

$\forall i\in 1,\dots ,n$, если $P(Y)\leq P(X_{i})$ затем $Y\preceq _{i}X_{i}$.

Часто существует первоначальная матрица обеспеченности. $E$: для каждого $i\in 1,\dots ,n$, $E_{i}$ это первоначальный вклад агента $i$. Затем CE должен удовлетворять некоторым дополнительным требованиям:

• Расчистка рынка : спрос равен предложению, никакие предметы не создаются и не уничтожаются:

$\sum _{i=1}^{n}X_{i}=\sum _{i=1}^{n}E_{i}$.

• Индивидуальная рациональность : все агенты после сделки получают больше выгоды, чем до сделки:

$\forall i\in 1,\dots ,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i}$.

• Бюджетный баланс : все агенты могут позволить себе распределение средств с учетом своих ресурсов:

$\forall i\in 1,\dots ,n:P(X_{i})\leq P(E_{i})$.

Определение 2

Это определение явно допускает возможность существования нескольких товарных массивов, одинаково привлекательных. Также по нулевой цене. Альтернативное определение опирается на концепцию набора спроса . Учитывая функцию цены P и агента с функцией полезности U, определенный набор товаров x входит в набор спроса агента, если: $U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)$ для каждого другого пакета y. Конкурентное равновесие — это функция цены P и матрица распределения X такие, что:

• Набор, выделенный X каждому агенту, входит в набор спроса этого агента для вектора цен P;
• Каждый товар, имеющий положительную цену, полностью распределен (т. е. каждый нераспределенный товар имеет цену 0).

Примерное равновесие

В некоторых случаях полезно определить равновесие, при котором условие рациональности смягчено. Учитывая положительное значение $\epsilon$ (измеряется в денежных единицах, например, долларах), вектор цен $P$ и связка $x$, определять $P_{\epsilon }^{x}$ как вектор цен, в котором все товары в x имеют ту же цену, что и в P, а все товары, не входящие в x, имеют цену $\epsilon$ больше, чем их цена в П.

В $\epsilon$-competitive-equilibrium пакет x, выделенный агенту, должен входить в набор спроса этого агента для модифицированного вектора цен, $P_{\epsilon }^{x}$.

Это приближение реалистично при наличии комиссий на покупку/продажу. Например, предположим, что агент должен заплатить $\epsilon$ долларов за покупку единицы товара в дополнение к цене этого товара. Этот агент сохранит свой текущий пакет до тех пор, пока он находится в наборе спроса для вектора цен. $P_{\epsilon }^{x}$. Это делает равновесие более устойчивым.

Примеры

Следующие примеры включают экономику обмена с двумя агентами, Джейн и Кельвином, двумя товарами, например бананами (x) и яблоками (y), и отсутствием денег.

1. Графический пример . Предположим, что первоначальное распределение находится в точке X, где у Джейн больше яблок, чем у Кельвина, а у Кельвина больше бананов, чем у Джейн.

Глядя на их кривые безразличия $J_{1}$ Джейн и $K_{1}$ Кельвина, мы видим, что это не равновесие - оба агента готовы торговать друг с другом по ценам $P_{x}$ и $P_{y}$. После торговли Джейн и Кельвин переходят к кривой безразличия, которая отражает более высокий уровень полезности. $J_{2}$ и $K_{2}$. Новые кривые безразличия пересекаются в точке Е. Наклон касательной обеих кривых равен - $P_{x}/P_{y}$.

И $MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}$; $MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}$.Предельная норма замещения (MRS) Джейн равна коэффициенту Кельвина. Таким образом, общество двух индивидуумов достигает эффективности по Парето , при которой нет способа улучшить благосостояние Джейн или Кельвина, не ухудшив при этом положение другого.

2. Арифметический пример: предположим, что оба агента имеют утилиты Кобба–Дугласа :

$u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}$

$u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}$

где $a,b$ являются константами.

Предположим, что первоначальный запас составляет $E=[(1,0),(0,1)]$.

Функция спроса Джейн на x равна:

$x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}}=a$

Функция спроса Кельвина на x:

$x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}$

Условие рыночного очищения для x:

$x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1$

Это уравнение дает соотношение равновесных цен:

${\frac {p_{y}}{p_{x}}}={\frac {1-a}{b}}$

Мы могли бы провести аналогичный расчет для y, но в этом нет необходимости, поскольку закон Вальраса гарантирует, что результаты будут такими же. Обратите внимание, что в CE определяются только относительные цены; мы можем нормализовать цены, например, потребовав, чтобы $p_{x}+p_{y}=1$. Тогда мы получим $p_{x}={\frac {b}{1+b-a}},p_{y}={\frac {1-a}{1+b-a}}$. Но подойдет и любая другая нормализация.

3. Пример отсутствия существования. Предположим, что полезности агентов таковы:

$u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)$

и начальный запас равен [(2,1),(2,1)].В CE каждый агент должен иметь либо только x, либо только y (другой продукт не вносит никакого вклада в полезность, поэтому агент хотел бы обменять его). Следовательно, единственными возможными распределениями CE являются [(4,0),(0,2)] и [(0,2),(4,0)]. Поскольку доходы агентов одинаковы, обязательно $p_{y}=2p_{x}$. Но тогда агент, владеющий 2 единицами Y, захочет обменять их на 4 единицы X.

4. Примеры существования и несуществования линейных утилит см. в разделе Линейная полезность#Примеры .

Неделимые предметы

Когда в экономике существуют неделимые предметы, принято предполагать, что существуют также делимые деньги. Агенты имеют квазилинейные функции полезности: их полезность равна сумме денег, которую они имеют, плюс полезность от набора предметов, которыми они владеют.

A. Одиночный элемент: у Алисы есть машина, которую она оценивает в 10. У Боба нет машины, и он оценивает машину Алисы в 20. Возможный CE: цена машины равна 15, Боб получает машину и платит Алисе 15. . Это равновесие, поскольку рынок очищен и оба агента предпочитают свой окончательный набор начальному. Фактически, каждая цена между 10 и 20 будет ценой CE с тем же распределением. Та же ситуация имеет место, когда автомобиль изначально принадлежит не Алисе, а находится на аукционе, на котором и Алиса, и Боб являются покупателями: автомобиль перейдет к Бобу, а цена будет где-то между 10 и 20.

С другой стороны, любая цена ниже 10 не является равновесной ценой, поскольку существует избыточный спрос (и Алиса, и Боб хотят купить автомобиль по этой цене), а любая цена выше 20 не является равновесной ценой, поскольку существует избыточное предложение ( ни Алиса, ни Боб не хотят покупать машину по такой цене).

Этот пример является частным случаем двойного аукциона .

Б. Запасные: Автомобиль и лошадь продаются на аукционе. Алису заботит только транспорт, поэтому для нее это идеальные заменители: она получает полезность 8 от лошади, 9 от машины, а если у нее есть и то, и другое, то она использует только машину, поэтому ее полезность равна 9. Боб получает полезность 5 от лошади и 7 от машины, но если у него есть оба, то его полезность равна 11, поскольку лошадь ему также нравится как домашнее животное. В этом случае найти равновесие сложнее (см. ниже ). Возможное равновесие таково, что Алиса покупает лошадь за 5, а Боб покупает машину за 7. Это равновесие, поскольку Боб не хотел бы платить 5 за лошадь, которая даст ему только 4 дополнительных полезности, а Алиса не хотела бы платить 5 за лошадь, которая даст ему только 4 дополнительных полезности. заплатить 7 за автомобиль, что даст ей только 1 дополнительную полезность.

С. Дополнения : Лошадь и карета продаются на аукционе. Есть два потенциальных покупателя: AND и XOR. И хочет, чтобы лошадь и повозка были вместе — они получают полезность в размере $v_{and}$ от удержания их обоих, но полезность равна 0 при удержании только одного из них. XOR хочет либо лошадь, либо повозку, но не нуждается в обоих — они получают полезность $v_{xor}$ от владения одним из них и одинаковой полезностью для хранения обоих. Здесь, когда $v_{and}<2v_{xor}$, конкурентное равновесие НЕ существует, т. е. никакая цена не очистит рынок. Доказательство : рассмотрим следующие варианты суммы цен (цена лошади + цена перевозки):

• Сумма меньше $v_{and}$. Затем AND хочет получить оба предмета. Поскольку цена хотя бы одного товара меньше $v_{xor}$, XOR хочет этот предмет, поэтому существует избыточный спрос.
• Сумма точно $v_{and}$. Тогда оператору AND безразлично, покупать ли оба предмета или не покупать ни один предмет. Но XOR по-прежнему хочет ровно один предмет, поэтому существует либо избыточный спрос, либо избыточное предложение.
• Сумма превышает $v_{and}$. Тогда AND не хочет ни одного предмета, а XOR по-прежнему хочет не более одного предмета, поэтому существует избыточное предложение.

D. Потребители с единичным спросом: имеется n потребителей. Каждый потребитель имеет индекс $i=1,...,n$. Есть один вид блага. Каждый потребитель $i$ хочет не более одной единицы блага, что дает ему полезность в размере $u(i)$. Потребители упорядочены так, что $u$ является слабо возрастающей функцией $i$. Если поставка $k\leq n$ единиц, то любая цена $p$ удовлетворяющий $u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)$ является равновесной ценой, поскольку существует k потребителей, которые либо хотят купить товар, либо безразличны к тому, чтобы купить или не купить его. Обратите внимание, что увеличение предложения приводит к снижению цены.

Существование конкурентного равновесия

Делимые ресурсы

Модель Эрроу-Дебре показывает, что CE существует в каждой экономике обмена с делимыми товарами, удовлетворяющими следующим условиям:

• Все агенты имеют строго выпуклые предпочтения ;
• Все товары желательны. Это означает, что если что-то хорошее $j$ предоставляется бесплатно( $p_{j}=0$), то все агенты хотят от этого блага как можно больше.

Доказательство проводится в несколько шагов.

А. Для конкретности предположим, что существуют $n$ агенты и $k$ делимые товары. Нормализовать цены так, чтобы их сумма была равна 1, т.е. $\sum _{j=1}^{k}p_{j}=1$. Тогда пространство всех возможных цен есть $k-1$-мерный единичный симплекс в $\mathbb {R} ^{k}$. Мы называем этот симплекс ценовым симплексом .

Б. Пусть $z$ – функция избыточного спроса . Это функция вектора цены. $p$ когда первоначальный вклад $E$ сохраняется постоянным:

$z(p)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}$

Известно, что в случае, когда предпочтения агентов строго выпуклые , маршаллова функция спроса непрерывна. Следовательно, $z$ также является непрерывной функцией $p$.

C. Определите следующую функцию симплекса цены к самому себе:

$g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k$

Это непрерывная функция, поэтому по теореме Брауэра о неподвижной точке существует вектор цен $p^{*}$ такой, что:

$p^{*}=g(p^{*})$

так,

$p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k$

D. Используя закон Вальраса и некоторую алгебру, можно показать, что для этого вектора цен не существует избыточного спроса ни на один продукт, т.е.:

$z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k$

E. Предположение о желательности подразумевает, что все продукты имеют строго положительные цены:

$p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k$

По закону Вальраса , $p^{*}\cdot z(p^{*})=0$. Но это означает, что приведенное выше неравенство должно быть равенством:

$z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k$

Это означает, что $p^{*}$ – вектор цен конкурентного равновесия.

Обратите внимание, что линейные утилиты лишь слабо выпуклы, поэтому они не подходят для модели Эрроу – Дебре . Однако Дэвид Гейл доказал, что ЦЭ существует в каждой линейной экономике обмена, удовлетворяющей определенным условиям. Подробности см. в разделе « Линейные полезности#Существование конкурентного равновесия» .

Алгоритмы расчета рыночного равновесия описаны в разделе «Вычисление рыночного равновесия» .

Неделимые предметы

В приведенных выше примерах конкурентное равновесие существовало, когда товары были взаимозаменяемыми, но не когда товары были взаимодополняющими. Это не совпадение.

Учитывая функцию полезности двух товаров X и Y , скажем, что товары являются слабо валовыми заменителями (GS), если они являются либо независимыми товарами , либо валовыми товарами-заменителями , но не взаимодополняющими товарами . Это означает, что ${\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0$. Т.е. если цена товара Y увеличивается, то спрос на товар Х либо остается постоянным, либо увеличивается, но не уменьшается. Если цена товара Y снижается, то спрос на товар Х либо остается постоянным, либо снижается.

Функция полезности называется GS, если согласно этой функции полезности все пары различных товаров являются GS. При использовании функции полезности GS, если у агента есть набор спроса при заданном векторе цен, а цены на некоторые товары растут, то у агента есть набор спроса, который включает все товары, цена которых осталась постоянной. Он может решить, что ему не нужен предмет, который стал дороже; он также может решить, что вместо этого ему нужен другой предмет (заменитель); но он может не решить, что ему не нужен третий товар, цена которого не изменилась.

Когда функции полезности всех агентов равны GS, всегда существует конкурентное равновесие.

Более того, набор оценок GS является самым большим набором, содержащим оценки спроса на единицу продукции , для которых гарантируется существование конкурентного равновесия: для любой оценки, не связанной с GS, существуют оценки спроса на единицу продукции, такие, что для этих единиц не существует конкурентного равновесия. оценки спроса в сочетании с данной оценкой не-GS.

О вычислительной задаче поиска конкурентного равновесия на рынке особого типа см. Fisher market#indivisible .

Конкурентное равновесие и эффективность распределения ресурсов

Согласно фундаментальным теоремам экономики благосостояния , любое распределение CE является эффективным по Парето , и любое эффективное распределение может быть устойчивым благодаря конкурентному равновесию. Более того, согласно теоремам Вариана , распределение CE, при котором все агенты имеют одинаковый доход, также не вызывает зависти .

В условиях конкурентного равновесия ценность, которую общество придает товару, эквивалентна стоимости ресурсов, затраченных на его производство ( предельная выгода равна предельным издержкам ). Это обеспечивает эффективность распределения : дополнительная ценность, которую общество придает другой единице товара, равна тому, от чего общество должно отказаться в ресурсах для его производства.

Обратите внимание, что микроэкономический анализ не предполагает ни аддитивной полезности, ни каких-либо межличностных компромиссов полезности. Таким образом, эффективность означает отсутствие улучшений по Парето . Он никоим образом не высказывает мнения о справедливости распределения (в смысле справедливости распределения или справедливости ). Эффективное равновесие может быть таким, при котором у одного игрока есть все товары, а у других игроков нет ни одного (в крайнем случае), что эффективно в том смысле, что невозможно найти улучшение по Парето, что делает всех игроков (включая в данном случае один со всем) лучше (для строгого улучшения по Парето) или не хуже.

Теоремы о благосостоянии для распределения неделимых предметов

В случае неделимых предметов у нас есть следующие сильные версии двух теорем о благосостоянии :

1. Любое конкурентное равновесие максимизирует общественное благосостояние (сумму полезностей) не только при всех реалистичных распределениях предметов, но и при всех дробных распределениях предметов. То есть, даже если бы мы могли распределять части предмета между разными людьми, мы не смогли бы добиться лучшего результата, чем конкурентное равновесие, при котором распределяются только целые предметы.
2. Если существует целочисленное задание (без дробных распределений), которое максимизирует общественное благосостояние, то с этим назначением существует конкурентное равновесие.

Нахождение равновесия

В случае распределения неделимого предмета, когда функции полезности всех агентов равны GS ( и, таким образом, существует равновесие ), можно найти конкурентное равновесие, используя восходящий аукцион . На восходящем аукционе аукционист публикует вектор цен, первоначально нулевой, и покупатели объявляют свой любимый комплект по этим ценам. Если каждый предмет желает получить не более одного участника торгов, предметы делятся, и аукцион завершается. В случае избыточного спроса на один или несколько предметов аукционист увеличивает цену предмета, пользующегося чрезмерным спросом, на небольшую сумму (например, на доллар), и покупатели снова делают ставки.

В литературе было предложено несколько различных механизмов восходящего аукциона. Такие механизмы часто называют вальрасовским аукционом , вальрасианским tâtonnement или английским аукционом .

См. также

• Ценообразование без зависти – ослабление вальрасовского равновесия, при котором некоторые товары могут оставаться нераспределенными.
• Рынок Фишера — упрощенная рыночная модель с одним продавцом и множеством покупателей, в которой CE можно эффективно вычислить.
• Аллокативная эффективность
• Экономическое равновесие
• Теория общего равновесия
• Вальрасовский аукцион

Ссылки

• Рихтер, МК; Вонг, К.К. (1999). «Невычислимость конкурентного равновесия». Экономическая теория . 14 : 1–27. дои : 10.1007/s001990050281 . S2CID   121248813 .

Внешние ссылки

• Конкурентное равновесие, равновесие Вальраса и аукцион Вальраса в Economics Stack Exchange.