Эффективное разделение без зависти

Эффективность и справедливость являются двумя основными целями экономики благосостояния . Учитывая набор ресурсов и набор агентов, цель состоит в том, чтобы разделить ресурсы между агентами таким образом, чтобы это было одновременно эффективно по Парето (PE) и без зависти (EF). Цель впервые определили Давид Шмейдлер и Менахем Яари . Позднее существование таких распределений было доказано при различных условиях.

Наличие ассигнований PEEF

Мы предполагаем, что каждый агент имеет отношение предпочтения на множестве всех наборов товаров. Предпочтения полные, транзитивные и закрытые. Эквивалентно, каждое отношение предпочтений может быть представлено непрерывной функцией полезности.

Слабо выпуклые предпочтения

Теорема 1 (Вариан): Если предпочтения всех агентов выпуклы и строго монотонны , то распределения PEEF существуют.

Доказательство : Доказательство опирается на существование конкурентного равновесия с равными доходами. Предположим, что все ресурсы в экономике разделены поровну между агентами. То есть, если общий запас экономики $E$, то каждый агент $i\in 1,\dots ,n:$ получает первоначальный взнос $E_{i}=E/n$.

Поскольку предпочтения выпуклы , модель Эрроу – Дебре предполагает, что существует конкурентное равновесие. Т.е. существует вектор цены $P$ и перегородка $X$ такой, что:

• (CE) Все агенты максимизируют свои полезности с учетом своего бюджета. Т.е., если $P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}$ затем $Y\preceq _{i}X_{i}$.
• (EI) Все агенты имеют одинаковый доход в равновесных ценах: для всех $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$.

Такое распределение всегда равно EF. Доказательство: по условию (EI) для каждого $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$. Следовательно, по условию (CE) $X_{j}\preceq _{i}X_{i}$.

Поскольку предпочтения монотонны , любое такое распределение также является PE, поскольку монотонность подразумевает локальную ненасыщенность . См. фундаментальные теоремы экономики благосостояния .

Примеры

Все примеры включают экономику с двумя товарами x и y и двумя агентами Алисой и Бобом. Во всех примерах полезности слабовыпуклые и непрерывные.

А. Много ассигнований PEEF: Общий размер пожертвований составляет (4,4). Алиса и Боб имеют линейные полезности , представляющие товары-заменители :

$u_{A}(x,y)=2x+y$,

$u_{B}(x,y)=x+2y$.

Заметим, что утилиты слабовыпуклые и сильно монотонные. Существует множество распределений PEEF. Если Алиса получит хотя бы 3 единицы x, то ее полезность равна 6 и она не завидует Бобу. Аналогично, если Боб получает хотя бы 3 единицы y, он не завидует Алисе. Таким образом, распределение [(3,0);(1,4)] является PEEF с утилитами (6,9). Аналогично, распределения [(4,0);(0,4)] и [(4,0.5);(0,3.5)] являются PEEF. С другой стороны, распределение [(0,0);(4,4)] — это PE, а не EF (Алиса завидует Бобу); распределение [(2,2);(2,2)] является EF, но не PE (полезностями являются (6,6), но их можно улучшить, например, до (8,8)).

B. По сути единое распределение PEEF: общий размер фонда равен (4,2). У Алисы и Боба есть Леонтьевские утилиты , представляющие взаимодополняющие товары :

$u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)$.

Заметим, что утилиты слабовыпуклые и лишь слабомонотонные. Тем не менее распределение PEEF существует. Равное распределение [(2,1);(2,1)] представляет собой PEEF с вектором полезности (1,1). EF очевиден (каждое равное распределение — это EF). Что касается PE, обратите внимание, что оба агента теперь хотят только y, поэтому единственный способ увеличить полезность одного агента — это взять часть y у другого агента, но это уменьшает полезность другого агента. Хотя существуют и другие распределения PEEF, например [(1.5,1);(2.5,1)], все они имеют один и тот же вектор полезности (1,1), поскольку невозможно дать обоим агентам больше 1.

Топологические условия на пространстве эффективных размещений

Распределения PEEF существуют даже тогда, когда предпочтения агентов не являются выпуклыми. Существует несколько достаточных условий, связанных с формой множества распределений, соответствующих конкретному эффективному профилю полезности. Учитывая вектор полезности u, определите A(u) = множество всех распределений, для которых профиль полезности равен u. Разными авторами были доказаны следующие последовательно более общие теоремы:

Теорема 2 (Вариан): Предположим, что предпочтения всех агентов строго монотонны . Если для каждого профиля полезности u со слабой эффективностью по Парето множество A(u) является одноэлементным (т. е. не существует двух распределений WPE, между которыми все агенты безразличны), то распределения PEEF существуют.

В доказательстве используется лемма Кнастера–Куратовского–Мазуркевича .

Примечание . Условия в теореме 1 и в теореме 2 независимы — ни одно из них не влечет за собой другое. Однако строгая выпуклость предпочтений подразумевает и то, и другое. Очевидно, что из строгой выпуклости следует слабовыпуклая (теорема 1). Чтобы убедиться в том, что из этого следует условие теоремы 2, предположим, что существуют два разных распределения x,y с одним и тем же профилем полезности u. Определим z = x/2+y/2. В силу строгой выпуклости все агенты строго предпочитают z вместо x и y. Следовательно, x и y не могут быть слабо-PE.

Теорема 3 (Свенссона): Если предпочтения всех агентов строго монотонны и для каждого PE-профиля полезности u множество A(u) выпукло, то распределения PEEF существуют.

В доказательстве используется теорема Какутани о неподвижной точке .

Примечание : если предпочтения всех агентов выпуклы (как в теореме 1), то A(u), очевидно, тоже выпукла. Более того, если A(u) одноточечная (как в теореме 2), то она, очевидно, тоже выпуклая. Следовательно, теорема Свенссона является более общей, чем обе теоремы Вариана.

Теорема 4 (Бриллианты): Если предпочтения всех агентов строго монотонны и для каждого PE-профиля полезности u множество A(u) представляет собой сжимаемое пространство (может непрерывно сжиматься до точки внутри этого пространства), то распределения PEEF существуют.

В доказательстве используется теорема Эйленберга и Монтгомери о неподвижной точке.

Примечание. Каждое выпуклое множество стягиваемо, поэтому теорема Диамантараса более общая, чем предыдущие три.

Сигма-оптимальность

Свенссон доказал еще одно достаточное условие существования распределений PEEF. Опять же, все предпочтения представлены непрерывными функциями полезности. Более того, все функции полезности непрерывно дифференцируемы внутри пространства потребления.

Основная концепция — сигма-оптимальность . Предположим, мы создаем для каждого агента k копий с одинаковыми предпочтениями. Пусть X — распределение в исходной экономике. Пусть Xk — распределение в k-реплицируемой экономике, где все копии одного и того же агента получают тот же набор, что и исходный агент в X. Распределение X называется сигма-оптимальным, если для каждого k распределение Xk является оптимальным по Парето.

Лемма: Распределение является сигма-оптимальным тогда и только тогда, когда оно является конкурентным равновесием .

Теорема 5 (Свенссона): если все оптимальные по Парето распределения являются сигма-оптимальными, то распределения PEEF существуют.

Увеличение предельной доходности

Распределения PEEF могут не существовать, даже если все предпочтения выпуклы, если есть производство и технология имеет возрастающую предельную отдачу.

Предложение 6 (Вора) : Там , где существуют экономики, в которых все предпочтения являются непрерывными, сильно монотонными и выпуклыми, единственным источником невыпуклости в технологии являются постоянные затраты, и не существует распределения PEEF.

Таким образом, наличие растущей отдачи приводит к фундаментальному конфликту между эффективностью и справедливостью.

Однако свободу от зависти можно ослабить следующим образом. Распределение X определяется как практически свободное от зависти (EEF), если для каждого агента i существует осуществимое распределение Yi с тем же профилем полезности (все агенты безразличны между X и Yi), при котором агент i никому не завидует. Очевидно, что каждое распределение EF является EEF, поскольку мы можем принять Yi за X для всех i.

Теорема 7 (Вора): Предположим, что предпочтения всех агентов строго монотонны и представлены непрерывными функциями полезности. Тогда существуют распределения EEF, эффективные по Парето.

Отсутствие ассигнований PEEF

Невыпуклые предпочтения

Распределения PEEF могут не существовать даже без производства, если предпочтения невыпуклые.

В качестве примера предположим, что общий запас равен (4,2), а Алиса и Боб имеют одинаковые вогнутые полезности:

$u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)$.

Равное распределение [(2,1);(2,1)] представляет собой EF с вектором полезности (2,2). Более того, каждое распределение EF должно давать обоим агентам равную полезность (поскольку они имеют одинаковую функцию полезности), и эта полезность может быть не более 2. Однако такое распределение не является PE, поскольку оно доминируется по Парето [(4, 0);(0,2)] вектор полезности которого равен (4,2).

Несуществование останется, даже если мы ослабим свободу от зависти до отсутствия доминирования — ни один агент не получит больше каждого блага, чем другой агент.

Предложение 8 (Маникет): Существуют экономики с разделением двух благ и трех агентов со строго монотонными, непрерывными и даже дифференцируемыми предпочтениями, в которых существует доминирование при каждом эффективном по Парето распределении.

Как найти распределение PEEF

Для двух агентов процедура скорректированного победителя представляет собой простую процедуру, которая находит распределение PEEF с двумя дополнительными свойствами: распределение также является справедливым, и между двумя агентами распределяется не более одного товара.

Для трех и более агентов с линейными полезностями любое оптимальное по Нэшу распределение будет PEEF. Оптимальное по Нэшу распределение — это распределение, которое максимизирует произведение полезностей агентов или, что то же самое, сумму логарифмов полезностей. Нахождение такого распределения является задачей выпуклой оптимизации :

${\text{maximize}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~{\text{such that}}~~~(X_{1},\ldots ,X_{n})~~~{\text{is a partition}}~~~$.

и, таким образом, его можно найти эффективно. Тот факт, что любое оптимальное по Нэшу распределение является PEEF, верен даже в более общих условиях честного разрезания торта .

Доказательство кусок пирога Z. . Рассмотрим бесконечно малый Для каждого агента i бесконечно малый вклад Z в $\log(u_{i}(X_{i}))$является

$u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$.

Следовательно, правило оптимальности по Нэшу отдает каждый такой кусок Z агенту j, для которого это выражение является наибольшим:

$\forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$

Суммируя по всем бесконечно малым подмножествам X _j , получаем:

$\forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(X_{j}) \over u_{i}(X_{i})}$

Это подразумевает определение распределения без зависти:

$\forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geq {u_{i}(X_{j})}$

См. также

• Теорема Веллера – о существовании распределений PEEF при разрезании торта.
• Другие связанные с этим теоремы Хэла Вариана можно найти в .
• Теоремы о распределении PEEF в экономиках с производством можно найти в.
• Вычисление рыночного равновесия — алгоритмы расчета конкурентного равновесия, которое одновременно справедливо и эффективно.
• Тао и Коул изучить существование случайного распределения PEEF, когда полезности нелинейны (могут иметь дополнения).
• Диамантарас и Томсон изучить усовершенствование и расширение принципа свободы от зависти, который существует (вместе с PE) во многих экономиках, в которых не существует распределения PEEF.