разумность

В логике и дедуктивном рассуждении аргумент , является обоснованным если он действителен по форме и не содержит ложных предпосылок . ^[1] Правильность имеет аналогичное значение в математической логике , где формальная система логики является правильной тогда и только тогда, когда каждая правильно составленная формула , которая может быть доказана в системе, логически верна по отношению к логической семантике системы.

Определение

В дедуктивном рассуждении здравый аргумент — это аргумент, который действителен и все его посылки истинны (и, как следствие, его вывод также верен). Аргумент является действительным, если, предполагая, что его посылки истинны, вывод должен быть истинным. Примером здравого аргумента является следующий известный силлогизм :

(помещение)

Все люди смертны.

Сократ – мужчина.

(заключение)

Следовательно, Сократ смертен.

Из-за логической необходимости заключения этот аргумент действителен; и поскольку аргумент действителен и его посылки истинны, он является обоснованным.

Однако аргумент может быть действительным, но не быть обоснованным. Например:

Все птицы умеют летать.

Пингвины – птицы.

Следовательно, пингвины умеют летать.

Этот аргумент действителен, поскольку вывод должен быть истинным при условии, что посылки верны. Однако первая посылка неверна. Не все птицы умеют летать (например, страусы). Чтобы аргумент был обоснованным, он должен быть действительным , а его посылки должны быть истинными. ^[2]

Некоторые авторы, такие как Леммон , использовали термин «обоснованность» как синоним того, что сейчас понимается под «обоснованностью». ^[3] в результате чего у них не осталось конкретного слова для обозначения того, что сейчас называется «здравостью». Но в настоящее время такое деление терминов получило очень широкое распространение.

Использование в математической логике

Логические системы

В математической логике логическая система обладает свойством устойчивости, если каждая формула , которую можно доказать в системе, логически верна по отношению к семантике системы.В большинстве случаев это сводится к тому, что его правила обладают свойством сохранять истину . ^[4] Обратная целостность известна как полнота .

Логическая система с синтаксическим следствием $\vdash$ и смысловое следствие $\models$ корректно , если для любой последовательности $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ предложений на своем языке, если $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ , затем $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ . Другими словами, система является корректной, когда все ее теоремы являются тавтологиями .

Правильность является одним из наиболее фундаментальных свойств математической логики. Свойство надежности дает первоначальную причину считать логическую систему желательной. Свойство полноты означает, что всякая действительность (истина) доказуема. Вместе они подразумевают, что все и только истинности доказуемы.

Большинство доказательств надежности тривиальны. ^{[ нужна ссылка ]} Например, в аксиоматической системе доказательство обоснованности сводится к проверке достоверности аксиом и того, что правила вывода сохраняют достоверность (или более слабое свойство — истинность). Если система допускает дедукцию в стиле Гильберта , она требует только проверки достоверности аксиом и одного правила вывода, а именно modus ponens . (а иногда и замена)

Свойства надежности делятся на две основные разновидности: слабую и сильную, из которых первая является ограниченной формой второго.

Слабая надежность

Слабая обоснованность дедуктивной системы — это свойство, согласно которому любое предложение, доказуемое в этой дедуктивной системе, также истинно для всех интерпретаций или структур семантической теории для языка, на котором эта теория основана. символах, где S — дедуктивная система, L — язык вместе с его семантической теорией, а — предложение L : если ⊢ _SP В , то также ⊨ _LP P .

Сильная надежность

Сильная надежность дедуктивной системы — это свойство того, что любое предложение P языка, на котором основана дедуктивная система, которое можно вывести из набора Γ предложений этого языка, также является логическим следствием этого набора в том смысле, что любая модель что делает все члены Γ истинными, также сделает P истинным. символах, где Γ — множество предложений языка L : если Γ ⊢ _, В то также Γ ⊨ _LP SP . Обратите внимание, что в утверждении о сильной корректности, когда Γ пусто, мы имеем утверждение о слабой корректности.

Арифметическая корректность

Если Т — теория, объекты дискурса которой можно интерпретировать как натуральные числа , мы говорим, Т что арифметически корректна , если все теоремы Т действительно верны в отношении стандартных математических целых чисел. Для получения дополнительной информации см. ω-согласованную теорию .

Отношение к полноте

Обратным свойству корректности является свойство семантической полноты . Дедуктивная система с семантической теорией является сильно полной, если каждое предложение P , являющееся семантическим следствием множества предложений Γ, может быть выведено в системе дедукции из этого множества. В символах: если Γ ⊨ P , то и Γ ⊢ P . Полнота логики первого порядка была впервые явно установлена Гёделем , хотя некоторые основные результаты содержались в более ранних работах Скулема .

Неформально теорема о правильности дедуктивной системы выражает, что все доказуемые предложения истинны. Полнота означает, что все истинные предложения доказуемы.

Первая теорема Гёделя о неполноте показывает, что для языков, достаточных для выполнения определенного объема арифметических действий, не может быть последовательной и эффективной дедуктивной системы, которая была бы полной в отношении предполагаемой интерпретации символики этого языка. Таким образом, не все здравые дедуктивные системы полны в этом особом смысле полноты, в котором класс моделей (с точностью до изоморфизма ) ограничивается предполагаемым. Исходное доказательство полноты применимо ко всем классическим моделям, а не к какому-то специальному собственному подклассу предполагаемых моделей.

См. также

Обоснованность (интерактивное доказательство)

Ссылки

^ Смит, Питер (2010). «Типы системы доказательств» (PDF) . п. 5.
^ Генслер, Гарри Дж., 1945- (6 января 2017 г.). Введение в логику (Третье изд.). Нью-Йорк. ISBN 978-1-138-91058-4 . OCLC 957680480 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Леммон, Эдвард Джон (1998). Начало логики . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-0-412-38090-7 .
^ Миндус, Патрисия (18 сентября 2009 г.). Настоящий разум: жизнь и творчество Акселя Хэгерстрёма . Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2 .

Библиография

Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0 .
Копи, Ирвинг (1979), Символическая логика (5-е изд.), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7
Булос, Берджесс, Джеффри. Вычислимость и логика , 4-е изд., Кембридж, 2002 г.

Внешние ссылки

Валидность и обоснованность в Интернет-энциклопедии философии .

[1] Смит, Питер (2010). «Типы системы доказательств» (PDF) . п. 5.

[2] Генслер, Гарри Дж., 1945- (6 января 2017 г.). Введение в логику (Третье изд.). Нью-Йорк. ISBN 978-1-138-91058-4 . OCLC 957680480 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[3] Леммон, Эдвард Джон (1998). Начало логики . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-0-412-38090-7 .

[4] Миндус, Патрисия (18 сентября 2009 г.). Настоящий разум: жизнь и творчество Акселя Хэгерстрёма . Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]