Огастес Де Морган

Огастес Де Морган
ДеМорган в 1882 году
Рожденный	( 1806-06-27 ) 27 июня 1806 г. Мадурай , Карнатик , президентство Мадраса (современная Индия)
Умер	18 марта 1871 г. (1871-03-18) (64 года) Лондон, Англия
Национальность	Британский
Альма-матер	Тринити-колледж , Кембридж
Известный	Законы де Моргана Алгебра Моргана Иерархия Моргана Алгебра отношений Универсальная алгебра
Научная карьера
Поля	Математик и логик
Учреждения	Университетский колледж Лондона Школа университетского колледжа
Научные консультанты	Джон Филипс Хигман Джордж Пикок Уильям Уэвелл
Известные студенты	Эдвард Рут Джеймс Джозеф Сильвестр Фредерик Гатри Уильям Стэнли Джевонс Джейкоб Уэйли Ада Лавлейс Уолтер Бэджхот Ричард Холт Хаттон Фрэнсис Гатри Стивен Джозеф Перри Нума Эдвард Хартог Исаак Тодхантер Генри Роско Артур Коэн Томас Ходжкин Роберт Беллами Клифтон Чарльз Джеймс Харгрив Джордж Джессел Седли Тейлор
Примечания
Он был отцом Уильяма Де Моргана .

Огастес Де Морган (27 июня 1806 — 18 марта 1871) — британский математик и логик . Он наиболее известен благодаря законам Де Моргана , связывающим логическую конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, а также введением термина « математическая индукция », основные принципы которого он формализовал. Вклад де Моргана в логику широко используется во многих областях математики, включая теорию множеств и теорию вероятностей , а также в других смежных областях, таких как информатика .

Биография

Детство

Огастес Де Морган родился в Мадурае , в Карнатик регионе индийском , в 1806 году. Его отцом был подполковник Джон Де Морган (1772–1816), который занимал различные должности на службе Ост -Индской компании , а мать, Элизабет (урожденная Додсон, 1776–1856), была дочерью Джона Додсона и внучкой. Джеймса Додсона , который вычислил таблицу антилогарифмов (обратных логарифмов ). Огастес Де Морган ослеп на один глаз через несколько месяцев после рождения. Его семья переехала в Англию, когда Августу было семь месяцев. Поскольку его отец и дед родились в Индии, Де Морган обычно говорил, что он не был ни англичанином, ни шотландцем, ни ирландцем, а «непривязанным» британцем, используя технический термин, применяемый к студенту Оксфорда или Кембриджа , который не был член любого из колледжей.

Когда Де Моргану было десять лет, умер его отец. Его математические таланты оставались незамеченными до тех пор, пока ему не исполнилось четырнадцать, когда друг семьи обнаружил, что он тщательно рисует фигуру из одной из работ Евклида с помощью линейки и циркуля. Среднее образование он получил у мистера Парсонса, студента Ориэл-колледжа в Оксфорде , который предпочитал классику математике.

Образование

В 1823 году, в возрасте шестнадцати лет, Де Морган поступил в Тринити-колледж в Кембридже . где его учителями и наставниками были Джордж Пикок , Уильям Уэвелл , Джордж Бидделл Эйри , Х. Парр Гамильтон и Джон Филипс Хигман . И Пикок, и Уэвелл повлияли на выбор Де Морганом алгебры и логики для дальнейших исследований.

Он занял четвертое место в математическом трипо , что дало ему право на степень бакалавра искусств . Чтобы получить высшую степень магистра искусств и тем самым получить право на стипендию, ему необходимо было пройти богословский тест. Несмотря на то, что Де Морган вырос в англиканской церкви, он категорически возражал против прохождения такого испытания. Не имея возможности добиться прогресса в академических кругах, Де Морган поступил в Линкольнс-Инн, чтобы заняться юриспруденцией.

Карьера

Лондонский университет, 1827–1831 гг.

Лондонский университет (ныне известный как Университетский колледж Лондона) был основан в 1826 году как светская альтернатива Оксфорду и Кембридже; Католики, евреи и инакомыслящие могли поступать в качестве студентов и занимать должности. Перед открытием в 1828 году университет объявил о 24 вакансиях профессора, две — по математике, на которые подал заявление Де Морган.

Де Морган был назначен профессором математики 23 февраля 1828 года. Совету Лондонского университета не удалось принять Чарльза Бэббиджа и Джона Гершеля на эту должность . В конечном итоге комитет по поиску, возглавляемый основателем Лордом Брумом , Олинтусом Грегори и Генри Уорбертоном , выбрал Де Моргана из числа как минимум 31 кандидата, включая Дионисия Ларднера , Питера Николсона , Джона Рэдфорда Янга , Генри Мозли , Джона Херапата , Томаса Хьюитта Ки , Уильям Ричи и Джон Уокер .

Работа Де Моргана в этот период была сосредоточена на математическом обучении: его первой публикацией были «Элементы алгебры» (1828 г.), перевод французского учебника Луи Бурдона , за которым последовали « Элементы арифметики» (1830 г.), широко используемый и долгоживущий учебник, и «Изучение и трудности математики» (1831 г.), беседа о математическом образовании.

После серии ссор между преподавателями, включая Де Моргана, и администрацией, в частности начальником управления Леонардом Хорнером , возник спор по поводу разрешения протестов студентов-медиков, призывающих к отстранению от должности профессора анатомии Грэнвилла Шарпа Паттисона . основания некомпетентности. Хотя Де Морган и другие утверждали, что студенты не должны иметь никакого влияния в этом вопросе, университет поддался давлению студентов и уволил Паттисона. Де Морган ушел в отставку 24 июля 1831 года, за ним последовали профессора Джордж Лонг и Фридрих Август Розен .

Общество распространения полезных знаний

В 1826 году лорд Брум, один из основателей Лондонского университета, основал Общество распространения полезных знаний (SDUK) с целью содействия самообразованию и улучшению морального облика среднего и рабочего класса с помощью дешевых и доступных публикации. Де Морган стал сотрудничать с SDUK в марте 1827 года; его неопубликованная для общества рукопись «Элементы статики», возможно, сыграла роль в его назначении в Лондонский университет. Один из самых объемистых и эффективных авторов, Де Морган опубликовал в SDUK несколько книг: « Об изучении и трудностях математики» (1831 г.), Элементарные иллюстрации дифференциального и интегрального исчисления (1832 г.), «Элементы сферической тригонометрии» (1834 г.), «Примеры арифметических и алгебраических процессов» (1835 г.), «Объяснение гномической проекции сферы» (1836 г.), Дифференциальное и интегральное исчисление (1842 г.), и «Глобусы небесные и земные» (1845 г.), а также более 700 статей в Penny Cyclopedia и вклад в Quarterly Journal of Education , Gallery of Portraits и Companion to the British Almanac .

Частный репетитор

После своего первого ухода из Лондонского университета Де Морган начал работать частным репетитором. Одним из его первых учеников был Джейкоб Уэйли . Он обучал Аду Лавлейс с 1840 по 1842 год, в основном заочно.

актуарий

Прадед, дедушка и тесть де Моргана были актуариями ; Неудивительно, что Де Морган также работал актуарием-консультантом в различных фирмах по страхованию жизни , в том числе в офисе по страхованию семейных пожертвований. офис страхования жизни Альберта, и страховая компания Alliance . Он опубликовал несколько статей на актуарные темы, а также книгу «Очерк вероятностей и их применения к жизненным непредвиденным обстоятельствам и страховым офисам» . Однако его наиболее заметной работой в качестве актуария является продвижение работы Бенджамина Гомпертца , чей « закон смертности » был недооценен и являлся плагиатом.

Королевское астрономическое общество

Де Морган стал сотрудничать с Лондонским астрономическим обществом в 1928 году. Он был назначен почетным секретарем в 1931 году, когда оно получило Королевскую хартию и стало Королевским астрономическим обществом . Он будет оставаться секретарем в течение 18 лет и активно участвовать в жизни Общества в течение 30 лет.

Лондонский университет, 1836–1866 гг.

В 1836 году утонул Джордж Дж. П. Уайт, сменивший Де Моргана на посту профессора математики; Де Моргана убедили вернуться и восстановить в должности. В том же году Лондонский университет был переименован в Университетский колледж и вместе с Королевским колледжем стал филиалом вновь созданного Лондонского университета .

Де Морган был весьма успешным учителем математики. На протяжении более 30 лет его курсы охватывали полную учебную программу, от Евклида до вариационного исчисления, и в его классах часто превышало 100 студентов. Его подход включал лекции, чтение, наборы задач, индивидуальное обучение и обширные конспекты курса. Он не любил механическое заучивание и рассматривал математическое образование как обучение рассуждению и основу гуманитарного образования. Некоторые из его учеников впоследствии стали математиками, в первую очередь Джеймс Джозеф Сильвестр , а некоторые из них, Эдвард Рут и Исаак Тодхантер , сами были хорошо известными педагогами. Многие из его студентов-нематематиков высоко оценивали его; Уильям Стэнли Джевонс охарактеризовал Де Моргана как «непревзойденного» учителя. Джевонс, находившийся под сильным влиянием Де Моргана, продолжил независимую работу в области логики и стал наиболее известен благодаря разработке теории полезности в рамках так называемой маргинальной революции .

В 1866 году кафедра ментальной философии и логики в Университетском колледже освободилась, и Джеймс Мартино был официально рекомендован Сенатом Совету. Совет, по настоянию Джорджа Грота , отклонил Мартино на том основании, что он был унитарным священнослужителем, и вместо этого назначил мирянина Джорджа Крума Робертсона . Де Морган заявил, что от основополагающего принципа религиозной нейтральности отказались, и немедленно подал в отставку.

Абстрактная алгебра и сэр Уильям Роуэн Гамильтон

Де Морган был одним из первых сторонников символической алгебры . Символическая алгебра , впервые выраженная Джорджем Пикоком в его «Трактате об алгебре» (1830) и развитая Дунканом Грегори , была первым шагом на пути к абстрактной алгебре , отделяющей манипулирование символами от их арифметического значения. Хотя символическая алгебра могла механически конструировать отрицательные и мнимые числа, как в работах Адриана-Квентина Буэ и Джона Уоррена , она не могла дать их интерпретацию; Де Морган заметил, что аналогичная проблема беспокоила классического индийского математика Бхаскару II в его работе «Биджаганита» .

Де Морган перешел от символической алгебры к разработке того, что он назвал «логической» алгеброй в серии статей. и книга «Тригонометрия и двойная алгебра» (1849 г.).

Математическая логика и Джордж Буль

Изучение логики в Великобритании возродилось после публикации книги Ричарда Уэйтли « Элементы логики» в 1826 году. Сама книга стала предметом дебатов, которые побудили к действию как Де Моргана, так и Джорджа Буля . С одной стороны, как утверждал Уильям Уэвелл , логика, особенно силлогизм, как подчеркивал Уэйтли, не могла прийти к «новым истинам» и, следовательно, уступала научным рассуждениям и отличалась от них; с другой стороны, как утверждает шотландский философ сэр Уильям Гамильтон , попытка Уэйтли приравнять логику к «грамматике рассуждения» была неправильной и редуктивной. Де Морган, возможно, под влиянием работ Сильвестра Франсуа Лакруа , видел полезность логики Уэйтли в математике, как в ее акценте на силлогизме, так и в ее грамматической абстракции, о чем свидетельствуют его собственные работы по образованию. и в его требовании включения логики в учебную программу Кембриджа.

Статья Де Моргана «О структуре силлогизма». опубликованный в 1846 году, математически определяет правила аристотелевской логики , в частности силлогизм , и включает то, что сейчас известно как законы Де Моргана . Исторически значимо как зарождение математической логики , в то время статья Де Моргана положила начало спору с Гамильтоном о роли математики в логике; «Математика вообще не может способствовать развитию логических навыков», — писал Гамильтон. Спор будет сосредоточен на так называемой количественной оценке предиката , как утверждал Гамильтон, но по мере того, как спор продолжался на страницах « Атенеума» и в публикациях двух авторов, стало очевидно, что Гамильтон и его сторонники были неправы и что математически точное описание логики Аристотеля, данное Де Морганом, было правильным.

Буль, друг Де Моргана с 1842 года, частично мотивированный спорами между Уэвеллом и Гамильтоном и Де Морганом и Гамильтоном, напишет «Математический анализ логики» Де Моргана , опубликованный в 1847 году в тот же день, что и «Формальная логика» . Работа Буля затмила работу Де Моргана и позволила определить раннюю математическую логику. Де Морган продолжал поддерживать усилия Буля, корректируя и защищая работу Буля. После смерти Буля Де Морган работал над тем, чтобы семья Буля получала государственную пенсию.

Рамчундра и индийская математика

« В 1850 году Де Морган получил от Джона Эллиота Дринкуотера Бетьюна книгу Трактат о проблемах максимумов и минимумов», написанную и опубликованную индийским математиком-самоучкой Рамчундрой . Де Морган был настолько поражен работой, что вступил в переписку с Рамчундрой и организовал переиздание книги в Лондоне в 1859 году, ориентированное на европейскую аудиторию; В предисловии де Моргана дается обзор классической индийской математической мысли и содержится призыв к современному возвращению индийской математики:

Изучая эту работу, я увидел в ней не просто заслуги, достойные поощрения, но заслуги особого рода, поощрение которых, как мне казалось, могло способствовать усилиям туземцев, направленным на восстановление туземного разума в Индии.

влиянии классической индийской логики на собственные работы Де Моргана по логике. Высказывались предположения о Мэри Буль утверждала, что оказала глубокое влияние – через своего дядю Джорджа Эвереста – на индийскую мысль в целом и индийскую логику, в частности, на своего мужа Джорджа Буля , а также на Де Моргана:

Подумайте, каким должен был быть эффект интенсивной индуизации трех таких людей, как Бэббидж, Де Морган и Джордж Буль, на математическую атмосферу 1830–1865 годов. Какую роль он сыграл в создании векторного анализа и математики, с помощью которых сейчас проводятся исследования в физической науке?

Лондонское математическое общество

Артур Каупер Раньярд и Джордж Кэмпбелл Де Морган, сын Де Моргана, задумали основать математическое общество в Лондоне, где математические статьи будут не только приниматься (как в Королевском обществе ), но также читаться и обсуждаться. Первое собрание Лондонского математического общества состоялось в Университетском колледже в 1865 году. Де Морган был первым президентом, а его сын - первым секретарем. Среди первых членов были Бенджамин Гомпертц , личный друг и коллега-актуарий Де Моргана, Уильям Стэнли Джевонс и Джеймс Джозеф Сильвестр , бывшие ученики Де Моргана, Томас Арчер Херст , коллега Де Моргана, а также математики Уильям Кингдом Клиффорд и Артур Кэли .

Личная жизнь

Семья

Август был одним из семи детей, только четверо из которых дожили до взрослого возраста. Этими братьями и сестрами были Элиза (1801–1836), вышедшая замуж за Льюиса Хенсли, хирурга, живущего в Бате; Джордж (1808–1890), адвокат, женившийся на Жозефине, дочери вице-адмирала Джозайи Когхилла, 3-го баронета Когхилла; и Кэмпбелл Грейг (1811–1876), хирург из больницы Миддлсекса.

Когда Де Морган переехал жить в Лондон, он нашел близкого друга в лице Уильяма Френда . Оба были арифметиками и актуариями , и их религиозные взгляды были в чем-то схожими, хотя их математические взгляды различались из-за отказа Френда от использования отрицательных чисел. Френд жил в тогдашнем пригороде Лондона, в загородном доме, который раньше занимал Даниэль Дефо и Исаак Уоттс . Де Морган со своей флейтой был желанным гостем.

Осенью 1837 года Де Морган женился на Софии Элизабет Френд (1809–1892), старшей дочери Уильяма Френда (1757–1841), и Саре Блэкберн (1779–?), внучке Фрэнсиса Блэкберна (1705–1787). Архидиакон Кливлендский.

У Де Моргана было три сына и четыре дочери, в том числе автор сказок Мэри Де Морган . Его старшим сыном был гончар Уильям Де Морган . Его второй сын, Джордж, получил отличие по математике в Университетском колледже и Лондонском университете.

Личность

Де Морган был полон личных особенностей. По случаю назначения его друга, лорда Брума, на пост ректора Эдинбургского университета Сенат предложил присвоить ему почетную степень доктора права. Д.; он отказался от этой чести как неправильное название. Он с юмором описывал себя, используя латинскую фразу « Homo paucarum literarum » (малописьменный человек), отражая его скромность в отношении своего обширного вклада в математику и логику.

Он не любил провинцию за пределами Лондона, и пока его семья наслаждалась морским отдыхом, а люди науки развлекались на заседании Британской ассоциации в деревне, он оставался в жарких и пыльных библиотеках мегаполиса. Он говорил, что чувствовал себя Сократом , который заявлял, что чем дальше он от Афин , тем дальше он от счастья.

Он никогда не стремился стать членом Королевского общества и никогда не посещал собрания Общества. Он сказал, что у него нет общих идей или симпатий с физическими философами; его такое отношение, возможно, объяснялось его физической немощью, которая не позволяла ему быть ни наблюдателем, ни экспериментатором.

Он никогда не голосовал на выборах и никогда не посещал Палату общин , Лондонский Тауэр или Вестминстерское аббатство .

Религиозные взгляды

Несмотря на строгое англиканской церкви воспитание Де Морган публично был нонкомформистом , но за это пришлось заплатить личную цену: его отказ подчиняться лишил его дальнейшего продвижения в Кембридже; его бракосочетание было без церковной церемонии; и несколько раз он боролся с администрацией Университетского колледжа за сохранение религиозного нейтралитета. в конце концов ушел в отставку из-за этого вопроса. В частной жизни Де Морган был диссидентом : он женился на семье унитариев , где его по сути христианские деистические интерпретации Священного Писания приветствовались. Позже он стал более деистским Мартино и присоединился к Свободному христианскому союзу .

Де Моргана неоднократно обвиняли в атеизме. что он назвал сектантством. В своем завещании Де Морган напишет

Я с надеждой и уверенностью вручаю свое будущее Всемогущему Богу; Богу Отцу Господа нашего Иисуса Христа, Которого я сердцем своим верю, что Он Сын Божий, но Которого я не исповедал устами, потому что в мое время такое исповедание всегда было путем наверх в мире.

Выход на пенсию и смерть

Огастес Де Морган.

В возрасте 60 лет ученики Де Моргана обеспечили ему пенсию в размере 500 фунтов стерлингов в год, но последовали несчастья. Два года спустя умер его сын Джордж – «младший Бернулли», как Август любил слышать, как он его называл, намекая на выдающихся отца и сына-математика с таким именем. За этим ударом последовала смерть дочери. Через пять лет после ухода из Университетского колледжа Де Морган умер от нервного истощения 18 марта 1871 года.

Математика

Де Морган наиболее известен своим новаторским вкладом в математическую логику , особенно в алгебраическую логику , и, в меньшей степени, за его вклад в начало абстрактной алгебры .

Математическая логика

Вклад де Моргана в логику двоякий. Во-первых, до Де Моргана не было математической логики — логика , в том числе и формальная , была прерогативой философов; Де Морган был первым, кто превратил формальную логику в математический предмет. Во-вторых, Де Морган развил бы исчисление отношений, по существу абстрагируя логику посредством применения алгебраических принципов.

Первая оригинальная статья Де Моргана по логике «О структуре силлогизма». появилась в « Трудах Кембриджского философского общества» в 1846 году. В статье описывается математическая система, которая формализует аристотелевскую логику , в частности силлогизм . Хотя правила, определяемые Де Морганом, включая одноименные законы Де Моргана , просты, формализм значителен: он представлял собой первый серьезный пример математической логики, которая проникла в область логики и предвосхитила логическое программирование . Последующий спор с философом сэром Уильямом Стирлингом Гамильтоном по поводу «количественной оценки предиката», упомянутой в статье Де Моргана, побудил Джорджа Буля написать брошюру «Математический анализ логики» (1847). Де Морган подробно остановился на своей первоначальной статье в книге « Формальная логика, или Исчисление выводов, необходимых и вероятных» (1847 г.): опубликован на той же неделе, что и брошюра Буля, и был сразу же затмлен ею. Тем не менее, более поздние практики признали новаторский характер его работы; К.И. Льюис писал: «Его оригинальность в изобретении новых логических форм, его остроумие, его удачные иллюстрации, а также ясность и живость его письма сослужили йоменскую службу в разрушении предубеждений против введения «математических» методов в логику».

Де Морган развил исчисление отношений в своей статье «О силлогизме № IV». и в его книге «Программа предлагаемой системы логики» (1860). Он показал, что рассуждения с помощью силлогизмов можно заменить составлением отношений . Исчисление было описано как логика родственников Чарльзом Сандерсом Пирсом , который восхищался Де Морганом и встретился с ним незадолго до его смерти. Историки связывают некоторые изменения в современной логике непосредственно с вкладом Де Моргана в алгебраическую логику : «Любая серьезная попытка изучить современные работы Тарского или Биркгофа должна начинаться с серьезного изучения наиболее значительных основателей их области, особенно Буля , Де Моргана, Пирс и Шредер ». Фактически, теорема, сформулированная Де Морганом в 1860 году, была позже выражена Шредером в его учебнике по бинарным отношениям и теперь обычно называется правилами Шредера .

Абстрактная алгебра

В 1844 году Де Морган в ответ на У. Р. Гамильтоном изобретение кватернионов в прошлом году описал идею абстрактной формы алгебры:

«Изобретение отдельной системы единиц-символов и исследование или определение отношений, которые определяют их способ воздействия друг на друга».

Работает

Де Морган был плодовитым писателем; неполный список его произведений занимает 15 страниц воспоминаний. Хотя большая часть математических работ Де Моргана носит образовательный характер и состоит из различных учебников, именно его новаторский вклад в логику, благодаря которому он наиболее известен, представлен в нескольких книгах и статьях, в частности «Формальная логика» (1847 г.) и «Программа предложенного метода». Система логики (1860). Также следует отметить его работы по алгебре, в частности «Тригонометрия и двойная алгебра» (1849). Де Морган был также известным популяризатором науки и математики; он написал более 600 статей в Penny Cyclopedia, от Abacus до Young, Thomas . Его самая необычная работа — «Бюджет парадоксов» , сборник его сочинений, в основном рецензий на книги, для The Athenæum Journal .

Переписка

Де Морган был блестящим и остроумным писателем, как полемистом, так и корреспондентом. В его время процветали два сэра Уильяма Гамильтона, которых часто смешивали. Одним из них был Уильям Гамильтон , шотландец, профессор логики и метафизики Эдинбургского университета ; другой был рыцарем (то есть завоевавшим этот титул), ирландцем, профессором астрономии Дублинского университета.

Да будет вам известно, что я обнаружил, что вы и другой сэр У.Х. являетесь по отношению ко мне противоположными полюсами (интеллектуально и морально, поскольку шотландский баронет — это белый медведь, а вы, я собирался сказать, — полярный джентльмен). ). Когда я отправляю небольшое расследование в Эдинбург, WH в этом роде говорит, что я взял его у него. Когда я посылаю вам одну, вы берете ее у меня, обобщаете ее с первого взгляда, даруете ее, таким образом, обобщенной для общества в целом, и делаете меня вторым открывателем известной теоремы.

Переписка Де Моргана с У. Р. Гамильтоном математиком продолжалась более двадцати четырех лет; он содержит дискуссии не только по математическим вопросам, но и по темам, представляющим общий интерес. Оно отмечено сердечностью со стороны Гамильтона и остроумием со стороны Де Моргана. Ниже приведен образец:

Гамильтон писал:

Моя копия работы Беркли не моя; Как и Беркли, вы знаете, я ирландец.

Де Морган ответил:

Ваша фраза "моя копия не моя" - это не бык . В английском языке совершенно нормально использовать одно и то же слово в двух разных значениях в одном предложении, особенно когда оно употребляется. Несоответствие языка не является быком, поскольку оно выражает смысл. Но несоответствие идей (как в случае с ирландцем, который тянул веревку и, обнаружив, что она не дотянулась, закричал, что кто-то отрезал ее другой конец) — это настоящая бычья.

Тригонометрия и двойная алгебра

Работа Де Моргана под названием «Тригонометрия и двойная алгебра». состоит из двух частей, первая из которых представляет собой трактат по тригонометрии , а вторая — трактат по обобщенной алгебре, которую он назвал «двойной алгеброй». Первым этапом развития алгебры является арифметика только натуральные числа и символы таких операций, как + , × , где используются и т. д. Следующий этап — универсальная арифметика , где вместо чисел появляются буквы, чтобы универсально обозначать числа, и процессы проводятся без знания значений символов. Пусть a и b обозначают любые натуральные числа. Выражение типа a − b все еще может быть невозможным, поэтому в универсальной арифметике всегда есть оговорка, если операция возможна . Третий этап — одиночная алгебра , где символ может обозначать количество в прямом или обратном направлении и адекватно представлен отрезками прямой, проходящей через начало координат. Отрицательные величины тогда уже невозможны; они представлены обратным сегментом. Но в последней части такого выражения, как a + b √ −1 , возникающая при решении квадратного уравнения. Четвертый этап – двойная алгебра . Алгебраический символ обозначает, вообще, отрезок прямой в данной плоскости. Это двойной символ, поскольку он включает в себя две характеристики, а именно длину и направление, а √ −1 интерпретируется как обозначение квадранта. Тогда выражение a + b √ −1 представляет линию на плоскости, имеющую абсциссу a и ординату b . Арган и Уоррен до сих пор занимались двойной алгеброй, но они не смогли интерпретировать на основе этой теории такое выражение, как e ^{a √ −1} . Де Морган попытался это сделать, приведя такое выражение к форме b + q √ −1 , и считал, что показал, что его всегда можно привести таким образом. Примечателен тот факт, что эта двойная алгебра удовлетворяет всем перечисленным выше фундаментальным законам, и, поскольку каждая, казалось бы, невозможная комбинация символов была интерпретирована, она выглядит как полная форма алгебры. В главе 6 он представил гиперболические функции и обсудил связь между общей и гиперболической тригонометрией .

Если приведенная выше теория верна, то следующим этапом развития должна стать тройная алгебра, и если a + b √ −1 действительно представляет линию в данной плоскости, должно быть возможно найти третий член, который, добавленный к вышеизложенное будет представлять собой линию в пространстве. Арган и некоторые другие догадались, что это a + b √ −1 + c √ −1. ^{√ −1} , хотя это противоречит установленной Эйлером истине о том, что √ −1 ^{√ −1} = и ^-p/2 . Де Морган и многие другие усердно работали над этой проблемой, но из этого ничего не вышло, пока проблемой не занялся Гамильтон. Теперь мы ясно видим причину: символ двойной алгебры обозначает не длину и направление, а множитель и угол . В нем углы приурочены к одной плоскости. Следовательно, следующим этапом будет четверная алгебра , когда ось плоскости будет сделана переменной. И это дает ответ на первый вопрос: двойная алгебра — это не что иное, как аналитическая плоская тригонометрия, и именно поэтому она оказалась естественным анализом переменных токов. Но Де Морган никогда не заходил так далеко. Он умер с убеждением, что «двойная алгебра должна оставаться полным развитием концепций арифметики, поскольку речь идет о тех символах, которые непосредственно предполагает арифметика».

В главе II книги II, следуя цитированному выше отрывку о теории символической алгебры, Де Морган приступает к описанию основных символов алгебры, а также к описанию законов алгебры. Символы $0$, $1$, $+$, $-$, $\times$, $\div$, $()$⁽⁾ и буквы; только они, все остальные являются производными. Как объясняет Де Морган, последний из этих символов представляет собой написание последнего выражения надстрочным индексом поверх и после первого. Его перечень фундаментальных законов разделен на четырнадцать глав, но некоторые из них представляют собой просто определения. Предыдущий список символов относится к первой из этих глав. Собственно законы можно свести к следующим, которые, как он признает, не все независимы друг от друга, «но несимметричный характер экспоненциальной операции и отсутствие связующего процесса $+$ и $\times$ ... делает необходимым изложить их отдельно»:

1. Законы идентичности. $a=0+a=1\times a$, $=a+0=a-0=a\times 1=a\div 1$, $=0+1\times a$
2. Закон знаков. $+(+a)=+a,$ $+(-a)=-a,$ $-(+a)=-a,$ $-(-a)=+a,$ $\times (\times a)=\times a,$ $\times (\div a)=\div a,$ $\div (\times a)=\div a,$ $\div (\div a)=\times a$
3. Коммутативный закон. $a+b=b+a,$ $a\times b=b\times a$
4. Распределительный закон. $a(b+c)=ab+ac,$ $a(b-c)=ab-ac,$ $(b+c)\div a=(b\div a)+(c\div a),$ $(b-c)\div a=(b\div a)-(c\div a)$
5. Индексные законы. $a^{0}=1,$ $a^{1}=a,$ $(a\times b)^{c}=a^{c}\times b^{c},$ $a^{b}\times a^{c}=a^{b+c},$ $(a^{b})^{c}=a^{b\times c}$

Де Морган утверждает, что дал полный перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, поскольку он говорит: «Любая система символов, которая подчиняется этим правилам и никаким другим, за исключением случаев, когда они образованы комбинацией этих правил, и которая использует предшествующие символы и никакие другие — за исключением новых символов, изобретенных в виде сокращений комбинаций этих символов — есть символическая алгебра ». С его точки зрения, ни один из вышеперечисленных принципов не является правилом; это формальные законы, то есть произвольно выбранные отношения, которым должны подчиняться алгебраические символы. Он не упоминает о законе, на который уже указывал Григорий, а именно: $(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)$ и которому впоследствии было дано название «Закон об ассоциации» . Если коммутативный закон не работает, ассоциативный закон может оставаться в силе; но не наоборот . Символисту или формалисту прискорбно, что в универсальной арифметике $m^{n}$ не равен $n^{m}$; ибо тогда коммутативный закон имел бы полную силу. Почему он не дает этому полную свободу? Потому что основы алгебры, в конце концов, реальны, а не формальны, материальны, а не символичны. Для формалистов индексные операции чрезвычайно упорны, вследствие чего некоторые не принимают их во внимание, а относят к прикладной математике. Дать перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, — задача невыполнимая, и она немало напоминает задачу тех философов, которые пытаются дать инвентаризацию априорных знаний о разуме.

Математическая логика

Первая работа Де Моргана по логике «Первые понятия логики» Евклида (1839) носит педагогический характер и знакомит студентов с логикой, необходимой для изучения «Начал» .

Первая исследовательская работа Де Моргана по логике «О структуре силлогизма» (1846 г.). описание математической системы аристотелевского силлогизма , возможно, знаменует собой начало так называемой математической логики.

Пожалуй, самая известная работа Де Моргана « Формальная логика, или Исчисление выводов, необходимое и вероятное». Джорджа Буля был опубликован в 1847 году на той же неделе (по договоренности), что и «Математический анализ логики» . Книга представляет собой прежде всего переиздание его статьи «О структуре силлогизма» (1846 г.). но также включает его более раннюю книгу «Первые понятия логики» (1840 г.), главы об ошибках и вероятности, а также подробности его спора с шотландским философом сэром Уильямом Гамильтоном.

Де Морган продолжил свои исследования логики в серии статей: в первую очередь «О силлогизме № IV» (1860 г.), которая ввела логику отношений . Де Морган синтезирует большую часть этой работы в своей книге «Программа предлагаемой системы логики» (1860).

Бюджет парадоксов

Опубликованный посмертно в 1872 году, «Бюджет парадоксов» представляет собой компиляцию одноименной колонки Де Моргана для «Атенеума», состоящей в основном из обзоров книг и посвященной так называемым парадоксам , также называемым псевдоматематиками Де Моргана ( неологизм ) и псевдоучеными .

Псевдоматика, которую описывает Де Морган, в основном занимается квадратурами круга , например Томас Бакстер , кубы-дубликаторы и углы-трисекторы . Одним из таких угловых трисекторов был Джеймс Саббен, чья работа получила однострочную рецензию от Де Моргана:

«Последствия многих лет напряженных размышлений»: весьма вероятно и очень печально.

Другим псевдоматом, выявленным Де Морганом, был Джеймс Смит, успешный торговец из Ливерпуля, который утверждал, что $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$. Де Морган пишет:

Мистер Смит продолжает писать мне длинные письма, на которые намекает, что я должен ответить. В своей последней из 31 тщательно исписанной стороны листа бумаги он сообщает мне, ссылаясь на мое упрямое молчание, что, хотя я считаю себя и других считаю математическим Голиафом, я решил играть в математическую улитку и продолжать внутри моей скорлупы... Но он осмеливается сказать мне, что камешки из пращи простой истины и здравого смысла в конце концов расколют мою скорлупу...

Среди многих псевдонаучных идей, которые дискредитирует Де Морган, — Альфреда Уилкса Дрейсона . расширяющейся Земли теория и Сэмюэля Роуботэма » «Зететическая астрономия , или теория плоской Земли .

Обсуждая расчеты $\pi$Де Морган подробно обсуждает аппроксимацию Бюффона и свои собственные результаты, полученные при использовании этого метода.

уделяет место нетехническим темам Де Морган в «Бюджете» также , в частности религии. Де Морган дал положительную рецензию на Годфри Хиггинса . » « Анакалипсис и приводит несколько анекдотов о взглядах великих математиков на религию, особенно Лапласа. и Эйлер .

Де Морган часто демонстрирует юмор в «Бюджете» , включая различные анаграммы, такие как «Отличная пушка, сделай нам сумму!» («Огюст Де Морган»), Застольная песня астронома, и стихотворение Siphonaptera . Бюджет был хорошо принят, но его трудно классифицировать.

Спиритуализм

Де Морган позже в своей жизни заинтересовался явлением спиритизма . Первоначально заинтригованный ясновидением , позже он провел паранормальные исследования вместе с американским медиумом Марией Хейден, результаты которых отражены в книге « От материи к духу: результат десятилетнего опыта духовных проявлений» (1863), написанной Софией Де Морган и опубликованной. анонимно, чтобы избежать последствий.

София, возможно, была убежденным спиритуалистом, но Де Морган не был ни верующим, ни скептиком. Вместо этого его точка зрения заключалась в том, что методология физических наук не исключает автоматически психические явления и что такие явления со временем можно объяснить возможным существованием природных сил, которые физики еще не определили. В предисловии к книге «От материи к духу» (1863 г.) Де Морган пишет:

Полагая весьма вероятным, что Вселенная может содержать несколько агентов – скажем, полмиллиона – о которых никто ничего не знает, я не могу не подозревать, что небольшая часть этих агентов – скажем, пять тысяч – могут быть по отдельности компетентны в производстве все [спиритуалистические] явления или может быть вполне подходящим среди них. Физические объяснения, которые я видел, просты, но совершенно недостаточны: спиритуалистическая гипотеза достаточна, но чрезвычайно трудна. Время и мысль решат, второй потребует от первого дополнительных результатов испытаний.

Де Морган был одним из первых известных ученых в Великобритании, проявивших интерес к изучению спиритизма, что повлияло на Уильяма Крукса , который также начал изучать спиритизм.

Наследие

Штаб-квартира Лондонского математического общества называется Домом Де Моргана, а высшая награда, присуждаемая Обществом, — медаль Де Моргана .

Студенческое общество математического факультета Университетского колледжа Лондона называется Обществом Огастеса Де Моргана.

Обширная библиотека математических и научных работ Де Моргана, многие из которых исторические, была приобретена Сэмюэлем Джонсом-Лойдом для Лондонского университета и теперь является частью коллекции библиотек Сената .

лунный кратер Де Морган В его честь назван .

Публикации

Книги

• Бурдон, Пьер Луи Мари (1828). Элементы алгебры . Перевод Де Моргана, Августа. Лондон: Джон Тейлор.
• Де Морган, Август (1831). Об изучении и трудностях математики .
• Объяснение гномонической проекции сферы . Лондон: Болдуин. 1836.
• Элементы тригонометрии и тригонометрического анализа . Лондон: Тейлор и Уолтон. 1837а.
• Элементы алгебры . Лондон: Тейлор и Уолтон. 1837б.
• Эссе о вероятностях и их применении к жизненным непредвиденным обстоятельствам и страховым офисам . Лондон: Лонгман, Орм, Браун, Грин и Лонгманс. 1838.
• Элементы арифметики (4-е изд.). Лондон: Тейлор и Уолтон. 1840а.
• Де Морган, Август (1840b). Первые понятия логики, подготовка к изучению геометрии . Лондон: Тейлор и Уолтон.
• Дифференциальное и интегральное исчисление . Лондон: Болдуин. 1842.
• Глобусы, Небесные и Земные . Лондон: Малби и компания, 1845 г.
• Де Морган, Август (1847). Формальная логика или исчисление умозаключений, необходимых и вероятных . Лондон: Тейлор и Уолтон.
• Тригонометрия и двойная алгебра . Лондон: Тейлор, Уолтон и Малбери. 1849.
• Де Морган, Август (1860). Программа предлагаемой системы логики . Лондон: Уолтон и Малбери.
• Де Морган, Август (1872). Бюджет парадоксов . Лондон: Лонгманс, Грин.

Журнальные статьи

• Де Морган, Август (1842). «Об основах алгебры». Труды Кембриджского философского общества . 7 : 173–187.
• Де Морган, Август (1842). «Об основании алгебры, № II». Труды Кембриджского философского общества . 7 : 287–300.
• Де Морган, Август (1846). «О структуре силлогизма и о применении теории вероятностей к вопросам аргументации и авторитета» . Труды Кембриджского философского общества . 8 XXIX: 379–408.
• Де Морган, Август (1849). «Об основании алгебры, № III». Труды Кембриджского философского общества . 8 : 139–142.
• Де Морган, Август (1849). «Об основах алгебры, № IV, О тройной алгебре». Труды Кембриджского философского общества . 8 : 241–253.
• Де Морган, Август (1850). «О символах логики, теории силлогизмов и, в частности, связки, а также применении теории вероятностей к некоторым вопросам доказательств». Труды Кембриджского философского общества . 9 : 79–127.
• Де Морган, Август (1858). «О силлогизме № III и о логике вообще». Труды Кембриджского философского общества . 10 (1): 173–320.
• Де Морган, Август (1860). «О силлогизме № IV и о логике отношений». Труды Кембриджского философского общества . 10 (2): 331–358.
• Де Морган, Август (1863). «О силлогизме № V и о различных точках ониматической системы». Труды Кембриджского философского общества . 10 (2): 428–487.

См. также

• История сериала Гранди
• Закон Мерфи
• Квадратура круга
• Теорема о четырех цветах

Ссылки

Источники

• Аркави, Авраам; Брукхаймер, Максим (1989). «Дидактический Де Морган: Избранные мысли Огастеса Де Моргана о преподавании и изучении математики» . Для изучения математики . 9 (1): 34–39.
• Аттар, Карен (2020), «Огастус Де Морган (1806–1871), его чтение и его библиотека», в Хаммонде, Мэри (редактор), «Эдинбургская история чтения» , том. 2, Издательство Эдинбургского университета, стр. 62–82.
• Белл, ET (1937). Мужчины математики . Саймон и Шустер.
• Белофф, Джон (1997). Парапсихология: краткая история . Пэлгрейв Макмиллан. ISBN  978-0-312-17376-0 .
• Боченски, Джозеф М. (1961). История формальной логики . Нотр-Дам.
• Блэк, Р.Д. Коллисон (1972). «Джевонс, Бентам и Де Морган». Экономика . 39 (154).
• Конклин, Грофф (март 1955 г.). «5-звездочная полка Галактики» . Галактическая научная фантастика .
• Де Морган, София Элизабет; Де Морган, Август (1882). Мемуары Огастеса де Моргана: с отрывками из его писем . Лонгманс, Грин и компания. ISBN  978-1-108-01447-2 . Также доступно в Google Книгах.
• Депо, Слоан Эванс; Райс, Адриан К. (2016). «Анонимные рецензии Августа Де Моргана на «Атенеум : зеркало викторианского математика». История Математики . 43 : 148–171.
• Харт, Негли; Норт, Джон; Брюис, Джорджина (2018). Мир UCL (PDF) (4-е изд.). Лондон: UCL Press. ISBN  978-1-78735-294-0 .
• Хиггитт, Ребекка (2006). «Почему я не FRS Мой хвост: Огастес Де Морган и Королевское общество» . Заметки и отчеты Лондонского королевского общества . 60 (3): 253–259.
• Холлингс, Кристофер; Мартин, Урсула; Райс, Адриан (2017). «Математическая переписка Лавлейс-Де Морган: критическая переоценка» . История Математики . 44 (3): 202–231. дои : 10.1016/j.hm.2017.04.001 . hdl : 20.500.11820/0e6b1303-667f-4356-b33d-7123ae973bc4 .
• Джевонс, Уильям Стэнли (1878). «Огюст Морган» . энциклопедия Британская Том. VII (9-е изд.). стр. 100-1 64–67.
• Карпинский, Луи (1916). «Обзор: Бюджет парадоксов (2-е изд.) Огастеса Де Моргана» . Бык. амер. Математика. Соц . 22 (9): 468–471. дои : 10.1090/s0002-9904-1916-02839-4 .
• Макфарлейн, Александр (1916). Лекции о десяти британских математиках девятнадцатого века (PDF) . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
• Меррилл, Дэниел Д. (2012). Огастес де Морган и логика отношений . Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-009-2047-7 .
• Музы, Чарльз (1998). «Рамануджан Де Моргана». Математический интеллект . 20 (3): 47–51.
• Нельсон, Джеффри К. (1969). Спиритуализм и общество . Рутледж и К. Пол. ISBN  9780710062529 .
• Оппенгейм, Джанет (1985). Другой мир: спиритуализм и психические исследования в Англии, 1850–1914 гг . п. 335. ИСБН  0-521-34767-Х .
• Пантеки, Мария (2003). «Французская «логика» и британская «логика»: о происхождении ранних логических исследований Огастеса Де Моргана, 1805–1835». История Математики . 30 : 278–340.
• Филлипс, Кристофер (2005). «Огюст Де Морган и распространение моральной математики». Исследования по истории и философии науки . 36 : 105–133. дои : 10.1016/j.shpsa.2004.12.006 .
• Писиор, Хелена М. (1983). «Алгебраическая работа Августа Де Моргана: три этапа». Исида . 74 (2): 211–226. JSTOR   233103 .
• Райс, Адриан Клиффорд (1997). Огастес Де Морган и развитие университетской математики в Лондоне в девятнадцатом веке (Диссертация). Миддлсексский университет.
• Райс, Адриан (сентябрь 1997b). «Вдохновение или отчаяние? Назначение Огастеса Де Моргана на кафедру математики Лондонского университета в 1828 году» . Британский журнал истории науки . 30 (3): 257–274.
• Райс, Адриан (1999). «Что делает учителя математики великим? Случай Огастеса Де Моргана» . Американский математический ежемесячник . 106 (6): 534–552.
• Ричардс, Джоан Л. (1987). «Огюст Де Морган, история математики и основы алгебры» . Исида . 78 (1): 6–30. дои : 10.1086/354328 .
• Робертсон, Росс М. (1951). «Джевонс и его предшественники». Эконометрика . 19 (3).
• Симмонс, Шарлотта (2011). «Огастус Де Морган за кулисами» . Математический журнал колледжа . 42 (1): 33–40. дои : 10.4169/college.math.j.42.1.033 .
• Смит, GC (1982). Переписка Буля-Де Моргана . Издательство Чикагского университета.
• Британская энциклопедия (2024) Огастес Де Морган
• «Полученные книги: бюджет парадоксов». Природа . Том. 7. 1873. стр. 239–240.

• «Застольная песня астронома» . Королевское астрономическое общество Канады .

Дальнейшее чтение

• Стивен, Лесли , изд. (1888). «Де Морган, Август» . Словарь национальной биографии . Том. 14. Лондон: Смит, Элдер и компания.
•  Кузен, Джон Уильям (1910), « Де Морган, Август », Краткий биографический словарь английской литературы , Лондон: JM Dent & Sons - через Wikisource
• Де Морган, А., 1966. Логика: о силлогизме и других логических произведениях . Хит, П., изд. Рутледж. Полезный сборник важных работ Де Моргана по логике.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней 1870–1940 гг . Издательство Принстонского университета.

Внешние ссылки

• Работы Огастеса Де Моргана в Project Gutenberg
• Работы Огастеса Де Моргана или о нем в Internet Archive
• Работы Огастеса Де Моргана в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Огюст Де Морган» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Библиотека Дома Сената | Библиотека Де Моргана [1] [2]
• «Архивные материалы, касающиеся Огастеса Де Моргана» . Национальный архив Великобритании .
• Портреты Огастеса Де Моргана в Национальной портретной галерее, Лондон