Проблема с иглой Бюффона

В теории вероятностей проблема иглы Бюффона — это вопрос, впервые поставленный в 18 веке Жоржем -Луи Леклерком, графом де Бюффоном : ^{[ 1 ]}

Предположим, у нас есть пол, сделанный из параллельных полос деревянных одинаковой ширины, и мы бросаем иголку на пол . Какова вероятность того , что игла окажется на линии между двумя полосками?

Игла Бюффона была первой проблемой геометрической вероятности , которую нужно было решить; ^{[ 2 ]} ее можно решить, используя интегральную геометрию . Решение для искомой вероятности $p$ в случае, когда длина иглы $l$ не превышает ширины $t$ полосок, имеет вид

p={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}.

Это можно использовать для разработки метода Монте-Карло для аппроксимации числа $π$ , хотя это не было первоначальной мотивацией вопроса де Бюффона. ^{[ 3 ]} Кажущееся необычным появление числа $π$ в этом выражении происходит потому, что основная функция распределения вероятностей ориентации иглы является вращательно-симметричной.

Решение

Проблема в более математическом смысле такова: если игла длиной $l$ упала на плоскость, разделенную параллельными линиями $на расстоянии t$ единиц, какова вероятность того, что игла при приземлении окажется поперек этой линии?

Пусть $x$ — расстояние от центра иглы до ближайшей параллельной линии, а $θ$ — острый угол между иглой и одной из параллельных линий.

Равномерная функция плотности вероятности (PDF) $x$ между 0 и $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ т / 2 ⁠$ есть

f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}

Здесь $x = 0$ представляет собой иглу, центрированную прямо на линии, а $x = ⁠ t / 2 ⁠$ представляет собой иглу, идеально расположенную между двумя линиями. Единый PDF предполагает, что стрелка с одинаковой вероятностью упадет в любом месте этого диапазона, но не сможет выйти за его пределы.

Равномерная функция плотности вероятности $θ$ между 0 и $⁠ π / 2 ⁠$ это

f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}

Здесь $θ = 0$ представляет собой иглу, параллельную отмеченным линиям, а $θ = ⁠ π / 2 ⁠$ радиан представляет собой иглу, перпендикулярную отмеченным линиям. Любой угол в этом диапазоне считается равновероятным исходом.

Две случайные величины , $x$ и $θ$ , независимы, ^{[ 4 ]} поэтому совместная функция плотности вероятности представляет собой произведение

f_{X,\Theta }(x,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}

Стрелка пересекает линию, если

x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .

Теперь есть два случая.

Случай 1: Короткая игла ( $l \leq t$ )

Интегрирование функции плотности вероятности суставов дает вероятность того, что игла пересечет линию:

P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.

Случай 2: Длинная игла ( $l > t$ )

Предположим, что $l > t$ . В этом случае, интегрируя совместную функцию плотности вероятности, получаем:

\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,

где $m (θ)$ — минимум между $⁠ l / 2 ⁠ sin θ$ и $⁠ t / 2 ⁠$ .

Таким образом, выполняя описанное выше интегрирование, мы видим, что при $l > t$ вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну линию, равна

P={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1

или

P={\frac {2}{\pi }}\arccos {\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right).

Во втором выражении первый член представляет вероятность того, что угол иглы будет таким, что она всегда пересечет хотя бы одну линию. Правильный член представляет собой вероятность того, что игла упадет под углом, где ее положение имеет значение, и пересечет линию.

В качестве альтернативы обратите внимание, что всякий раз, когда $θ$ имеет такое значение, что $l sin θ \leq t$ , то есть в диапазоне $0 \leq θ \leq arcsin ⁠ t / l ⁠$ , вероятность пересечения такая же, как и в коротком игольнице. Однако если $l sin θ > t$ , то есть $arcsin ⁠ т / л ⁠ < θ \leq ⁠ π / 2 ⁠$ вероятность постоянна и равна 1.

{\begin{aligned}P&=\left(\int _{\theta =0}^{\arcsin {\frac {t}{l}}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}dxd{\theta }\right)+\left(\int _{\arcsin {\frac {t}{l}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2}{\pi }}d{\theta }\right)\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1\end{aligned}}

Использование элементарного исчисления

Следующее решение для случая «короткой иглы», хотя и эквивалентно приведенному выше, имеет более визуальный вид и позволяет избежать повторных интегралов.

Мы можем вычислить вероятность $P$ как произведение двух вероятностей: $P = P1 вероятность того \cdot P2,$ , где $P1 —$ что центр иглы окажется достаточно близко к линии, чтобы игла могла пересечь ее, и $P2 .$ — это вероятность того, что игла действительно пересечет линию, при условии, что центр находится в пределах досягаемости.

Глядя на иллюстрацию в приведенном выше разделе, становится очевидным, что игла может пересечь линию, если центр иглы находится в пределах $⁠ л / 2 ⁠$ ед. с каждой стороны полосы. Добавление $⁠ l / 2 ⁠ + ⁠ l / 2 ⁠$ с обеих сторон и разделив на всю ширину $t$ , получим $P 1 = ⁠ l / t ⁠$ .

Теперь предположим, что центр находится в пределах досягаемости края полосы, и вычислим $P 2$ . Для упрощения расчета можно предположить, что $l=2$ .

Пусть $x$ и $θ$ такие, как на иллюстрации в этом разделе. Поместив центр иглы в точку $x$ , игла пересечет вертикальную ось, если она попадает в диапазон $2 θ$ радиан из $π$ радиан возможных ориентаций. Это представляет собой серую область слева от $x$ на рисунке. Для фиксированного $x$ мы можем выразить $θ$ как функцию $x$ : $θ (x) = arccos(x)$ . Теперь мы можем указать $x$ в диапазоне от 0 до 1 и интегрировать:

{\begin{aligned}P_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {2\theta (x)}{\pi }}\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}\cos ^{-1}(x)\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\cdot 1={\frac {2}{\pi }}.\end{aligned}}

Умножая оба результата, получаем $P = P 1 \cdot P 2 = ⁠ l / t ⁠ \cdot ⁠ 2 / π ⁠ = ⁠ 2 l / tπ ⁠$ как указано выше.

Есть еще более изящный и простой метод расчета «короткой иголки». Конец иглы, наиболее удаленный от любой из двух линий, граничащих с ее областью, должен располагаться на расстоянии по горизонтали (перпендикулярно граничащим линиям) $l cos θ$ (где $θ$ — угол между иглой и горизонталью) от этой области. линию, чтобы игла ее пересекла. Максимальное расстояние, на которое этот конец иглы может отойти от этой линии по горизонтали в ее области, равно $t$ . Вероятность того, что самый дальний конец иглы находится не дальше, чем на расстоянии $l cos θ$ от линии (и, таким образом, что игла пересекает линию) из общего расстояния $t$ , на которое она может переместиться в своей области при $0 \leq θ \leq ⁠ π / 2 ⁠$ определяется выражением

{\begin{aligned}P&={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}l\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}t\,d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {1}{\,{\frac {\pi }{2}}\,}}\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}.\end{aligned}}

Без интегралов

Задачу о короткой игле можно также решить без какого-либо интегрирования таким образом, чтобы объяснить формулу для $p$ тем геометрическим фактом, что круг диаметром $t$ будет пересекать расстояние $t$ полосок всегда (т. е. с вероятностью 1) ровно в двух точках. Это решение было предложено Жозефом-Эмилем Барбье в 1860 году. ^{[ 5 ]} Его еще называют « лапшой Бюффона ».

Оценка $π$

Эксперимент по нахождению $π$ . Спички длиной 9 клеток были брошены 17 раз между рядами шириной 9 клеток. 11 спичек случайным образом упали на нарисованные линии, отмеченные зелеными точками.
$⁠ 2 л \cdot п / ть ⁠ = ⁠ 2 \times 9 \times 17 / 9 \times 11 ⁠ \approx 3,1 \approx π$ .

В первом, более простом случае, приведенном выше, формулу, полученную для вероятности $P,$ можно переписать в виде

\pi ={\frac {2l}{tP}}.

Таким образом, если мы проведем эксперимент для оценки $P$ , у нас также будет оценка для $π$ .

Предположим, мы уронили $n$ игл и обнаружили, что $h$ из этих игл пересекают линии, поэтому $P$ аппроксимируется дробью $⁠ час / п ⁠$ . Это приводит к формуле:

\pi \approx {\frac {2l\cdot n}{th}}.

В 1901 году итальянский математик Марио Лаццарини провел эксперимент Бюффона с иглой. Подбросив иголку 3408 раз, он получил известное приближение ⁠ 355/113 с точностью до шести ⁠ для $π$ знаков после запятой. ^{[ 6 ]} «Эксперимент» Лаццарини является примером предвзятости подтверждения , поскольку он был создан для того, чтобы воспроизвести уже известную аппроксимацию ⁠ 355/113 , Milü ⁠ (фактически, не существует лучшего рационального приближения с менее чем пятью цифрами в числителе и знаменателе, см. также ) , дающее более точный «предсказание» $π$ чем можно было бы ожидать по количеству испытаний, следующее: ^{[ 7 ]}

Лаццарини выбрал иглы длиной ⁠ 5/6 ⁠ планок . ширины деревянных В этом случае вероятность того, что иглы пересекут линии, равна $⁠ 5 / 3 π ⁠$ . Таким образом, если бы нужно было опустить $n$ игл и получить $x$ пересечений, можно было бы оценить $π$ как

\pi \approx {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}}

Так что если Лаццарини стремился к результату ⁠ 355 / 113 ⁠ , ему нужны были $n$ и $x$ такие, что

{\frac {355}{113}}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}},

или эквивалентно,

x={\frac {113n}{213}}.

Для этого нужно выбрать $n$ кратным 213, так как тогда $⁠ 113 n / 213 ⁠$ — целое число; Затем роняют $n$ иголок и надеются ровно на $x = ⁠ 113 п / 213 ⁠$ успехов. Если вы уроните 213 иголок и получите 113 успехов, то сможете с триумфом сообщить об оценке $π$ с точностью до шести знаков после запятой. Если нет, то можно просто провести еще 213 попыток и надеяться на 226 успехов; если нет, просто повторите при необходимости. Лаццарини выполнил 3408 = 213 × 16 испытаний, поэтому вполне вероятно, что именно эту стратегию он использовал для получения своей «оценки».

Приведенное выше описание стратегии можно даже считать милосердием по отношению к Лаццарини. Статистический анализ промежуточных результатов, о которых он сообщил для меньшего числа бросков, приводит к очень низкой вероятности достижения столь близкого соответствия ожидаемому значению на протяжении всего эксперимента. Это делает вполне возможным, что сам «эксперимент» никогда не проводился физически, а был основан на числах, выдуманных в воображении, чтобы соответствовать статистическим ожиданиям, но, как оказалось, слишком хорошо. ^{[ 7 ]}

Голландский научный журналист Ханс ван Маанен, однако, утверждает, что статью Лаццарини никогда не предполагалось воспринимать слишком серьезно, поскольку для читателей журнала (ориентированного на школьных учителей) было совершенно очевидно, что аппарат, который, по словам Лаццарини, построил, не может возможно, работает так, как описано. ^{[ 8 ]}

Расширение Лапласа (короткая игольница)

Теперь рассмотрим случай, когда плоскость содержит два набора параллельных линий, ортогональных друг другу, образующих стандартную перпендикулярную сетку. Наша цель — найти вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну линию сетки. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, в котором находится середина иглы длиной $l$ . Поскольку это короткая игольница, $l < a$ , $l < b$ . Пусть $(x, y)$ обозначают координаты средней точки иглы, а $φ$ обозначает угол, образованный иглой и $осью x$ . Подобно примерам, описанным выше, мы рассматриваем $x$ , $y$ , $φ$ как независимые однородные случайные величины в диапазонах $0 \leq x \leq a$ , $0 \leq y \leq b$ , $- π / 2 ⁠ \leq φ \leq ⁠ π / 2 ⁠$ .

Чтобы решить такую задачу, мы сначала вычисляем вероятность того, что игла не пересечет ни одной линии, а затем принимаем ее дополнение. Мы вычисляем эту первую вероятность, определяя объем области, в которой игла не пересекает ни одной линии, а затем делим ее на объем всех возможностей $V$ . Легко видеть, что $V = πab$ .

Теперь пусть $V *$ — объём возможностей, при котором игла не пересекает ни одной линии. Разработан СП Успенским , ^{[ 9 ]}

V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi

где $F (φ)$ — область, в которой игла не пересекает ни одну линию под углом $φ$ . Чтобы определить $F (φ)$ , давайте сначала рассмотрим случай горизонтальных краев ограничивающего прямоугольника. Общая длина стороны равна $a$ , а средняя точка не должна находиться в пределах $⁠ l / 2 ⁠ cos φ$ любой конечной точки ребра. Таким образом, общая допустимая длина без пересечений равна $a - 2(⁠ л / 2 ⁠ потому что φ)$ или просто $а - л потому что φ$ . Эквивалентно, для вертикальных ребер длиной $b$ имеем $b \pm l sin φ$ . ± учитывает случаи, когда $φ$ положителен или отрицателен. Беря положительный случай и затем добавляя знаки абсолютных значений в окончательный ответ для общности, мы получаем

F(\varphi )=(a-l\cos \varphi )(b-l\sin \varphi )=ab-bl\cos \varphi -al|\sin \varphi |+{\tfrac {1}{2}}l^{2}|\sin 2\varphi |.

Теперь мы можем вычислить следующий интеграл:

V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi =\pi ab-2bl-2al+l^{2}.

Таким образом, вероятность того, что игла не пересечет ни одну прямую, равна

{\frac {V^{*}}{V}}={\frac {\pi ab-2bl-2al+l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}.

И, наконец, если мы хотим вычислить вероятность $P$ того, что игла пересечет хотя бы одну линию, нам нужно вычесть приведенный выше результат из 1, чтобы вычислить его дополнение, что даст

P={\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}

.

Сравнение оценок $π$

Как упоминалось выше, эксперимент Бюффона с иглой можно использовать для оценки $π$ . Этот факт справедлив и для расширения Лапласа, поскольку $π$ также присутствует в этом ответе. Тогда естественным образом возникает следующий вопрос, который обсуждался Э. Ф. Шустером в 1974 г. ^{[ 10 ]} Какой эксперимент Бюффона или Лапласа лучше позволяет оценить значение $π$ ? Поскольку в расширении Лапласа имеется два набора параллельных прямых, мы сравниваем $N$ капель при наличии сетки (Лаплас) и $2 N$ капель в исходном эксперименте Бюффона.

Пусть $A$ — это событие, когда игла пересекает горизонтальную линию (параллельную $оси x$ ).

x={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}

и пусть $B$ — это событие, когда игла пересекает вертикальную линию (параллельную оси $y$ ).

y={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}

Для простоты дальнейшей алгебраической формулировки пусть $a = b = t = 2 l$ такое, что исходный результат в задаче Бюффона равен $P (A) = P (B) = ⁠ 1 / π ⁠$ . Далее, пусть $N = 100$ капель.

Теперь давайте рассмотрим $P (AB)$ для результата Лапласа, то есть вероятности пересечения иглой как горизонтальной, так и вертикальной линии. Мы знаем, что

P(AB)=1-P(AB')-P(A'B)-P(A'B').

Из приведенного выше раздела $P (A' B')$ , или вероятность того, что игла не пересечет ни одной линии, равна

P(A'B')=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(4l)-l^{2}}{4l^{2}\pi }}=1-{\frac {7}{4\pi }}.

Мы можем найти $P (A' B)$ и $P (AB'),$ используя следующий метод:

{\begin{aligned}P(A)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(AB')\\[4px]P(B)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(A'B).\end{aligned}}

Решив для $P (A' B)$ и $P (AB' )$ и подставив это в исходное определение $P (AB)$ несколькими строками выше, мы получим

P(AB)=1-2\left({\frac {1}{\pi }}-P(AB)\right)-\left(1-{\frac {7}{4\pi }}\right)={\frac {1}{4\pi }}

Хотя это и не обязательно для решения проблемы, теперь можно увидеть, что $P (A' B) = P (AB') = ⁠ 3 / 4 π ⁠$ . Имея приведенные выше значения, мы теперь можем определить, какая из этих оценок является лучшей оценкой для $π$ . Для варианта Лапласа пусть $p̂$ будет оценкой вероятности того, что существует пересечение линий такое, что

{\hat {p}}={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}

.

Нас интересует дисперсия такой оценки, чтобы понять ее полезность или эффективность. Чтобы вычислить дисперсию $p̂$ , мы сначала вычисляем $Var(x n + y n)$ , где

\operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})=\operatorname {Var} (x_{n})+\operatorname {Var} (y_{n})+2\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n}).

Решение для каждой части индивидуально,

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (x_{n})=\operatorname {Var} (y_{n})&=\sum _{i=1}^{2}p_{i}{\bigl (}x_{i}-\mathbb {E} (x_{i}){\bigr )}^{2}\\[6px]&=P(x_{i}=1)\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+P(x_{i}=0)\left(0-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}\\[6px]&={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\left(-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right).\\[12px]\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})&=\mathbb {E} (x_{n}y_{n})-\mathbb {E} (x_{n})\mathbb {E} (y_{n})\end{aligned}}

Из предыдущего раздела мы знаем, что

\mathbb {E} (x_{n}y_{n})=P(AB)={\frac {1}{4\pi }}

уступчивость

\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})={\frac {1}{4\pi }}-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{\pi }}={\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}<0

Таким образом,

\operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+2\left({\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}\right)={\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}

Возвращаясь к исходной задаче этого раздела, дисперсия оценки $p̂$ равна

\operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {1}{200^{2}}}(100)\left({\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}\right)\approx 0.000\,976.

Теперь давайте посчитаем количество капель $M$ , необходимое для достижения той же дисперсии, что и 100 капель по перпендикулярным линиям. Если $M < 200$ , то можно заключить, что установка только с параллельными линиями более эффективна, чем схема с перпендикулярными линиями. И наоборот, если $M$ равно или больше 200, то эксперимент Бюффона соответственно одинаково или менее эффективен. Пусть $q$ будет оценкой исходного эксперимента Бюффона. Затем,

{\hat {q}}={\frac {1}{M}}\sum _{m=1}^{M}x_{m}

и

\operatorname {Var} ({\hat {q}})={\frac {1}{M^{2}}}(M)\operatorname {Var} (x_{m})={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\approx {\frac {0.217}{M}}

Решение для $M$ ,

{\frac {0.217}{M}}=0.000\,976\implies M\approx 222.

Таким образом, для того чтобы иметь ту же уверенность, что и 100 капель в случае Лапласа, требуется 222 капли только с параллельными линиями. На самом деле это неудивительно, учитывая наблюдение, что $Cov(x n, y n) < 0$ . Поскольку $x n$ и $y n$ являются отрицательно коррелированными случайными величинами, они уменьшают общую дисперсию оценки, которая является средним значением двух из них. Этот метод уменьшения дисперсии известен как метод антитетических вариаций .

См. также

Парадокс Бертрана (вероятность)

Ссылки

^ История акад. Рой. принадлежащий. Наука (1733), 43–45; Естественная, всеобщая и частная история Приложение 4 (1777), с. 46.
^ Сенета, Евгений ; Паршалл, Карен Хангер; Йонгманс, Франсуа (2001). «Развитие геометрической вероятности в девятнадцатом веке: Дж. Дж. Сильвестр, М. В. Крофтон, Ж.-Э. Барбье и Ж. Бертран» . Архив истории точных наук . 55 (6): 501–524. дои : 10.1007/s004070100038 . ISSN 0003-9519 . JSTOR 41134124 . S2CID 124429237 .
^ Берендс, Эрхард. «Бюффон: Он палками бросал или нет?» (PDF) . Проверено 14 марта 2015 г.
^ Формулировка задачи здесь позволяет избежать необходимости работать с регулярными условными плотностями вероятности .
^ Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2013). Доказательства из КНИГИ (2-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 189–192.
^ Лаццарини, М. (1901). «Применение теории вероятностей к экспериментальному исследованию $π$ » числа $приближения$ . Периодический журнал по математике для среднего образования (на итальянском языке). 4 : 140–143.
^ Jump up to: ^а ^б Ли Бэджер, Лаццарини $«Удачное приближение числа π$ » , Mathematics Magazine 67, 1994, 83–91.
↑ Ханс ван Маанен, 'Палка Лазарини' (Палка Лазарини) , «Скипетр» 31.3, 2018.
^ Ю. В. Успенский, «Введение в математическую вероятность» , 1937, 255.
^ Э. Ф. Шустер, Эксперимент Бюффона с иглой , The American Mathematical Monthly, 1974, 29-29.

Библиография

Бэджер, Ли (апрель 1994 г.). Лазарини $«Удачное приближение числа π$ ». Журнал «Математика» . 67 (2). Математическая ассоциация Америки: 83–91. дои : 10.2307/2690682 . JSTOR 2690682 .
Рамали, Дж. Ф. (октябрь 1969 г.). «Задача Бюффона о лапше». Американский математический ежемесячник . 76 (8). Математическая ассоциация Америки: 916–918. дои : 10.2307/2317945 . JSTOR 2317945 .
Матай, AM (1999). Введение в геометрическую вероятность . Ньюарк: Гордон и Брич. п. 5. ISBN 978-90-5699-681-9 .
Делл, Закари; Франклин, Скотт В. (сентябрь 2009 г.). «Проблема иглы Бюффона-Лапласа в трех измерениях». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2009 (9): 010. Бибкод : 2009JSMTE..09..010D . дои : 10.1088/1742-5468/2009/09/P09010 . S2CID 32470555 .
Шредер, Л. (1974). «Проблема иглы Бюффона: захватывающее применение многих математических концепций». Учитель математики , 67 (2), 183–6.
Успенский, Джеймс Виктор. «Введение в математическую вероятность». (1937).

Внешние ссылки

Проблема с иглой Бюффона при разрезании узла
Математические сюрпризы: лапша Буффона в самом разгаре
MSTE: Игла Бюффона
Java-апплет «Игла Буффона»
Оценка визуализации PI (Flash)
Игла Бюффона: веселье и основы (презентация) на слайдшере
Анимации для моделирования иглы Бюффона, выполненные Ихуэй Се с использованием R. пакета анимации
3D-физическая анимация Джеффри Вентреллы
Падилья, Тони. «Пи Пи и игла Бюффона» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 17 мая 2013 г. Проверено 9 апреля 2013 г.

[1] История акад. Рой. принадлежащий. Наука (1733), 43–45; Естественная, всеобщая и частная история Приложение 4 (1777), с. 46.

[2] Сенета, Евгений ; Паршалл, Карен Хангер; Йонгманс, Франсуа (2001). «Развитие геометрической вероятности в девятнадцатом веке: Дж. Дж. Сильвестр, М. В. Крофтон, Ж.-Э. Барбье и Ж. Бертран» . Архив истории точных наук . 55 (6): 501–524. дои : 10.1007/s004070100038 . ISSN 0003-9519 . JSTOR 41134124 . S2CID 124429237 .

[3] Берендс, Эрхард. «Бюффон: Он палками бросал или нет?» (PDF) . Проверено 14 марта 2015 г.

[4] Формулировка задачи здесь позволяет избежать необходимости работать с регулярными условными плотностями вероятности .

[5] Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2013). Доказательства из КНИГИ (2-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 189–192.

[6] Лаццарини, М. (1901). «Применение теории вероятностей к экспериментальному исследованию $π$ » числа $приближения$ . Периодический журнал по математике для среднего образования (на итальянском языке). 4 : 140–143.

[Badger1994-7] Jump up to: ^а ^б Ли Бэджер, Лаццарини $«Удачное приближение числа π$ » , Mathematics Magazine 67, 1994, 83–91.

[vMaanen2018-8] Ханс ван Маанен, 'Палка Лазарини' (Палка Лазарини) , «Скипетр» 31.3, 2018.

[Uspensky-9] Ю. В. Успенский, «Введение в математическую вероятность» , 1937, 255.

[estimatorComp-10] Э. Ф. Шустер, Эксперимент Бюффона с иглой , The American Mathematical Monthly, 1974, 29-29.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]