Основы математики

О книге Гильберта и Бернейса см. Grundlagen der Mathematik .

Основы математики — это логико - математическая основа, позволяющая развивать математику, не порождая внутренне противоречивых теорий , и, в частности, иметь надежные представления о теоремах , доказательствах , алгоритмах и т. д. Сюда можно отнести также философское исследование связи этого рамки с реальностью .

Термин «основания математики» был придуман не раньше конца XIX века. Однако впервые они были установлены древнегреческими философами под названием и логики Аристотеля » систематически применены в Евклида « Началах . Короче говоря, математическое утверждение считается истиной только в том случае, если оно является теоремой , которая доказывается на основе истинных посылок посредством последовательности силлогизмов ( правил вывода ), причем предпосылками являются либо уже доказанные теоремы, либо самоочевидные утверждения, называемые аксиомами или постулатами. .

Эти основы казались окончательным достижением до 17 века и введения исчисления бесконечно малых Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем . Эта новая область математики включала в себя новые методы рассуждений и новые базовые понятия ( непрерывные функции , производные , пределы можно вывести ), которые не были хорошо обоснованы, но имели удивительные последствия, такие как тот факт, что из закона гравитации Ньютона что орбиты , планеты представляют собой эллипсы .

В XIX веке несколько математиков работали над разработкой точных определений основных понятий исчисления бесконечно малых, включая определения натуральных и действительных чисел. Это привело ближе к концу XIX века к серии парадоксальных математических результатов, которые поставили под сомнение общую уверенность в надежности и истинности математических результатов. Это было названо фундаментальным кризисом математики .

Разрешение этого кризиса повлекло за собой появление новой математической дисциплины, называемой математической логикой , которая включает в себя теорию множеств , теорию моделей , теорию доказательств , теорию вычислимости и вычислительной сложности , а в последнее время и несколько разделов информатики . В течение 20-го века открытия, сделанные в этой области, стабилизировали основы математики в последовательную структуру, действительную для всей математики, которая основана на ZFC , теории множеств Цермело - Френкеля с аксиомой выбора , и на систематическом использовании аксиоматических метод .

В результате основные математические понятия, такие как числа , точки , линии и геометрические пространства, больше не определяются как абстракции от реальности; они определяются только своими основными свойствами ( аксиомами ). Их соответствие их физическому происхождению уже не принадлежит математике, хотя их связь с физической реальностью все еще используется математиками для выбора аксиом, для того, чтобы найти, какие теоремы интересно доказать, и для получения указаний на возможные доказательства; Короче говоря, связь с реальностью используется для руководства математической интуицией .

Древняя Греция

Дополнительная информация: греческая математика и греческая философия.

Большинство цивилизаций разработали некоторую математику, в основном для практических целей, таких как счет (торговцы), геодезия (делимитация полей), просодия , астрономия и астрология . Похоже, что древнегреческие философы были первыми, кто изучил природу математики и ее связь с реальным миром.

Зенон Элейский (490 – ок. 430 до н.э.) привел несколько парадоксов, которые он использовал в поддержку своего тезиса о том, что движения не существует. Эти парадоксы связаны с математической бесконечностью — концепцией, которая находилась за пределами математических основ того времени и не была хорошо понята до конца XIX века.

Пифагорейская школа математики первоначально настаивала на том, что только числа являются натуральными числами и отношениями натуральных чисел. Открытие (около V века до н.э.) того, что отношение диагонали квадрата к его стороне не является отношением двух натуральных чисел, было для них шоком, который они приняли лишь неохотно. Свидетельством этого является современная терминология иррационального числа для обозначения числа, которое не является частным двух целых чисел, поскольку «иррациональное» изначально означает «неразумное» или «недоступное разуму».

Тот факт, что отношения длин не представлены рациональными числами, был решен Евдоксом Книдским (408–355 до н. э.), учеником Платона , который свел сравнение двух иррациональных отношений к сравнению целых кратных соответствующих величин. Его метод предвосхитил метод Дедекинда в современном определении действительных чисел Ричардом Дедекиндом (1831–1916); см. Евдокс Книдский § Пропорции Евдокса .

В «Апостериорной аналитике» Аристотель ( 384–322 до н.э.) изложил логику организации области знания с помощью примитивных понятий, аксиом, постулатов, определений и теорем. Для этого Аристотель взял большую часть своих примеров из арифметики и геометрии, и его логика на протяжении веков служила основой математики. Этот метод напоминает современный аксиоматический метод с большим философским отличием: аксиомы и постулаты должны были быть истинными, будучи либо самоочевидными, либо вытекающими из экспериментов , в то время как в аксиоматическом методе не задействована никакая иная истина, кроме правильности доказательства. Так, для Аристотеля доказанная теорема истинна, тогда как в аксиоматических методах доказательство говорит лишь о том, что из аксиом следует утверждение теоремы.

Логика Аристотеля достигла своей высшей точки в Евклида « Началах» (300 г. до н.э.), трактате по математике, структурированном с очень высокими стандартами строгости: Евклид обосновывает каждое предложение демонстрацией в форме цепочек силлогизмов ( хотя они не всегда строго соответствуют к аристотелевским шаблонам). Аристотеля Силлогистическая логика вместе с ее примером в «Началах» Евклида признана научными достижениями Древней Греции и оставалась основой математики на протяжении веков.

До исчисления бесконечно малых

В средние века Евклида «Начала» служили совершенно прочной основой математики, а философия математики сосредоточивалась на онтологическом статусе математических концепций; вопрос заключался в том, существуют ли они независимо от восприятия ( реализм ) или только в уме ( концептуализм ); или даже являются ли они просто названиями совокупности отдельных объектов ( номинализм ).

В Elements учитываются только натуральные числа и отношения длин. Этот геометрический взгляд на нецелые числа оставался доминирующим до конца Средневековья, хотя развитие алгебры привело к тому, что их стали рассматривать независимо от геометрии, что неявно подразумевает наличие основополагающих примитивов математики. Например, преобразования уравнений, введенные Аль-Хорезми , а также формулы кубической и четвертой степени , открытые в XVI веке, являются результатом алгебраических манипуляций, не имеющих геометрического аналога.

Тем не менее, это не бросило вызов классическим основам математики, поскольку все использованные свойства чисел можно вывести из их геометрического определения.

В 1637 году Рене Декарт опубликовал «Геометрию» , в которой показал, что геометрию можно свести к алгебре с помощью координат , которые представляют собой числа, определяющие положение точки. Это придает более основополагающую роль числам, которые он называл действительными числами (до него числа определялись как отношение двух длин). Книга Декарта стала знаменитой после 1649 года и проложила путь к исчислению бесконечно малых .

Исчисление бесконечно малых

Исаак Ньютон (1642–1727) в Англии и Лейбниц (1646–1716) в Германии независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых для работы с подвижными точками (например, планетами на небе) и переменными величинами.

Это потребовало введения новых понятий, таких как непрерывные функции , производные и пределы . Чтобы логически разобраться с этими понятиями, они были определены в терминах бесконечно малых чисел , которые представляют собой гипотетические числа, бесконечно близкие к нулю. Сильное влияние исчисления бесконечно малых на основы математики иллюстрируется брошюрой протестантского философа Джорджа Беркли (1685–1753), который писал: «[Бесконечно малые] не являются ни конечными величинами, ни бесконечно малыми величинами, ни даже ничем. Можем ли мы не называть их призраками ушедших величин?».

Кроме того, часто упоминалось об отсутствии строгости, поскольку бесконечно малые величины и связанные с ними понятия не были формально определены ( линии и плоскости также не были формально определены, но люди к ним более привыкли). Действительные числа, непрерывные функции, производные не были формально определены до 19 века, как и евклидова геометрия . Лишь в 20 веке было дано формальное определение бесконечно малых величин с доказательством того, что из них можно вывести всю бесконечно малую величину.

Несмотря на отсутствие прочной логической основы, исчисление бесконечно малых было быстро принято математиками и подтверждено его многочисленными приложениями; в частности тот факт, что траектории планет можно вывести из закона гравитации Ньютона .

19 век

В XIX веке математика быстро развивалась во многих направлениях. Некоторые из рассмотренных проблем привели к вопросам об основах математики. Часто предлагаемые решения приводили к дальнейшим вопросам, которые часто носили одновременно философский и математический характер. Все эти вопросы привели в конце 19-го и начале 20-го веков к дебатам, которые были названы фундаментальным кризисом математики . В следующих подразделах описываются основные такие фундаментальные проблемы, выявленные в XIX веке.

Реальный

Смотрите также: Математический анализ § История

Коши (1789–1857) начал проект создания строгих оснований для исчисления бесконечно малых . В частности, он отверг эвристический принцип, который он назвал общностью алгебры , который заключался в применении свойств алгебраических операций к бесконечным последовательностям без надлежащих доказательств. В своем « Курсе анализа» (1821) он рассматривает очень малые количества , которые в настоящее время можно было бы назвать «достаточно малыми количествами»; то есть предложение типа «если x очень мало , то...» следует понимать как «существует (достаточно большое) натуральное число n такое, что | x | < 1/ n ». В доказательствах он использует это способом, который предшествует современному (ε, δ)-определению предела .

Современное (ε, δ)-определение пределов и непрерывных функций было впервые разработано Больцано в 1817 году, но оставалось относительно неизвестным, и Коши, вероятно, знал работы Больцано.

Карл Вейерштрасс (1815–1897) формализовал и популяризировал (ε, δ)-определение пределов и открыл некоторые патологические функции, которые в то время казались парадоксальными, например, непрерывные, нигде не дифференцируемые функции . Действительно, такие функции противоречат предыдущим представлениям о функции как правиле вычислений или гладком графике.

На этом этапе программа арифметизации анализа (сведения математического анализа к арифметическим и алгебраическим операциям), отстаиваемая Вейерштрассом, была в основном завершена, за исключением двух пунктов.

Во-первых, формальное определение действительных чисел все еще отсутствовало. Действительно, начиная с Рихарда Дедекинда в 1858 году, несколько математиков работали над определением действительных чисел, в том числе Герман Ханкель , Шарль Мерей и Эдуард Гейне , но только в 1872 году были опубликованы два независимых полных определения действительных чисел: одно Дедекинд с помощью дедекиндовых разрезов ; другой — Георгом Кантором как классы эквивалентности последовательностей Коши .

Эти определения оставили открытыми несколько проблем, что способствовало фундаментальному кризису математики . Во-первых, оба определения предполагают, что рациональные числа и, следовательно, натуральные числа строго определены; это было сделано несколько лет спустя с помощью аксиом Пеано . Во-вторых, оба определения включают бесконечные множества (дедекиндовы разрезы и множества элементов последовательности Коши), а теория множеств Кантора была опубликована несколькими годами позже.

Третья проблема более тонкая и связана с основами логики: классическая логика — это логика первого порядка ; то есть кванторы применяются к переменным, представляющим отдельные элементы, а не к переменным, представляющим (бесконечные) наборы элементов. Основное свойство полноты действительных чисел , необходимое для определения и использования действительных чисел, включает количественную оценку бесконечных множеств. Действительно, это свойство может быть выражено либо как для каждой бесконечной последовательности действительных чисел, если это последовательность Коши , она имеет предел, являющийся действительным числом , либо как подмножество действительных чисел каждое ограниченное имеет наименьшую верхнюю границу. это реальное число . Эта потребность в количественной оценке бесконечных множеств является одной из мотиваций развития логики высшего порядка в первой половине 20-го века.

Неевклидовы геометрии

Смотрите также: Неевклидова геометрия § История

До XIX века было много неудачных попыток вывести постулат о параллельности из других аксиом геометрии. Пытаясь доказать, что ее отрицание приводит к противоречию, Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) начал строить гиперболическую геометрию , ввел гиперболические функции и вычислил площадь гиперболического треугольника (где сумма углов меньше 180°). ).

Продолжая построение этой новой геометрии, несколько математиков независимо друг от друга доказали, что если она противоречива , то евклидова геометрия также противоречива и, следовательно, постулат о параллельности не может быть доказан. Это доказали Николай Лобачевский в 1826 году, Янош Бойяи (1802–1860) в 1832 году и Карл Фридрих Гаусс (не опубликовано).

Позже, в 19 веке, немецкий математик Бернхард Риман разработал эллиптическую геометрию , еще одну неевклидову геометрию , в которой невозможно найти параллели, а сумма углов в треугольнике превышает 180°. Это было доказано путем определения точек как пар противоположных точек на сфере (или гиперсфере ), а линий как больших кругов на сфере.

Эти доказательства недоказуемости постулата о параллельности приводят к нескольким философским проблемам, главная из которых состоит в том, что до этого открытия постулат о параллельности и все его следствия считались истинными . Итак, неевклидовы геометрии бросили вызов понятию математической истины .

аналитическая

С момента появления аналитической геометрии Рене Декартом в 17 веке существовало два подхода к геометрии: старый, называемый синтетической геометрией , и новый, где все определяется в терминах действительных чисел, называемых координатами . С другой стороны, в классической синтетической геометрии числа определяются как отношения расстояний или, что то же самое, как расстояния, измеряемые в единицах фиксированной длины.

Математики не особо беспокоились по поводу этого кругового определения до середины девятнадцатого века, когда существовал «жесткий спор между сторонниками синтетических и аналитических методов в проективной геометрии , причем обе стороны обвиняли друг друга в смешении проективных и метрических концепций». нет понятия расстояния Действительно, в проективном пространстве , а перекрестное отношение , которое является числом, является основным понятием синтетической проективной геометрии.

Карл фон Штаудт разработал чисто геометрический подход к этой проблеме, введя «броски», образующие то, что сейчас называется полем , в котором может быть выражено перекрестное отношение.

По-видимому, проблема эквивалентности аналитического и синтетического подходов была полностью решена только с Эмиля Артина выходом в свет в 1957 году книги «Геометрическая алгебра» . Было хорошо известно, что по полю k можно определить аффинные и проективные пространства над k в терминах k - пространств векторных . В этих пространствах справедлива теорема Паппуса о шестиугольнике . И наоборот, если теорема Паппуса о шестиугольнике включена в аксиомы плоской геометрии, то можно определить поле k такое, что геометрия такая же, как аффинная или проективная геометрия над k .

Натуральные числа

Основная статья: арифметика Пеано

Работа по проведению строгого реального анализа и определению действительных чисел заключалась в сведении всего к рациональным числам и, следовательно, к натуральным числам , поскольку положительные рациональные числа являются дробями натуральных чисел. Поэтому возникла необходимость в формальном определении натуральных чисел, которое подразумевало бы в качестве теорию арифметики аксиомы . Это началось с Чарльза Сандерса Пирса в 1881 году и Ричарда Дедекинда в 1888 году, которые определили натуральные числа как мощность конечного множества . . Однако здесь задействована теория множеств , которая в то время не была формализована.

Джузеппе Пеано в 1888 году представил полную аксиоматизацию, основанную на порядковом свойстве натуральных чисел. Последняя аксиома Пеано — единственная, вызывающая логические трудности, поскольку она начинается либо со слов «если S — множество, то» или «если $\varphi$ тогда является предикатом ». Итак, аксиомы Пеано вызывают количественную оценку бесконечных множеств, а это означает, что арифметика Пеано - это то, что в настоящее время называется логикой второго порядка .

В то время это не было хорошо понято, но тот факт, что бесконечность присутствовала в определении натуральных чисел, был проблемой для многих математиков того времени. Например, Анри Пуанкаре заявил, что аксиомы можно продемонстрировать только в их конечном применении, и пришел к выводу, что именно «сила разума» позволяет представить себе бесконечное повторение одного и того же действия. Это, в частности, относится к использованию последней аксиомы Пеано для демонстрации того, что функция-преемник порождает все натуральные числа. Кроме того, Леопольд Кронекер сказал: «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека». Это можно интерпретировать как «целые числа не могут быть определены математически».

Бесконечные множества

До второй половины XIX века бесконечность была философским понятием, не принадлежащим математике. Однако с появлением исчисления бесконечно малых математики стали привыкать к бесконечности, главным образом через потенциальную бесконечность , то есть как результат бесконечного процесса, такого как определение бесконечной последовательности , бесконечного ряда или предела . Возможность актуальной бесконечности была предметом многих философских споров.

Множества и, особенно, бесконечные множества не рассматривались как математическое понятие; в частности, для них не было фиксированного срока. Разительные перемены произошли с работой Георга Кантора , который был первым математиком, систематически изучавшим бесконечные множества. В частности, он ввёл кардинальные числа , измеряющие размер бесконечных множеств, и порядковые числа , которые, грубо говоря, позволяют продолжать счёт после достижения бесконечности. Одним из его главных результатов является открытие того, что действительных чисел строго больше, чем натуральных чисел (кардинал континуума действительных чисел больше, чем у натуральных чисел).

Эти результаты были отвергнуты многими математиками и философами и привели к дебатам, которые являются частью фундаментального кризиса математики .

Кризис усугубился парадоксом Рассела , который утверждает, что фраза «множество всех множеств» противоречит сама себе. Это противоречие вызвало сомнение в непротиворечивости всей математики.

С появлением теории множеств Цермело-Френкеля ( около 1925 г. ) и ее принятием математическим сообществом сомнения в непротиворечивости были по существу устранены, хотя непротиворечивость теории множеств не может быть доказана из-за теоремы Гёделя о неполноте .

Математическая логика

Попытки формального рассмотрения математики начались с Лейбница и Ламберта (1728–1777) и продолжились работами алгебраистов, таких как Джордж Пикок (1791–1858). Систематическая математическая обработка логики пришла с британским математиком Джорджем Булем (1847), который разработал алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1, а также логические комбинации (конъюнкция, дизъюнкция, импликация и отрицание). ) — операции, аналогичные сложению и умножению целых чисел. Кроме того, Де Морган опубликовал свои законы в 1847 году. Таким образом, логика стала разделом математики. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в информатике .

Чарльз Сандерс Пирс опирался на работу Буля по разработке логической системы отношений и кванторов , которую он опубликовал в нескольких статьях с 1870 по 1885 год.

Немецкий математик Готтлоб Фреге (1848–1925) представил независимое развитие логики с помощью кванторов в своей книге Begriffsschrift (язык формул), опубликованной в 1879 году, работе, которую обычно считают поворотным моментом в истории логики. » Аристотеля Он выявил недостатки « Логики и указал на три ожидаемых свойства математической теории.

1. Последовательность : невозможность доказать противоречивые утверждения.
2. Полнота : любое утверждение либо доказуемо, либо опровержимо (т.е. его отрицание доказуемо).
3. Разрешимость : существует процедура принятия решения для проверки любого утверждения теории.

Затем он показал в Grundgesetze der Arithmetik («Основные законы арифметики»), как арифметика может быть формализована в его новой логике.

Работы Фреге были популяризированы Бертраном Расселом на рубеже веков. Но двумерная система обозначений Фреге успеха не имела. Популярными обозначениями были (x) для универсальных и (∃x) для кванторов существования, пришедшие от Джузеппе Пеано и Уильяма Эрнеста Джонсона до тех пор, пока символ ∀ не был введен Герхардом Генценом в 1935 году и не стал каноническим в 1960-х годах.

С 1890 по 1905 год Эрнст Шредер опубликовал «Vorlesungen über die Algebra der Logik» в трёх томах. Эта работа обобщила и расширила работы Буля, Де Моргана и Пирса и представляла собой всеобъемлющую ссылку на символическую логику , как ее понимали в конце XIX века.

Фундаментальный

Фундаментальный кризис математики возникла в конце 19-го и начале 20-го веков с открытием нескольких парадоксов или противоречивых результатов.

Первым было доказательство того, что постулат о параллельности не может быть доказан. Это является результатом построения неевклидовой геометрии внутри евклидовой геометрии , несогласованность которой подразумевала бы несогласованность евклидовой геометрии. Хорошо известным парадоксом является парадокс Рассела , который показывает, что фраза «множество всех множеств, которые не содержат самих себя» противоречит самому себе. Другими философскими проблемами были доказательство существования математических объектов , которые невозможно вычислить или явно описать, а также доказательство существования арифметических теорем , которые невозможно доказать с помощью арифметики Пеано .

Несколько школ философии математики столкнулись с этими проблемами в 20 веке, и они описаны ниже.

Эти проблемы также изучались математиками, и это привело к созданию математической логики как новой области математики, состоящей из предоставления математических определений логике (наборов правил вывода ), математических и логических теорий, теорем и доказательств, а также использования математических определений. методы доказательства теорем об этих понятиях.

Это привело к неожиданным результатам, таким как теоремы Гёделя о неполноте , которые, грубо говоря, утверждают, что, если теория содержит стандартную арифметику, ее нельзя использовать для доказательства того, что она сама по себе не противоречива ; и, если это не противоречит самому себе, существуют теоремы, которые невозможно доказать внутри теории, но, тем не менее, они верны в некотором техническом смысле.

Теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) — логическая теория, созданная Эрнстом Цермело и Абрахамом Френкелем . Он стал стандартной основой современной математики, и, если явно не указано иное, он используется во всех современных математических текстах, как правило, неявно.

Одновременно аксиоматический метод стал стандартом де-факто: доказательство теоремы должно быть результатом явных аксиом и ранее доказанных теорем путем применения четко определенных правил вывода. Аксиомы не обязательно должны соответствовать какой-то реальности. Тем не менее, это открытая философская проблема, объясняющая, почему системы аксиом, которые приводят к богатым и полезным теориям, возникают в результате абстракции от физической реальности или другой математической теории.

Таким образом, фундаментальный кризис по существу разрешен, и это открывает новые философские проблемы. В частности, невозможно доказать, что новый фонд (ZFC) не противоречит самому себе. По общему мнению, если это произойдет, проблему можно будет решить путем легкой модификации ZFC.

Философские взгляды

Основная статья: Философия математики

Когда возник фундаментальный кризис, среди математиков и логиков было много споров о том, что следует сделать для восстановления доверия к математике. Это включало философские вопросы о математической истине , взаимосвязи математики с реальностью , реальности математических объектов и природе математики.

В проблеме оснований существовало два основных варианта, позволяющих избежать парадоксов. Первый привел к интуиционизму и конструктивизму и заключался в ограничении логических правил, чтобы оставаться ближе к интуиции, тогда как второй, получивший название формализм , считает, что теорема истинна, если ее можно вывести из аксиом путем применения правил вывода ( формальное доказательство ), и что для справедливости теоремы не требуется никакой «истинности» аксиом.

Формализм

Основная статья: Формализм (математика)

Это было заявлено что формалисты, такие как Дэвид Гильберт (1862–1943), считают, что математика — это всего лишь язык и серия игр. Гильберт настаивал на том, что формализм, названный им «игрой с формулами», является фундаментальной частью математики, но математику нельзя сводить к формализму. Действительно, он использовал слова «игра по формулам» в своем ответе 1927 года на Л. Дж. Брауэра критику :

И в какой степени стала успешной формульная игра? Эта формульная игра дает возможность единообразно выразить все мыслительное содержание математической науки и развить ее так, чтобы в то же время стали ясны взаимосвязи между отдельными положениями и фактами... Формула Игра, которую так осуждает Брауэр, имеет, помимо своей математической ценности, важное общефилософское значение. Ибо по этой формуле игра осуществляется по некоторым определенным правилам, в которых техника нашего мышления выражается . Эти правила образуют закрытую систему, которую можно обнаружить и окончательно сформулировать.

Таким образом, Гильберт настаивает на том, что математика — это не произвольная игра с произвольными правилами; скорее, оно должно согласовываться с тем, как протекает наше мышление, а затем и наша речь и письмо.

Мы не говорим здесь о произволе ни в каком смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только так и ни в коем случае не иначе.

Основополагающая философия формализма, примером которой является Дэвид Гильберт , является ответом на парадоксы теории множеств и основана на формальной логике . Практически все математические теоремы сегодня можно сформулировать как теоремы теории множеств. С этой точки зрения истинность математического утверждения определяется тем фактом, что это утверждение можно вывести из аксиом теории множеств с использованием правил формальной логики.

Простое использование формализма не объясняет несколько вопросов: почему мы должны использовать те аксиомы, которые мы используем, а не некоторые другие, почему мы должны использовать те логические правила, которые мы используем, а не некоторые другие, почему «истинные» математические утверждения (например, законы арифметики ) кажутся истинными и так далее. Герман Вейль задал Гильберту именно такие вопросы:

Какая «истина» или объективность может быть приписана этой теоретической конструкции мира, которая выходит далеко за пределы данности, является глубокой философской проблемой. Он тесно связан с дальнейшим вопросом: что побуждает нас взять за основу именно ту систему аксиом, которую разработал Гильберт? Согласованность действительно является необходимым, но не достаточным условием. На этот вопрос мы, наверное, пока ответить не можем...

В некоторых случаях на эти вопросы можно получить исчерпывающие ответы посредством изучения формальных теорий в таких дисциплинах, как обратная математика и теория сложности вычислений . Как заметил Вейль, формальные логические системы также подвержены риску противоречивости ; в арифметике Пеано это, возможно, уже было решено с помощью нескольких доказательств непротиворечивости , но ведутся споры о том, являются ли они достаточно финитными, чтобы иметь смысл. Вторая теорема Гёделя о неполноте устанавливает, что логические системы арифметики никогда не могут содержать достоверного доказательства своей собственной непротиворечивости . Гильберт хотел доказать логической системы S непротиворечивость , основанной на принципах P которые составляли лишь небольшую часть S. , Но Гёдель доказал, что принципы P не могут доказать даже P непротиворечивость не говоря уже о S. ,

Интуиционизм

Основные статьи: Интуиционизм и конструктивизм (математика)

Интуиционисты, такие как Л. Дж. Брауэр (1882–1966), считают, что математика является творением человеческого разума. Числа, как и сказочные персонажи, — всего лишь мысленные сущности, которых не было бы, если бы о них не думал человеческий разум.

Основополагающая философия интуиционизма или конструктивизма , в крайних проявлениях Брауэра и Стивена Клини , требует, чтобы доказательства были «конструктивными» по своей природе – существование объекта должно быть продемонстрировано, а не выведено из демонстрации невозможности его не-существования. существование. Например, вследствие этого подозрительной является форма доказательства, известная как доведение до абсурда .

Некоторые современные теории философии математики отрицают существование оснований в первоначальном смысле. Некоторые теории, как правило, сосредотачиваются на математической практике и стремятся описать и проанализировать реальную работу математиков как социальной группы . Другие пытаются создать когнитивную науку о математике , сосредоточив внимание на человеческом познании как источнике надежности математики применительно к реальному миру. Эти теории предлагали найти основу только в человеческом мышлении, а не в какой-либо объективной внешней конструкции. Вопрос остается спорным.

Логизм

Основная статья: Логицизм

Логицизм — это школа мысли и исследовательская программа в философии математики, основанная на тезисе о том, что математика является расширением логики или что некоторая или вся математика может быть выведена в подходящей формальной системе, аксиомы и правила вывода которой логичный» по своей природе. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту теорию, инициированную Готтлобом Фреге и под влиянием Ричарда Дедекинда .

Теоретико

Основная статья: Теоретико-множественный платонизм

Многие исследователи аксиоматической теории множеств присоединились к так называемому теоретико-множественному платонизму , примером которого является Курт Гёдель .

Несколько теоретиков множеств следовали этому подходу и активно искали аксиомы, которые можно было бы считать истинными по эвристическим причинам и которые могли бы решить гипотезу континуума . Было изучено множество больших кардинальных аксиом, но гипотеза всегда оставалась независимой от них, и сейчас считается маловероятным, что CH можно разрешить с помощью новой большой кардинальной аксиомы. Рассматривались и другие типы аксиом, но ни одна из них пока не достигла консенсуса по гипотезе континуума. Недавняя работа Хэмкинса предлагает более гибкую альтернативу: теоретико- множественную мультивселенную , позволяющую свободный переход между теоретико-множественными вселенными, удовлетворяющими гипотезе континуума, и другими вселенными, которые этого не делают.

незаменимости

Основная статья: Аргумент незаменимости Куайна-Патнэма

Этот аргумент Уилларда Куайна и Хилари Патнэма гласит (короткими словами Патнэма):

... количественная оценка математических объектов необходима для науки ... поэтому мы должны принять такую ​​количественную оценку; но это обязывает нас признать существование рассматриваемых математических объектов.

Однако Патнэм не был платоником.

Грубый реализм

Лишь немногие математики обычно в повседневной работе озабочены логицизмом, формализмом или любой другой философской позицией. Вместо этого их главная забота состоит в том, чтобы математическое предприятие в целом всегда оставалось продуктивным. Обычно они считают, что этого можно добиться, если оставаться непредубежденным, практичным и занятым; как потенциально угрожает стать чрезмерно идеологизированным, фанатично редукционистским или ленивым.

Подобную точку зрения высказывали и некоторые известные физики.

Например, лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман сказал:

Люди говорят мне: «Вы ищете окончательные законы физики?» Нет, я не... Если окажется, что существует простой окончательный закон, объясняющий все, пусть будет так – было бы очень приятно его обнаружить. Если получится, что это как луковица с миллионами слоев... значит, так оно и есть. Но в любом случае есть Природа, и она выйдет такой, какая Она есть. Поэтому, когда мы приступаем к исследованию, нам не следует заранее решать, что именно мы ищем, только для того, чтобы узнать об этом больше.

И Стивен Вайнберг :

Прозрения философов иногда приносили пользу физикам, но в основном в отрицательной форме – защищая их от предубеждений других философов. ... без какого-либо руководства со стороны наших предубеждений мы вообще ничего не могли бы сделать. Просто философские принципы обычно не дают нам правильных предубеждений.

Вайнберг считал, что любая неразрешимость в математике, такая как гипотеза континуума, потенциально может быть решена, несмотря на теорему о неполноте, путем нахождения подходящих дополнительных аксиом для добавления к теории множеств.

Гёделя

Основная статья: теорема Гёделя о полноте

Теорема Гёделя о полноте устанавливает в логике первого порядка эквивалентность формальной доказуемости формулы и ее истинности во всех возможных моделях. Именно, для любой непротиворечивой теории первого порядка она дает «явную конструкцию» модели, описываемой этой теорией; эта модель будет счетной, если счетен язык теории. Однако эта «явная конструкция» не является алгоритмической. Он основан на итеративном процессе завершения теории, где каждый шаг итерации состоит в добавлении формулы к аксиомам, если это обеспечивает непротиворечивость теории; но этот вопрос о непротиворечивости разрешим лишь наполовину (существует алгоритм, позволяющий найти любое противоречие, но если его нет, этот факт непротиворечивости может оставаться недоказуемым).

Еще парадоксы

См. Также: Список утверждений, независимых от ZFC, и Список парадоксов.

Ниже перечислены некоторые примечательные результаты в метаматематике. Теория множеств Цермело–Френкеля является наиболее широко изученной аксиоматизацией теории множеств. Сокращенно ZFC, если включает аксиому выбора, и ZF, если аксиома выбора исключена.

• 1920: Торальф Скулем исправил доказательство Леопольда Левенхайма того, что сейчас называется нисходящей теоремой Левенхайма-Скулема , что привело к парадоксу Скулема, обсуждавшемуся в 1922 году, а именно к существованию счетных моделей ZF, что делает бесконечную мощность относительным свойством.
• 1922: Доказательство Абрахама Френкеля о том, что аксиому выбора нельзя доказать на основе аксиом теории множеств Цермело с ур-элементами .
• 1931: Публикация теорем Гёделя о неполноте , показывающая, что основные аспекты программы Гильберта не могут быть достигнуты. Он показал, как построить для любой достаточно мощной и непротиворечивой рекурсивно аксиоматизируемой системы – например, необходимой для аксиоматизации элементарной теории арифметики на (бесконечном) множестве натуральных чисел – утверждение, которое формально выражает свою собственную недоказуемость, что он затем доказал эквивалентным. к требованию непротиворечивости теории; так что (при условии, что непротиворечивость истинна) система недостаточно мощна для доказательства своей собственной непротиворечивости, не говоря уже о том, что более простая система могла бы выполнить эту работу. Таким образом, стало ясно, что понятие математической истины не может быть полностью определено и сведено к чисто формальной системе , как это предусматривалось в программе Гильберта. Это нанесло последний удар по самому сердцу программы Гильберта, надежде на то, что непротиворечивость может быть установлена ​​финитистскими средствами (никогда не было ясно, какие именно аксиомы являются «финитистскими», но о какой бы аксиоматической системе ни шла речь, это была «более слабая» система, чем та, непротиворечивость которой она должна была доказать).
• 1936: Альфред Тарский доказал свою теорему о неопределимости истины .
• 1936: Алан Тьюринг доказал, что общего алгоритма решения проблемы остановки для всех возможных пар программа-вход не может существовать.
• 1938: Гёдель доказал непротиворечивость аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума .
• 1936–1937: Алонсо Черч и Алан Тьюринг соответственно опубликовали независимые статьи, показывающие, что общее решение проблемы Entscheidungsproblem невозможно : универсальная достоверность утверждений в логике первого порядка неразрешима (она лишь полуразрешима, как это определено теорема о полноте ).
• 1955: Петр Новиков показал, что существует конечно представимая группа G такая, что проблема слов для G неразрешима.
• 1963: Пол Коэн показал, что гипотеза континуума недоказуема с помощью ZFC . Доказательство Коэна развило метод принуждения , который сейчас является важным инструментом для установления результатов независимости в теории множеств.
• 1964: Вдохновленный фундаментальной случайностью в физике, Грегори Чайтин начинает публиковать результаты по алгоритмической теории информации (измерение неполноты и случайности в математике).
• 1966: Пол Коэн показал, что аксиома выбора недоказуема в ZF даже без urelements .
• 1970: десятая проблема Гильберта Доказано, что неразрешима: не существует рекурсивного решения, позволяющего определить, имеет ли диофантово уравнение (полиномиальное уравнение со многими переменными) решение в целых числах.
• 1971: проблема Суслина независима от ZFC. Доказано, что

На пути к разрешению кризиса

Начиная с 1935 года группа французских математиков Бурбаки начала публиковать серию книг, призванных формализовать многие области математики на новом фундаменте теории множеств.

Интуиционистская школа не привлекала многих приверженцев, и только после конструктивная работы Бишопа в 1967 году математика стала на более прочную основу.

Можно считать, что программа Гильберта частично завершена , так что кризис по существу разрешен, удовлетворившись более низкими требованиями, чем первоначальные амбиции Гильберта. Его амбиции были выражены в то время, когда ничего не было ясно: не было ясно, может ли математика вообще иметь строгую основу.

Существует много возможных вариантов теории множеств, которые различаются по силе непротиворечивости, при этом более сильные версии (постулирующие высшие типы бесконечностей) содержат формальные доказательства непротиворечивости более слабых версий, но ни одна из них не содержит формального доказательства своей собственной непротиворечивости. Таким образом, единственное, чего у нас нет, — это формального доказательства непротиворечивости любой версии теории множеств, которую мы предпочитаем, такой как ZF.

На практике большинство математиков либо не работают с аксиоматическими системами, либо, если и работают, то не сомневаются в непротиворечивости ZFC , обычно предпочитаемой ими аксиоматической системы. В большинстве случаев математики, как она практикуется, неполнота и парадоксы лежащих в основе формальных теорий никогда не играли роли, а в тех областях, в которых они играют или попытки формализации которых сопряжены с риском формирования противоречивых теорий (таких как логика и категориальная теория), теории), к ним можно относиться осторожно.

Развитие теории категорий в середине 20-го века показало полезность теорий множеств, гарантирующих существование более крупных классов, чем ZFC, таких как теория множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя или теория множеств Тарского-Гротендика , хотя в очень многих В таких случаях использование больших кардинальных аксиом или вселенных Гротендика формально исключено.

Одна из целей программы обратной математики — определить, существуют ли области «основной математики», в которых фундаментальные проблемы могут снова спровоцировать кризис.

См. также

• Аристотелевская реалистическая философия математики
• Математическая логика
• Споры Брауэра и Гильберта
• Тезис Чёрча – Тьюринга
• Споры по поводу теории Кантора
• Эпистемология
• Элементы Евклида
• Проблемы Гильберта
• Реализация математики в теории множеств
• Парадокс лжеца
• Новые фонды
• Философия математики
• Принципы математики
• Квазиэмпиризм в математике
• Математическая мысль Чарльза Пирса

Ссылки

• Авигад, Джереми (2003) Теория чисел и элементарная арифметика , Philosophia Mathematica Vol. 11, стр. 257–284.
• Ивс, Ховард (1990), «Основы и фундаментальные концепции математики, третье издание» , Dover Publications, INC, Минеола, штат Нью-Йорк, ISBN   0-486-69609-X (pbk.) см. §9.5 Философия математики, стр. 266–271. Ивс перечисляет все три с краткими описаниями, предваряемыми кратким вступлением.
• Гудман, Н.Д. (1979), « Математика как объективная наука », в Тимочко (редактор, 1986).
• Харт, У.Д. (ред., 1996), Философия математики , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
• Херш, Р. (1979), «Некоторые предложения по возрождению философии математики», в (Тимочко 1986).
• Гильберт, Д. (1922), «Возрождение математики. Первое сообщение», Документы Гамбургского математического семинара 1, 157–177. Переведено: «Новые основы математики. Первый отчет» (Mancosu 1998).
• Кац, Роберт (1964), Аксиоматический анализ , DC Heath and Company.
• Клини, Стивен К. (1991) [1952]. Введение в метаматематику (Десятое впечатление, 1991 г.). Амстердам, штат Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. компании ISBN  0-7204-2103-9 .

В главе III «Критика математического рассуждения», §11. Парадоксы , Клини обсуждает интуиционизм и формализм подробно . На протяжении оставшейся части книги он рассматривает и сравнивает как формалистическую (классическую), так и интуиционистскую логику, уделяя особое внимание первой. Выдающееся сочинение выдающегося математика.

• Манкосу, П. (ред., 1998), От Гильберта до Брауэра. Дебаты об основах математики в 1920-х годах , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
• Патнэм, Хилари (1967), «Математика без оснований», Журнал философии 64/1, 5–22. Перепечатано, стр. 168–184 в WD Hart (изд., 1996).
• - «Что такое математическая истина?», Тимочко (ред., 1986).
• Судак, Оливье (апрель 2001 г.). «Теорема о простых числах PRA-доказуема». Теоретическая информатика . 257 (1–2): 185–239. дои : 10.1016/S0304-3975(00)00116-X .
• Трульстра, А.С. (без даты, но позднее 1990 г.), «История конструктивизма в XX веке» , Подробный обзор для специалистов: §1 Введение, §2 Финитизм и §2.2 Актуализм, §3 Предикативизм и полуинтуиционизм, § 4 Брауэрианский интуиционизм, §5 Интуиционистская логика и арифметика, §6 Интуиционистский анализ и более сильные теории, §7 Конструктивная рекурсивная математика, §8 Конструктивизм Бишопа, §9 Заключительные замечания. Около 80 ссылок.
• Тимочко, Т. (1986), «Вызов фундаментам», в Тимочко (редактор, 1986).
• - (редактор, 1986 г.), Новые направления в философии математики , 1986 г. Пересмотренное издание, 1998 г.
• ван Дален Д. (2008), «Брауэр, Луицен Эгбертус Ян (1881–1966)», в Биографическом словаре Нидерландов. URL: http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [13 марта 2008 г.]
• Вейль, Х. (1921), «О новом фундаментальном кризисе математики», Mathematical Journal 10, 39–79. Переведено «О новом фундаментальном кризисе математики» (Mancosu 1998).
• Уайлдер, Раймонд Л. (1952), Введение в основы математики , Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с основами математики, на Викискладе?
• «Философия математики» . Интернет-энциклопедия философии .
• Логика и математика
• Основы математики: прошлое, настоящее и будущее , 31 мая 2000 г., 8 страниц.
• Век споров об основаниях математики Григория Хайтина.