Кардинальное назначение

В теории множеств концепция мощности может быть значительно развита без обращения к фактическому определению кардинальных чисел как объектов в самой теории (на самом деле это точка зрения Фреге ; кардиналы Фреге, по сути, являются классами эквивалентности во всей вселенной множеств . , по принципу равночисленности) ). Концепции развиваются путем определения равночисленности через функции и понятий взаимно-однозначности и на (инъективность и сюръективность); это дает нам квазиупорядочения отношение

$A\leq _{c}B\quad \iff \quad (\exists f)(f:A\to B\ \mathrm {is\ injective} )$

на всю вселенную по размеру. Это не настоящий частичный порядок , поскольку антисимметрия не обязательно должна соблюдаться: если оба $A\leq _{c}B$ и $B\leq _{c}A$ верно, , согласно теореме Кантора–Бернштейна–Шредера что $A=_{c}B$ т.е. A и B равнозначны, но они не обязательно должны быть буквально равны (см. изоморфизм ). Это хотя бы один из $A\leq _{c}B$ и $B\leq _{c}A$ оказывается эквивалентной аксиоме выбора .

Тем не менее, большинство интересных результатов о мощности и ее арифметике можно выразить просто с помощью = _c .

Цель кардинального присваивания — присвоить каждому множеству A конкретный уникальный набор , который зависит только от мощности A . Это соответствует первоначальному представлению Кантора о кардиналах: взять набор, абстрагировать его элементы в канонические «единицы» и собрать эти единицы в другой набор так, чтобы единственной особенностью этого набора был его размер. Они будут полностью упорядочены соотношением $\leq _{c}$, и = _c будет истинным равенством. Однако, как говорит Ю. Н. Мошовакис , это в основном упражнение в математической элегантности, и вы не получите многого, если у вас нет «аллергии на индексы». Однако существуют различные ценные применения «реальных» кардинальных чисел в различных моделях теории множеств.

В современной теории множеств мы обычно используем кардинальное присвоение Фон Неймана , которое использует теорию порядковых чисел и всю мощь аксиом выбора и замены . Кардинальным присваиваниям действительно нужна полная аксиома выбора, если мы хотим получить достойную кардинальную арифметику и присваивание для всех множеств.

Кардинальное присвоение без аксиомы выбора

Формально, предполагая выбранную аксиому, мощность множества X - это наименьший порядковый номер α, такой что существует взаимно однозначное соответствие между X и α . Это определение известно как кардинальное присвоение фон Неймана . Если аксиома выбора не предполагается, нам нужно сделать что-то другое. Самое старое определение мощности множества X (неявное у Кантора и явное у Фреге и Principia Mathematica ) — это множество всех множеств, которые равнозначны X : это не работает в ZFC или других родственных системах аксиоматической теории множеств , потому что эта коллекция слишком велика, чтобы быть набором, но она работает в теории типов , в новых основах и связанных с ними системах. Однако, если мы ограничимся этим классом до равночисленных с X объектов, имеющих наименьший ранг , то это сработает (это трюк, предложенный Даной Скотт : он работает, потому что коллекция объектов с любым заданным рангом представляет собой множество; см . обманывать ).

Ссылки

• Мошовакис, Яннис Н. Заметки по теории множеств . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1994.