Мартин мера

В дескриптивной теории множеств мера Мартина представляет собой фильтр на множестве степеней Тьюринга наборов натуральных чисел , названный в честь Дональда А. Мартина . Согласно аксиоме определенности можно показать, что это ультрафильтр .

Определение

Позволять $D$ — множество степеней Тьюринга множеств натуральных чисел. Учитывая некоторый класс эквивалентности $[X]\in D$, мы можем определить конус (или восходящий конус ) $[X]$ как набор всех степеней Тьюринга $[Y]$ такой, что $X\leq _{T}Y$; то есть набор степеней Тьюринга, которые «по крайней мере столь же сложны», как $X$ при редукции Тьюринга . С точки зрения теории порядка, конус $[X]$ это набор верхний $[X]$.

Принимая аксиому детерминированности , лемма о конусе утверждает, что если A — набор степеней Тьюринга, то либо A включает в себя конус, либо дополнение к A содержит конус. Она аналогична лемме Ваджа для степеней Ваджа и важна для следующего результата.

Мы говорим, что набор $A$ степеней Тьюринга имеет меру 1 по мере Мартина именно тогда, когда $A$ содержит некоторый конус. Поскольку возможно, для любого $A$, чтобы построить игру, в которой игрок I имеет выигрышную стратегию именно тогда, когда $A$ содержит конус и в которой игрок II имеет выигрышную стратегию именно тогда, когда дополнение $A$ содержит конус, аксиома определенности подразумевает, что наборы степеней Тьюринга меры 1 образуют ультрафильтр.

Последствия

Легко показать, что счетное пересечение конусов само по себе является конусом; Таким образом, мера Мартина является счетно полным фильтром. Этот факт в сочетании с тем, что мера Мартина может быть перенесена в $\omega _{1}$ простым отображением говорит нам, что $\omega _{1}$ измерима по аксиоме детерминированности. Этот результат частично показывает важную связь между детерминированностью и большими кардиналами .

Ссылки

• Мошовакис, Яннис Н. (2009). Описательная теория множеств . Математические обзоры и монографии. Том. 155 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 338. ИСБН  9780821848135 .