Кардинал Рэмси

В математике кардинал Рамсея — это определенный вид большого кардинального числа, введенный Эрдёшем и Хайналом (1962) и названный в честь Фрэнка П. Рэмси , чья теорема устанавливает, что ω обладает определенным свойством, которое кардиналы Рамсея обобщают на несчетный случай.

Пусть [ κ ] ^<ω обозначаем множество всех конечных подмножеств κ . Кардинальное число κ называется Рамсеем, если для любой функции

е : [ к ] ^<ω → {0, 1}

существует множество A мощности κ однородное , по f . есть для каждого n функция f постоянна То на подмножествах n из A. мощности Кардинал κ называется невыразимо Рэмси , если A можно выбрать как стационарное подмножество κ . Кардинал κ называется практически Рамсеем, если для любой функции

е : [ к ] ^<ω → {0, 1}

существует C , замкнутое и неограниченное подмножество κ , так что для каждого λ в C несчетной конфинальности существует неограниченное подмножество λ , однородное для f ; немного более слабым является понятие почти Рамсея , где однородные множества для f требуются типа порядка λ для каждого λ < κ .

Существования любого из этих кардиналов Рамсея достаточно, чтобы доказать существование 0 ^# или даже то, что каждое множество ранга меньше κ имеет острое .

Каждый измеримый кардинал является кардиналом Рэмси, а каждый кардинал Рэмси — кардиналом Роуботтома .

Промежуточным по силе свойством между рамсеевостью и измеримостью является существование κ -полного нормального неглавного идеала I на κ такого, что для любого A ∉ I и для любой функции

е : [ к ] ^<ω → {0, 1}

существует множество B ⊂ A, не принадлежащее I , однородное по f . Это строго сильнее, чем κ , невыразимо Рэмси.

Существование кардинала Рамсея подразумевает существование 0 ^# а это, в свою очередь, подразумевает ложность аксиомы конструктивности Курта Гёделя .

Определение по κ-моделям

Правильный кардинал κ является Рамсеем тогда и только тогда, когда для любого множества A ⊂ κ существует транзитивное множество M ⊨ ZFC⁻ (т. е. ZFC без аксиомы набора степеней) размера κ с A ∈ M и неглавный ультрафильтр U на булевой алгебре P(κ) ∩ M такие, что :

• U является - любой ультрафильтром для последо- : M ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​
• U слабо аменабельен : для любой последовательности ⟨ Xᵦ : β < κ ⟩ ∈ M подмножеств κ множество { β < κ : Xᵦ ∈ U } ∈ M и
• U является σ-полным: пересечение любого счетного семейства членов U снова находится в U .

Ссылки

• Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании  0-444-10535-2 .
• Эрдеш, Пол ; Хайнал, Андраш (1962), «Некоторые замечания по поводу нашей статьи «О структуре отображений множеств» . Отсутствие двузначной σ-меры для первого несчетного недоступного кардинала», Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 13 (1–2): 223–226, doi : 10.1007/BF02033641 , ISSN   0001-5954 , MR   0141603 , S2CID   121179872
• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-00384-3 .