Универсально измеримый набор

В математике подмножество $A$ польского пространства $X$ если универсально измерима, она измерима относительно любой полной вероятностной меры на $X$ который измеряет все борелевские подмножества $X$ . В частности, универсально измеримое множество действительных чисел обязательно измеримо по Лебегу (см. § Условие конечности ниже).

Каждое аналитическое множество универсально измеримо. Из проективной определенности , которая, в свою очередь, следует из достаточно больших кардиналов , следует, что каждое проективное множество универсально измеримо.

Условие конечности [ править ]

Условие того, что мера является вероятностной ; то есть, что мера $X$ само по себе равно 1, является менее ограничительным, чем может показаться. Например, мера Лебега на действительных числах не является вероятностной мерой, однако каждое универсально измеримое множество измеримо по Лебегу. Чтобы убедиться в этом, разделите реальную линию на счетное количество интервалов длины 1; скажем, N ₀ =[0,1), N ₁ =[1,2), N ₂ =[-1,0), N ₃ =[2,3), N ₄ =[-2,-1), и так далее. Теперь, считая µ мерой Лебега, определим новую меру ν формулой

\nu (A)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\mu (A\cap N_{i})

Тогда легко ν является вероятностной мерой действительных чисел, и множество ν-измеримо тогда и только тогда, когда оно измеримо по Лебегу. В более общем смысле универсально измеримое множество должно быть измеримо относительно каждой сигма-конечной меры, которая измеряет все борелевские множества.

с измеримостью по Лебегу Пример контрастирования

Предполагать $A$ является подмножеством канторова пространства $2^{\omega }$ ; то есть, $A$ представляет собой набор бесконечных последовательностей нулей и единиц. Поставив двоичную точку перед такой последовательностью, последовательность можно рассматривать как действительное число от 0 до 1 (включительно) с некоторой несущественной двусмысленностью. Таким образом, мы можем думать о $A$ как подмножество интервала [0,1] и оценить его меру Лебега , если она определена. Эту величину иногда называют мерой подбрасывания монеты . $A$ , потому что именно вероятность образования последовательности орла и решки является элементом $A$ при подбрасывании честной монеты бесконечное количество раз.

следует Теперь из аксиомы выбора , что существуют такие $A$ без четко определенной меры Лебега (или меры подбрасывания монеты). То есть для такого $A$ , вероятность того, что последовательность подбрасываний честной монеты окажется в $A$ не является четко определенным. Это патологическое свойство $A$ это говорит о том, что $A$ является «очень сложным» или «плохим».

Из такого набора $A$ , сформировать новый набор $A'$ выполнив следующую операцию над каждой последовательностью в $A$ : вставляйте 0 в каждую четную позицию последовательности, перемещая остальные биты, чтобы освободить место. Хотя $A'$ интуитивно не является чем-то «проще» или «лучше», чем $A$ , вероятность того, что последовательность подбрасываний честной монеты окажется в $A'$ четко определен. Действительно, оказаться в $A'$ , монета должна выпадать решкой при каждом четном подбрасывании, что происходит с нулевой вероятностью.

Однако $A'$ является не универсально измеримым. Чтобы убедиться в этом, мы можем протестировать его на смещенной монете, которая всегда выпадает решкой при подбрасывании с четным номером и является справедливой при подбрасывании с нечетным номером. Чтобы набор последовательностей был универсально измеримым, можно использовать произвольно смещенную монету (даже такую, которая может «запомнить» предыдущую последовательность бросков), и вероятность того, что последовательность ее бросков окажется в наборе, должна быть равна четко определен. Однако, когда $A'$ проверяется на упомянутой нами монете (той, которая всегда выпадает решкой при подбрасывании с четным номером и справедливой при подбрасывании с нечетным номером), вероятность попадания $A'$ не определено четко (по той же причине, почему $A$ не может быть проверена честной монетой). Таким образом, $A'$ является не универсально измеримым.

Ссылки [ править ]

Александр Кехрис (1995), Классическая описательная теория множеств , Тексты для аспирантов по математике, том. 156, Спрингер, ISBN 0-387-94374-9
Нисиура Того (2008), Абсолютные измеримые пространства , Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-87556-0