Игра Шоке

Игра Шоке — топологическая игра, названная в честь Гюстава Шоке , который в 1969 году первым исследовал такие игры. Близкая игра известна как сильная игра Шоке .

Позволять $X$ быть непустым топологическим пространством . Игра Шоке $X$, $G(X)$, определяется следующим образом: Игрок I выбирает $U_{0}$, непустое открытое подмножество $X$, то Игрок II выбирает $V_{0}$, непустое открытое подмножество $U_{0}$, то Игрок I выбирает $U_{1}$, непустое открытое подмножество $V_{0}$и т. д. Игроки продолжают этот процесс, выстраивая последовательность $U_{0}\supseteq V_{0}\supseteq U_{1}\supseteq V_{1}\supseteq U_{2}...$. Если $\bigcap \limits _{i=0}^{\infty }U_{i}=\emptyset$ тогда выигрывает Игрок I, в противном случае выигрывает Игрок II.

доказал Джон К. Окстоби , что непустое топологическое пространство $X$ является пространством Бэра тогда и только тогда, когда у Игрока I нет выигрышной стратегии . Непустое топологическое пространство $X$ в котором Игрок II имеет выигрышную стратегию, называется пространством Шоке . (Обратите внимание, что ни один из игроков не может иметь выигрышной стратегии.) Таким образом, каждое пространство Шоке является пространством Бэра. С другой стороны, существуют пространства Бэра (даже сепарабельные метризуемые ), которые не являются пространствами Шоке, поэтому обратное неверно.

Сильная игра Шоке $X$, $G^{s}(X)$, определяется аналогично, за исключением того, что Игрок I выбирает $(x_{0},U_{0})$, то Игрок II выбирает $V_{0}$, то Игрок I выбирает $(x_{1},U_{1})$и т. д., такие, что $x_{i}\in U_{i},V_{i}$ для всех $i$. Топологическое пространство $X$ в котором Игрок II имеет выигрышную стратегию для $G^{s}(X)$ называется сильным пространством Шоке . Всякое сильное пространство Шоке является пространством Шоке, хотя обратное неверно.

Все непустые полные метрические пространства компакты T 2 _{являются} и сильными Шоке. (В первом случае Игрок II, учитывая $(x_{i},U_{i})$, выбирает $V_{i}$ такой, что $\operatorname {diam} (V_{i})<1/i$ и $\operatorname {cl} (V_{i})\subseteq V_{i-1}$. Тогда последовательность $\left\{x_{i}\right\}\to x\in V_{i}$ для всех $i$.) Любое подмножество сильного пространства Шоке, $G_{\delta }$ комплект крепкий Шоке. Метризуемые пространства вполне метризуемы тогда и только тогда, когда они сильные Шоке.