Циклоэдр

В геометрии циклоэдр – это $d$ -мерный многогранник , где $d$ может быть любым неотрицательным целым числом. Впервые он был представлен как комбинаторный объект Раулем Боттом и Клиффордом Таубсом. ^[1] и по этой причине его также иногда называют многогранником Ботта – Таубса . Позже он был построен как многогранник Мартином Марклом. ^[2] и Родика Симион . ^[3] Родика Симион описывает этот многогранник как ассоциэдр типа B.

Циклоэдр появляется при изучении инвариантов узлов . ^[4]

Строительство

Циклоэдры принадлежат к нескольким более крупным семействам многогранников, каждое из которых обеспечивает общую конструкцию. Например, циклоэдр принадлежит к обобщенным ассоциэдрам ^[5] которые возникают из кластерной алгебры и граф-ассоциэдров, ^[6] семейство многогранников, каждый из которых соответствует графу . Во втором семействе граф, соответствующий $d$ -мерный циклоэдр – это цикл на $d+1$ вершины.

С топологической точки зрения пространство конфигурационное $d+1$ отдельные точки на окружности $S^{1}$ это $(d+1)$ -мерное многообразие , которое можно компактифицировать в многообразие с углами, позволяя точкам приближаться друг к другу. Эту компактификацию можно представить как $S^{1}\times W_{d+1}$ , где $W_{d+1}$ это $d$ -мерный циклоэдр.

Как и ассоциаэдр, циклоэдр можно восстановить, удалив грани пермутоэдра некоторые . ^[7]

Характеристики

Граф, состоящий из вершин и ребер $d$ -мерный циклоэдр - это флип-граф центрально-симметричных триангуляций выпуклого многоугольника с $2d+2$ вершины. ^[3] Когда $d$ стремится к бесконечности, асимптотическое поведение диаметра $\Delta$ этого графика определяется выражением

\lim _{d\rightarrow \infty }{\frac {\Delta }{d}}={\frac {5}{2}}

. ^[8]

См. также

Ссылки

^ Ботт, Рауль ; Таубс, Клиффорд (1994). «О самозавязывании узлов». Журнал математической физики . 35 (10): 5247–5287. дои : 10.1063/1.530750 . МР 1295465 .
^ Маркл, Мартин (1999). «Симплекс, ассоциэдр и циклоэдр». Современная математика . 227 : 235–265. дои : 10.1090/conm/227 . ISBN 9780821809136 . МР 1665469 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Симион, Родика (2003). «Ассоциэдр типа Б». Достижения прикладной математики . 30 (1–2): 2–25. дои : 10.1016/S0196-8858(02)00522-5 .
^ Сташефф, Джим (1997), «От операд к теориям, вдохновленным физически» , в Лоде, Жан-Луи; Сташефф, Джеймс Д.; Воронов, Александр А. (ред.), Операды: материалы конференций эпохи Возрождения , Современная математика, том. 202, Книжный магазин AMS, стр. 53–82, ISBN. 978-0-8218-0513-8 , архивировано из оригинала 23 мая 1997 года , получено 1 мая 2011 года.
^ Чапотон, Фредерик; Сергей, Фомин ; Зелевинский, Андрей (2002). «Многогранные реализации обобщенных ассоциэдров» . Канадский математический бюллетень . 45 (4): 537–566. arXiv : математика/0202004 . дои : 10.4153/CMB-2002-054-1 .
^ Карр, Майкл; Девадосс, Сатьян (2006). «Комплексы Кокстера и граф-ассоциэдры» . Топология и ее приложения . 153 (12): 2155–2168. arXiv : math/0407229 . дои : 10.1016/j.topol.2005.08.010 .
^ Постников, Александр (2009). «Пермутоэдры, ассоциэдры и не только». Уведомления о международных математических исследованиях . 2009 (6): 1026–1106. arXiv : math/0507163 . дои : 10.1093/imrn/rnn153 .
^ Пурнен, Лайонел (2017). «Асимптотический диаметр циклоэдров» . Израильский математический журнал . 219 : 609–635. arXiv : 1410.5259 . дои : 10.1007/s11856-017-1492-0 .

Дальнейшее чтение

Форси, Стефан; Спрингфилд, Дерриелл (декабрь 2010 г.), «Геометрические комбинаторные алгебры: циклоэдр и симплекс», Журнал алгебраической комбинаторики , 32 (4): 597–627, arXiv : 0908.3111 , doi : 10.1007/s10801-010-0229-5
Мортон, Джеймс; Пахтер, Лиор ; Шиу, Энн; Штурмфельс, Бернд (январь 2007 г.), «Тест на циклоэдр для поиска периодических генов в исследованиях экспрессии с течением времени», Статистические приложения в генетике и молекулярной биологии , 6 (1): Статья 21, arXiv : q-bio/0702049 , doi : 10.2202 /1544-6115.1286 , PMID 17764440

Внешние ссылки

Брайан Джейкобс. «Циклоэдр» . Математический мир .

[Bott_Taubes-1] Ботт, Рауль ; Таубс, Клиффорд (1994). «О самозавязывании узлов». Журнал математической физики . 35 (10): 5247–5287. дои : 10.1063/1.530750 . МР 1295465 .

[2] Маркл, Мартин (1999). «Симплекс, ассоциэдр и циклоэдр». Современная математика . 227 : 235–265. дои : 10.1090/conm/227 . ISBN 9780821809136 . МР 1665469 .

[Simion2003-3] Перейти обратно: ^а ^б Симион, Родика (2003). «Ассоциэдр типа Б». Достижения прикладной математики . 30 (1–2): 2–25. дои : 10.1016/S0196-8858(02)00522-5 .

[4] Сташефф, Джим (1997), «От операд к теориям, вдохновленным физически» , в Лоде, Жан-Луи; Сташефф, Джеймс Д.; Воронов, Александр А. (ред.), Операды: материалы конференций эпохи Возрождения , Современная математика, том. 202, Книжный магазин AMS, стр. 53–82, ISBN. 978-0-8218-0513-8 , архивировано из оригинала 23 мая 1997 года , получено 1 мая 2011 года.

[5] Чапотон, Фредерик; Сергей, Фомин ; Зелевинский, Андрей (2002). «Многогранные реализации обобщенных ассоциэдров» . Канадский математический бюллетень . 45 (4): 537–566. arXiv : математика/0202004 . дои : 10.4153/CMB-2002-054-1 .

[6] Карр, Майкл; Девадосс, Сатьян (2006). «Комплексы Кокстера и граф-ассоциэдры» . Топология и ее приложения . 153 (12): 2155–2168. arXiv : math/0407229 . дои : 10.1016/j.topol.2005.08.010 .

[7] Постников, Александр (2009). «Пермутоэдры, ассоциэдры и не только». Уведомления о международных математических исследованиях . 2009 (6): 1026–1106. arXiv : math/0507163 . дои : 10.1093/imrn/rnn153 .

[8] Пурнен, Лайонел (2017). «Асимптотический диаметр циклоэдров» . Израильский математический журнал . 219 : 609–635. arXiv : 1410.5259 . дои : 10.1007/s11856-017-1492-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]